勾股定理教学设计

1、学习必备欢迎下载1.1 探究勾股定理（1）教学目标学问技能 ： 把握直角三角形三边之间的数量关系，学会用符号表示；数学摸索 ： 同学在经受用数格子与割补等方法探究勾股定理的过程中，体会数形结合的思想，体验从特别到一般的规律推理过程；问题解决 ： 通过分层训练，使同学学会娴熟运用勾股定理进行简洁的运算，在解决实际问题中把握勾股定理的应用技能；情感态度 ： 通过数学史上对勾股定理的介绍，激发同学学数学、爱数学、做数学的情感；使同学从经受定理探究的过程中，感受数学之美；教学重点 ： 用面积法探究勾股定理，懂得并把握勾股定理；教学难点 ：运算以斜边为边长的大正方形c 面积及割补思想的懂得与应用；教学方

2、法挑选引导探究法，采纳“问题情境-建立模型 -说明、应用与拓展”的模式进行教学；教具预备多媒体课件； 如干张已画好直角三角形的方格纸；剪刀； 已剪好的纸片如干张；教学过程、创设情境，引入新课（师） 请同学们观看动画，我国科学家曾向太空发射勾股图试图与外星人沟通，在20xx年的国际数学家大会上采纳弦图作为会标，它为什么有如此大 的魅力呢？它蕴涵着怎样迷人的奥妙呢？这节课我就带领大家一起探究勾股定理；、师生互动，探究新知活动 1：如图 1-1（见课本 ，强大的台风使得一根旗杆在离地面9 米处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12 米处；旗杆折断之前有多高？（师） 想一想，需要求哪些线段长度，这些长度

3、确定吗？（生） 独立摸索后沟通，采纳直接画图量的方法，量出倒下部分的长度；（过渡语） 通过同学们的度量可知，折断的那边的长度被确定了，得知在直角三角形中，任意两边确定了，另外一边也确定下来了；活动 2：（观看图1）你知道正方形c 的面积是多少吗？你是怎样得出上面结果的呢？（生） 独立摸索后沟通，采纳直接数方格的方法，或者是分割成几个等腰直角三角形的方法运算正方形c的面积；（多媒体演示）（过渡语） 同学们用数格子的方法发觉了正方形c 的面积，那么对于下面图2 中的正方形 c， “数方格子”的方法仍行得通吗？下面我们一起来争论；活动 3：（观看你手中方格纸上的图2）正方形c的面积是多少？学习必备欢

4、迎下载你是怎样得出结果的呢？（师） 我们用数方格子的方法能算出正方形c 的面积吗？参考弦图，你想到什么好方法了吗？（引出“割”法）大家想一想仍有没有其它方法呢？受“割”法的启示，我们能通过“补”的方法得结论吗？（生） 独立摸索， 在预先预备的方格纸上将图形剪一剪、拼一拼， 用分割成四个全等直角 三角形的方法或将正方形c 补成边长为整数的大正方形的方法求出斜边上的正方形c 的面积；接着将成果与同伴沟通，同学代表发言；活动 4：（才能拓展）分工 1：（如图 3）请每个小组两名组员试着将手中的已剪好的四个全等的四边形拼成正方形 b；分工 2：（如图4）另两名组员再将同样的四个四边形和正方形a 一起拼

5、 成一个大正方形 c ；a图 3图 4摸索： 1、等腰直角三角形三角形的外形等腰直角三角形三 角 形正方形 a面积正方形b面积正方形 c面积（师） 观看图 5，对于等腰直角三角形，将正方形a、正方形 b 和已运算的正方形c 的面积填入下表，它们的面积有什么关系？学习必备欢迎下载三角形的外形正方形a面积正方形b面积正方形c面积一般直角三 角 形结论：正方形a 面积 +正方形 b面积 =正方形 c面积2、直角边长为整数的一般直角三角形（师） 观看图 6，直角边长为整数的一般直角三角形，正方形a、正方形b、正方形c 面积又有什么关系呢？结论：正方形a 面积 +正方形 b面积 =正方形 c面积3、任意

6、直角三角形（师） 那么， 对于直角边长不是整数的一般直角三角形上面的结论仍成立吗？（出示图7）（生合作） ：试着将已拼好的正方形b 和大正方形c同正方形a 拼成如图7 所示的图形；abacc图 7图 8（师） 同学们从活动中都得出正方形a、正方形 b、正方形c面积有什么关系？（生） 小组沟通，同学代表发言；结论：正方形a 面积 +正方形 b 面积 =正方形 c 面积学习必备欢迎下载师点拨：这里的四个全等的四边形是正方形b 按如图 8 所示的方法分割的；师小结 ：通过以上活动，我们发觉以任意直角三角形的两条直角边为边长的正方形面积之和都等于以斜边为边长的正方形面积；4、正方形面积与直角三角形三边

7、关系（师） 如我们设两条直角边长分别为a、b，斜边为 c，你能用三角形的边长来表示这三个正方形的面积吗？（将正方形的面积和三角形的边长联系起来）222（生） 正方形 a 面积为 a ，正方形b 面积为 b ，正方形c 面积为 c ；（师） 你发觉直角三角形三边长度之间有什么联系？（生） 分组争论，沟通并发言；222结论：由于正方形 a 面积 +正方形 b 面积 =正方形 c面积，所以a+ b= c两条直角边的平方和等于斜边的平方；5、熟悉直角三角形三边关系（师） 任意直角三角形，我们发觉： 无论三边长度如何变化，两条直角边的平方和总是等于斜边平方；（师） 请将上述结论用数学语言表述并符号化；（

