高考数学高频考点_必考点透析

1、高考数学热点题型1 高考数学必考考点题型2018 年 11月 25 日命题热点一集合与常用逻辑用语集合这一知识点是高考每年的必考内容，对集合的考查主要有三个方面：一是集合的运算，二是集合间的关系，三是集合语言的运用. 在试卷中一般以选择题的形式出现，属于容易题 .集合知识经常与函数、方程、不等式等知识交汇在一起命题，因此应注意相关知识在解题中的应用 . 常用逻辑用语也是每年高考的必考内容，重点考查：充分必要条件的推理判断、四种命题及其相互关系、全称命题与特称命题等，在试卷中一般以选择题的形式出现，属于容易题和中档题， 这个考点的试题除了考查常用逻辑用语本身的有关概念与方法，还与其他数学知识联系

2、在一起，所以还要注意知识的灵活运用。预测1. 已知集合2| 20axxx，集合( , )ba b，且ba，则ab的取值范围是a.( 2,)b. 2,)c.(,2)d.(, 2解析：化简a 得2|20| 02axxxxx，由于ba，所以02ab，于是2ab，即ab的取值范围是 2,)，故选 b. 动向解读：本题考查集合间的关系，考查子集的概念与应用、不等式的性质等，解答时注意对集合进行合理的化简. 预测 2. 若集合1|2,axxrx，3|log (1)bx yx，则ab等于a.b.1(,1)2c. 1(,0)(,1)2d. 1(,12解析：依题意1|0,|12ax xxbx x或，所以ab1(

3、,0)(,1)2.故选 c. 动向解读：本题考查集合的基本运算、函数的定义域、不等式的解法等问题，是高考的热点题型 . 在解决与函数定义域、值域、不等式解集相关的集合问题时，要注意充分利用数轴这一重要工具，通过数形结合的方法进行求解. 预测 3. 已知命题:0,cos 2cos02pxxxm为真命题，则实数m的取值范围是a. 9,18b. 9,28c. 1,2d. 9,)8解析：依题意，cos2cos0 xxm在0,2x上恒成立，即cos2cosxxm.高考数学热点题型2 令2219( )cos2cos2coscos12(cos)48f xxxxxx，由于0,2x，所以cos0,1x，于是(

4、) 1,2f x，因此实数m的取值范围是 1,2，故选 c. 动向解读：本题考查全称命题与特称命题及其真假判断，对于一个全称命题，要说明它是真命题，需要经过严格的逻辑推理与证明，要说明它是一个假命题，只要举出一个反例即可；而对于特称命题，要说明它是一个真命题，只要找到一个值使其成立即可，而要说明它是一个假命题，则应进行逻辑推理与证明. 预测 4. “0a”是“不等式20 xax对任意实数x 恒成立”的a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充要条件d.既不充分也不必要条件解析：不等式20 xax对任意实数x 恒成立，则有2()0aa，又因为0a，所以必有0a，故“0a”是“不等式20 xax对

5、任意实数x 恒成立”的必要不充分条件.故选 b. 动向解读：本题考查充分必要条件的推理判断，这是高考的一个热点题型，因为这类问题不仅能够考查逻辑用语中的有关概念与方法，还能较好地考查其他相关的数学知识，是一个知识交汇的重要载体. 解答这类问题时要明确充分条件、必要条件、 充要条件的概念，更重要的是要善于列举反例. 命题热点二函数与导数函数是高中数学的主线，是高考考查的重点内容，主要考查： 函数的定义域与值域、函数的性质、函数与方程、基本初等函数、函数的应用等，在高考试卷中，一般以选择题和填空题的形式考查函数的性质、函数与方程、 基本初等函数等，以解答题的形式与导数交汇在一起考查函数的定义域、单

6、调性以及函数与不等式、函数与方程等知识.其中函数与方程思想、数形结合思想等都是考考查的热点. 高考对导数的考查主要有以下几个方面：一是考查导数的运算与导数的几何意义，二是考查导数的简单应用，例如求函数的单调区间、极值与最值等，三是考查导数的综合应用.导数的几何意义以及简单应用通常以客观题的形式出现，属于容易题和中档题；而对于导数的综合应用，则主要是和函数、不等式、 方程等联系在一起以解答题的形式进行考查，例如一些不等式恒成立问题、参数的取值范围问题、方程根的个数问题、不等式的证明等问题. 预测 1. 函数aaxxxf2)(2在区间)1 ,(上有最小值，则函数xxfxg)()(在区间), 1 (

7、上一定a有最小值b有最大值c是减函数d是增函数解 析 ： 函 数( )fx图 像 的 对 称 轴 为xa， 依 题 意 有1a， 所 以( )( )2f xag xxaxx，( )g x在(0,)a上递减，在(,)a上递增，故( )g x在(1,)上也递增，无最值，选d. 动向解读：本题考查二次函数、不等式以及函数的最值问题. 对于二次函数，高考有着高考数学热点题型3 较高的考查要求，应熟练掌握二次函数及其有关问题的解法. 在研究函数的单调性以及最值问题时，要善于运用基本不等式以及函数(0)pyxpx的单调性进行求解. 预测 2. 如图， 当参数分别取12,时，函数2( )(0)1xf xxx

8、的部分图像分别对应曲线12,c c，则有a.120b. 210c. 120d. 210解析：由于函数2( )1xf xx的图像在0,)上连续不间断， 所以必有120,0.又因为当1x时，由图像可知122211，故12，所以选a. 动向解读：本题考查函数的图像问题，这是高考考查的热点题型，其特点是给出函数图象，求函数解析式或确定其中的参数取值范围. 解决这类问题时，要善于根据函数图象分析研究函数的性质，从定义域、值域、对称性、单调性、经过的特殊点等方面获取函数的性质，从而确定函数的解析式或其中的参数取值范围. 预测 3. 已知函数( )xf xemx的图像为曲线c，若曲线c 不存在与直线12yx

9、垂直的切线，则实数m 的取值范围是a. 12mb. 12mc. 2md. 2m解析：( )xfxem，曲线 c 不存在与直线12yx垂直的切线，即曲线c 不存在斜率等于2的切线，亦即方程2xem无解，2xem，故20m，因此2m. 动向解读：本题考查导数的几何意义，这是高考对导数考查的一个重要内容和热点内容，涉及曲线的切线问题都可考虑利用导数的几何意义解决，求解这类问题时，要始终以“切点”为核心，并注意对问题进行转化. 预测 4. （理科） 已知函数为 r 上的单调函数，则实数a的取值范围是a 1,0)b(0,)c 2,0)d(, 2)高考数学热点题型4 解析：若( )f x在 r 上单调递增

10、，则有02021aaa，a无解；若( )fx在 r 上单调递减，则有02021aaa，解得10a，综上实数a的取值范围是 1,0).故选 a.动向解读：本题考查分段函数、函数的单调性以及分类讨论思想，这些都是高考的重要考点 .解决这类问题时，要特别注意：分段函数在r 上单调递增（减） ，不仅要求函数在每一段上都要单调递增（减），还应满足函数在分段点左侧的函数值不大于（不小于）分段点右侧的函数值. （文科）已知函数210(2)0 xaxxfxaex为 r 上的单调函数，则实数a的取值范围是a.(2,3b.(2,)c.(,3d.(2,3)解析：若( )f x在 r 上单调递增，则有02021aaa

11、，解得23a；若( )f x在 r 上单调递减，则有02021aaa，a无解，综上实数a的取值范围是(2,3. 动向解读：本题考查分段函数、函数的单调性以及分类讨论思想，这些都是高考的重要考点 .解决这类问题时，要特别注意：分段函数在r 上单调递增（减） ，不仅要求函数在每一段上都要单调递增（减），还应满足函数在分段点左侧的函数值不大于（不小于）分段点右侧的函数值.预测 5. （理科） 设函数) 1ln()(2xbxxf，其中0b.（1）若12b，求)(xf在1,3的最小值；（2）如果( )f x在定义域内既有极大值又有极小值，求实数b的取值范围；（3）是否存在最小的正整数n，使得当nn时，不

12、等式311lnnnnn恒成立 . 解析： （ 1）由题意知，)(xf的定义域为), 1(，12b时，由2/122212( )2011xxfxxxx，得2x（3x舍去） ，当1,2)x时，/( )0fx，当(2,3x时，/( )0fx，所以当1,2)x时，( )f x单调递减；当(2,3x时，( )f x单调递增，所以min( )(2)412ln3f xf；（ 2） 由 题 意2/22( )2011bxxbfxxxx在), 1(有 两 个 不 等 实 根 ， 即高考数学热点题型5 2220 xxb在), 1(有两个不等实根，设( )g x222xxb，则480( 1)0bg，解之得102b；（3

13、）对于函数) 1ln(2xxxf，令函数) 1ln()(233xxxxfxxh，则1)1(31123232/xxxxxxxh，0), 0/xhx时，当，所以函数xh在),0上单调递增，又), 0(,0)0(xh时，恒有0)0(hxh，即)1ln(32xxx恒成立 .取),0(1nx，则有23111lnnnnn恒成立 . 显然，存在最小的正整数n=1 ，使得当nn时，不等式23111lnnnnn恒成立 . 动向解读：函数、导数、不等式的综合问题是近几年高考的一个热点题型，这类问题以“参数处理”为主要特征，以“导数运用”为主要手段，以“函数的单调性、极值、最值”为结合点，往往涉及到函数、导数、不等

14、式、方程等多方面的知识，需要综合运用等价转换、分类讨论、数形结合等重要数学思想方法. （文科） 已知函数( )3lnaf xaxxx.（1）当2a时，求函数( )f x的最小值；（ 2）若( )f x在2, e上单调递增，求实数a的取值范围 . 解析： （1）当2a时，2( )23lnf xxxx，定义域为(0,). 22223232( )2xxfxxxx，令( )0fx，得2x（12x舍去），当x变化时，( )f x，( )fx的变化情况如下表: x(0, 2)2(2,)( )fx0( )f x递减极小值递增所以函数( )fx在2x时取得极小值， 同时也是函数在定义域上的最小值(2)53ln

15、 2f. （2）由于23( )afxaxx，所以由题意知，23( )0afxaxx在2,e上恒成立 . 即2230axxax，所以230axxa在2, e上恒成立，即231xax. 高考数学热点题型6 令23( )1xg xx， 而2223 3( )(1)xg xx， 当2 , xe时( )0g x， 所以( )g x在2, e上递减，故( )g x在2, e上得最大值为(2)2g，因此要使231xax恒成立，应有2a. 动向解读：函数、导数、不等式的综合问题是近几年高考的一个热点题型，这类问题以“参数处理”为主要特征，以“导数运用”为主要手段，以“函数的单调性、极值、最值”为结合点，往往涉及

16、到函数、导数、不等式、方程等多方面的知识，需要综合运用等价转换、分类讨论、数形结合等重要数学思想方法. 命题热点三立体几何与空间向量（理科） 高考对立体几何与空间向量的考查主要有三个方面：一是考查空间几何体的结构特征、直观图与三视图；二是考查空间点、线、面之间的位置关系；三是考查利用空间向量解决立体几何问题：例如利用空间向量证明线面平行与垂直、利用空间向量求空间角等.在高考试卷中，一般有12 个客观题和一个解答题.多为容易题和中档题. （文科） 高考对立体几何的考查主要有两个方面：一是考查空间几何体的结构特征、直观图与三视图；二是考查空间点、线、面之间的位置关系，线面平行、垂直关系的证明等；在

17、高考试卷中，一般有12 个客观题和一个解答题.多为容易题和中档题. 预测 1.若一个底面是正三角形的直三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于 a3b2 c2 3d6 解析：由正视图可知该三棱柱的底面边长等于2，高是1，所以其侧面积等于3 2 16s，故选 d. 动向解读：三视图是高考的热点内容，几乎每年必考，除了考查对简单几何体的三视图的判断外，更多地是以三视图为载体考查几何体的体积、表面积的计算，在由三视图中给出的数据得出原几何体的有关数据时，要充分利用三视图“主左一样高、主俯一样长、俯左一样宽”的性质. 预测 2.平面与平面相交，直线m，则下列命题中正确的是a. 内必存在直线与m平行，且存

18、在直线与m垂直b. 内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直c. 内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直d. 内必存在直线与m平行，却不一定存在直线与m垂直解析：假设l，由于m，所以必有ml，因此在内必存在直线l与m垂直；当时，可存在直线与m平行，当与不垂直时，在内一定不存在直线与m平行 .故选 b. 动向解读：本题考查空间中线面、面面的平行与垂直关系的判断，其特点是以符号语高考数学热点题型7 言给出，考查对相关定理的理解与运用，解决这类问题时，要熟练掌握相关的定理，善于利用一些常见的几何体作为模型进行判断，还要善于举出反例对命题进行否定. 预测 3. （理科）正abc的边长为

19、4，cd是ab边上的高，,e f分别是ac和bc边的中点，现将 abc沿cd翻折成直二面角adcb（1）试判断直线ab与平面def的位置关系，并说明理由；（2）求二面角edfc的余弦值；（3）在线段bc上是否存在一点p，使apde？证明你的结论解：法一：（ i）如图：在 abc 中，由 e、f 分别是 ac、bc 中点，得ef/ab，又 ab平面 def ，ef平面 def， ab平面 def （ii） ad cd，bd cd， adb 是二面角 acdb 的平面角，ad bd，ad 平面 bcd，取 cd 的中点 m，这时 em ad，em平面 bcd ，过 m 作 mn df 于点 n，连

20、结 en，则 endf， mne 是二面角 edf c 的平面角 . 在 rtemn 中， em=1，mn=23， tanmne=2 33，cosmne=721. （）在线段bc 上存在点 p，使 apde，证明如下：在线段bc 上取点 p。使bcbp31，过 p 作 pqcd 与点 q，pq平面 acd 33231dcdq在等边 ade 中， daq=30 aqdeapde. 法二： （）以点d 为坐标原点，直线db 、dc 为 x 轴、 y 轴，建立空间直角坐标系，则 a（0，0，2）b（2，0，0）c（0，)0 ,3, 1 (),1 ,3, 0(),0 ,32fe. 平面 cdf 的法向

21、量为)2, 0, 0(da设平面 edf 的法向量为),(zyxn，abcdefabcdef高考数学热点题型8 则00ndendf即)3 ,3, 3(0303nzyyx取，721|,cosndandanda，所以二面角e dfc 的余弦值为721；abcdefxzp（）设332023),0,(yydeapyxp则，又)0,32,(),0 ,2(yxpcyxbp，323)32)(2(/yxxyyxpcbp把bcbpxy31,34332代入上式得，所以在线段bc 上存在点p 使 apde. 动向解读：本题主要考查空间向量在解决立体几何问题中的应用，这是每年高考的必考内容，也是高考试卷中相对较为固定

22、的考查模式，即以空间几何体为载体，考查空间中直线与平面、平面与平面的平行关系与垂直关系的论证，考查空间中两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的求解等，有时还会以开放性的设问方式进行考查.这类问题通常可以有两种解法，一是利用有关的定理与性质直接进行论证和求解，二是通过建立空间直角坐标系，利用空间向量进行证明或计算. 这类考题通常有2 至 3 个小问题，在解答过程要注意各个小问题结果之间的连贯性，这样可以简化解题过程，提高解题速度. 预测 3.（文科） 如图，平行四边形abcd中，1cd，60bcd，且cdbd，正方形adef所在平面与平面abcd垂直，hg,分别是bedf ,的中点（1

23、）求证：cdebd平面；（2）求证：/gh平面cde；a b c d e f g h 高考数学热点题型9 （3）求三棱锥cefd的体积（）证明：平面adef平面abcd，交线为ad，aded，abcded平面，bded，又cdbd，cdebd平面；（）证明：连结ea，则g是ae的中点，eab中，abgh /，又cdab /，/ghcd，/gh平面cde；（）解：设bcdrt中bc边上的高为h，依题意：3121221h，23h，即：点c到平面def的距离为23，3323222131defccefdvv. 动向解读：本题主要考查立体几何中的综合问题，这是每年高考的必考内容，也是高考试卷中相对较为固

24、定的考查模式，即以空间几何体为载体，考查空间中直线与平面、平面与平面的平行关系与垂直关系的论证，考查空间几何体表面积、体积的计算求解等，有时还会以开放性的设问方式进行考查. 这类问题通常有2 至 3 个小问题，在解答过程要注意各个小问题结果之间的连贯性，这样可以简化解题过程，提高解题速度. 命题热点四解析几何高考对解析几何的考查主要包括以下内容：直线与圆的方程、圆锥曲线等， 在高考试卷中一般有12 个客观题和1 个解答题， 其中客观题主要考查直线斜率、直线方程、 圆的方程、直线与圆的位置关系、圆锥曲线的定义应用、标准方程的求解、离心率的计算等，解答题则主要考查直线与椭圆、抛物线等的位置关系问题

25、，经常与平面向量、函数与不等式交汇等，考查一些存在性问题、证明问题、定点与定值、最值与范围问题等，解析几何试题的特点是思维量大、运算量大，所以应加强对解析几何重点题型的训练. 预测 1. 如果圆22(3)(1)1xy关于直线:l410mxy对称，则直线l的斜率等于. 解析：依题意直线410mxy经过点( 3,1)，所以3410m，1m，于是直线斜率为14k. 动向解读：本题考查直线方程与斜率、圆的方程、对称等基本问题，这是解析几何的基础内容，是高考的重点内容，一般以选择题、填空题的形式考查，有时也间接考查，与圆锥曲线的内容综合起来进行考查. 高考数学热点题型10 预测 2. 已知双曲线2219

26、16xy的左右焦点分别是12,f f，p 点是双曲线右支上一点，且212| |pff f，则三角形12pf f的面积等于. 解 析 ： 由 已 知 可 得3a，12| 210f fc， 而12| 26pfpfa， 所 以12| 16,| 10pfpf， 又12| 10f f， 所 以 可 得 三 角 形12pff的 面 积 等 于22116108482s. 动向解读：本题考查双曲线的定义、三角形面积的计算等问题，是一道综合性的小题.尽管高考对双曲线的考查要求不高，但对于双曲线的定义、离心率、渐近线等知识点的考查却常考常新，经常会命制一些较为新颖的考查基础知识的小题目. 解答这类问题要善于运用双

27、曲线的定义，善于运用参数间的关系求解. 预测3.已知椭圆22221(0)xyabab，,m n是椭圆上关于原点对称的两点，p是椭圆上任意一点，且直线pmpn、的斜率分别为12kk、，若1214k k，则椭圆的离心率为a.12b. 22c. 32d23解析：设0000( , ),(,),(,)p x y m xynxy，则001200,yyyykkxxxx，依题意有220001222000yyyyyyk kxxxxxx. 又因为,m n在椭圆上，所以22220022221,1xyxyabab，两式相减得222200220 xxyyab，即22202220yybxxa，所以2214ba，即2221

28、4aca，解得32e.故选 c. 动向解读：本题考查椭圆的离心率问题，这是高考的热点内容，这类问题的特点是：很少直接给出圆锥曲线的方程等数量关系，而是提供一些几何性质与几何位置关系，来求离心率的值或取值范围. 解决这类问题时，首先应考虑运用圆锥曲线的定义获得必要的数量关系或参数间的等量关系，其次是根据题目提供的几何位置关系，确定参数, ,a b c满足的等式或不等式，然后根据, ,a b c的关系消去参数b，从而可得到离心率的值或取值范围. 预测 4. 已知椭圆22)(ycx10)(22ycx的短轴长为b2，那么直线高考数学热点题型11 03cybx截圆122yx所得的弦长等于_. 解析：由椭

29、圆定义知210a，所以5a，于是22225bca，圆122yx的圆心到直线03cybx的距离等于22335dbc，故弦长等于2382 1 ( )55. 动向解读：本题考查椭圆定义、椭圆标准方程、直线与圆的位置关系等问题，是一道多知识点的综合性小题，这正体现了高考数学命题所追求的“在知识交汇点处命题”的原则. 值得注意的是：本题中椭圆方程没有直接给出，而是要借助椭圆的定义进行分析求解，才能得到有关的参数值. 预测 5. （理科） 已知椭圆2221(02 2)8xybb的左、右焦点分别为f1和 f2 ，以 f1、 f2为直径的圆经过点m（0，b）.（1）求椭圆的方程； （ 2）设直线l 与椭圆相交

30、于a，b 两点，且0ma mb.求证：直线l 在 y 轴上的截距为定值. 解析： （1）由题设知bc，又2 2a，所以2bc，故椭圆方程为22184xy；（ 2） 因 为(0,2)m， 所 以 直 线l与x 轴 不 垂 直 .设 直 线l的 方 程 为ykxm，1122(,),(,)a x yb xy.由22184xyykxm得222(21)4280kxkmxm，所以2121222428,2121kmmxxx xkk，又0ma mb，所以1122(,2) (,2)0 xyxy，即1212122()40 x xy yyy，121212()()2()40 x xkxm kxmkxmkxm，整理得2

31、21212(1)(2)()(2)0kx xk mxxm，即22222284(1)(2)()(2)02121mkmkk mmkk，因为2m，所以2222(1)(2)4(21)(2)0kmk mkm，高考数学热点题型12 展开整理得320m，即23m.直线 l 在 y 轴上的截距为定值23. 动向解读：本题考查解析几何中的定点、定值或取值范围问题，这是一类综合性较强的问题，也是近几年高考对解析几何考查的一个重点和热点内容. 这类问题以直线与圆锥曲线德位置关系为载体，以参数处理为核心，需要综合运用函数、方程、不等式、平面向量等诸多数学知识以及数形结合、分类讨论等多种数学思想方法进行求解，对考生的代数

32、恒等变形能力、化简计算能力有较高的要求.（文科） 已知圆22:(4)()16()cxymmn，直线43160 xy过椭圆2222:1(0)xyeabab的右焦点，且交圆c 所得的弦长为532，点)1 ,3(a在椭圆e 上. （1）求 m 的值及椭圆e 的方程；（2）设 q 为椭圆 e 上的一个动点，求aqac的取值范围 . 解析： （ 1）因为直线01634yx交圆 c 所得的弦长为,532所以圆心),4(mc到直线43160 xy的距离等于2216124(),55即5125|16344|m，所以4,4mm或（舍去），又因为直线01634yx过椭圆 e 的右焦点，所以右焦点坐标为).0, 4(

33、2f则左焦 点 f1的坐标为( 4,0).，因为椭圆e 过 a 点，所以12| 2afafa，所以2225 226 2,3 2,18,2aaab，故椭圆 e 的方程为：221.182xy（2）(1 ,3),( , )acq x y设，则(3,1)aqxy，设3xyn，则由2211823xyxyn，消去x得22186180ynyn, 由于直线3xyn与椭圆 e 有 公共点，所以22(6 )4 18(18)0nn，所以66n，故36ac aqxy的取值范围为 12,0. 动向解读：本题考查解析几何中的定点、定值或取值范围问题，这是一类综合性较强的问题，也是近几年高考对解析几何考查的一个重点和热点内

34、容. 这类问题以直线与圆锥曲线德位置关系为载体，以参数处理为核心，需要综合运用函数、方程、不等式、平面向量等诸多数学知识以及数形结合、分类讨论等多种数学思想方法进行求解，对考生的代数恒等变形能力、化简计算能力有较高的要求. 高考数学热点题型13 命题热点五三角函数与平面向量高考对给部分考查的主要内容为：任意角的概念和弧度制、任意角的三角函数的概念、诱导公式、 同角三角函数关系、三角函数的图像和性质、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、正弦定理、余弦定理、平面向量的概念和线性运算、平面向量的数量积、平面向量的应用。 高考对该部分的考查重基础，虽然该部分内容在试卷中试题数量多、占有的分值较多，但

35、是试题以考查基础为主，试题的难度一般是中等偏下。在高考中重点考查：三角函数的图像和性质、正弦定理、 余弦定理、 平面向量的数量积、平面向量的几何意义等。预测 1. 将函数 y=sin2x的图像向左平移4个单位， 再向上平移1 个单位， 所得图像的函数解析式是ay=cos2xby=22cos xcy=1+sin24xdy=22sinx解 析 ： : 将 函 数si n 2yx的 图 象 向 左 平 移4个 单 位 ,得 到 函 数si n 2 ()4yx即sin(2)cos22yxx的图象 ,再向上平移1 个单位 ,所得图象的函数解析式为21 cos22cosyxx,故选 b预测 2.已知向量(2cos,1),( 3sincos, )mxnxx a，其中(,0)xr，函数( )f xm n的最小正周期为，最大值为3。（1）求和常数a的值；（2）求函数( )f x的单调递增区间。解析： （1）2( )2 3sincos2cosf x