8、生） 同学争论，沟通并发言；假如直角三角形两直角边分别为a， b，斜边为c，那么 a2 + b 2 = c 2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 、课堂练习：课本第5 页，随堂练习1 、2 、课时小结：1、 你这节课的主要收成是什么？2、 该定理揭示了哪一类三角形中的什么元素之间的关系？3、在探究和验证定理的过程中，我们运用了哪些方法？4、你最有爱好的是什么？你有没有感到困难的地方？ 、布置作业课本第 7 页习题 1.1学问技能1,2学习必备欢迎下载探究勾股定理（2）教学目标 ：学问技能 ：学会应用勾股定理，解决实际问题；数学摸索 ：领悟“数与形”相结合的应用思想；问题解决 ：经受运

9、用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在数学活动中进展同学的探究意识和合作沟通的习惯；情感态度 ：培育良好的合作、沟通意识、进展数学理念，体会勾股定理的实际应用价值；教学重点 ：能娴熟运用拼图的方法证明勾股定理教学难点 ：用面积证勾股定理教学方法 ： 引导探究法教具预备 ： 三角板，纸如干，多媒体教学过程、创设情境，导入课题我们已经通过数格子的方法发觉了直 角三角形三边的关 系，到底是几个实例，是否具有普遍的意义， 仍需加以论证， 下面就是今日所要争论的内容， 下边请大家画四个全等的直角三角形，并 把它剪下来，用这四个直角三角形，拼一拼、 摆一摆，看看能否得到一个含有以斜边 c 为边长的正方形

10、，并与同学沟通；（过渡语） 请同学们阅读课本第8 页，并观看图1-4 、1-5 、1-6 ，能得到什么结论？（师） 在同学操作的过程中，老师展现投影1（书中 p9 图 1 7）接着提问：大正方形的面积 可表示为什么？（生）（同学们回答有这几种可能：（ 1）（ ba 241a2b（ 2） c 2）（合作） 在同学沟通形成共识之后，老师把这两种表示大正方形面积的式子用等号连接 起来；（ba241a2b =c2请同学们对上面的式子进行化简，得到：即a 2b 2 = c2这就可以从理论上说明勾股定理存在；请同学们去用别的拼图方法说明勾股定理； 、例题学习学习必备欢迎下载1. 我方侦查员小王在距离东西向

11、大路400 米处侦查，发觉一辆敌方汽车在大路上疾驶， 他赶忙拿出红外线测距仪；测得汽车与他相距400 米， 10 秒后；汽车与他相距500 米，你能帮小王运算敌方汽车的速度吗？（书中p10 图 1 9）分析： 依据题意， 可以画出图1-9 ，其中 a 点表示小王所在的位置，c,b 点表示两个时刻敌方汽车的位置；由于小王距离大路400 米，因此c 是直角，那么就可以由勾股定理来 解决这个问题了；解： 由勾股定理，可以得到ab 2bc 2ac 2 , 也就是500 2bc 2400 2, 所以bc300 .敌方汽车10 秒行驶了300 米，那么它1 时行驶的距离为300660108000米，即它行

12、驶的速度为108 千米 / 时；2. 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞机飞到一个男孩头顶正上方4000 多米处，过 20 秒，飞机距离这个男孩头顶5000 米，飞机每时飞行多少千米？分 析 ： 根 据 题 意 ： 可 以 先 画 出 符 合 题 意 的 图 形 ； 如 右 图 ， 图 中 abc 的c90, ac4000 米，ab=5000米，欲求飞机每小时飞行多少千米，就要知道飞机在20秒的时间里的飞行路程，即图中的 cb 的长，由于直角abc的斜边ab=5000 米， ac=4000米，这样的cb就可以通过勾股定理得出；这里肯定要留意单位的换算；解： 由勾股定理得bc 2ab 2ac 2

13、5 2429千米）即 bc=3千 米，飞机20 秒飞行 3 千米，那么它1 小时飞行的距离为：b3600320540千米 / 小时）c答：飞机每个小时飞行540 千米；、随堂练习：1、课本第10 页，随堂练习1.a2、判定：（ 1）如 a、b、c 是三角形的三边，就a 2b2c 2 ；2（ 2）如正方形的面积为2cm ，就它的对角线长为2.3、运算：（ 1）在abc中，c90 0， a5, b12,求c.（ 2）在 rtabc 中，c900， c25,b24, 求a.、课时小结：1 ，勾股定理的实际应用，通过实例来懂得勾股定理的应用方法；2 ，体会勾股定理在人们的我现实生活中的应用价值，生活离

14、不开数学，数学服务于生活；、作业 ：课本 11 页习题 1.21、2学习必备欢迎下载探究勾股定理（3）教学目标 ：学问技能 ：亲身试验勾股定理的验证方法数学摸索 ：经受借助图形摸索问题的过程，初步建立几何直观；问题解决 ：在探究勾股定理的过程中，进展同学动手操作、归纳、概括和有条理地表达活动过程及结论的才能情感态度 ：1培育同学积极参加、合作沟通的意识2在探究勾股定理的过程中，体验获得胜利的欢乐，锤炼同学克服困难的士气教学重点探究多样的拼图方法教学难点探究勾股定理教学方法 ： 探究沟通教具预备同学每人课前预备如干张方格纸、投影片教学过程创设情境，引入新课（师） 我们通过哪些方法能够验证两个小正

15、方形的面积之和等于大正方形的面积？（生） 测量、数格子和图形分割.（师） 那你们能否将这个大正方形通过恰当的剪切后再拼接成两个小的正方形呢？ 叙述新课（师） 我们将上图中两个正方形分别翻折过来，得到下面图形，同学们年，你们有什么发觉呢？老师让同学自己动手操作，引导同学摸索学习必备欢迎下载（生） 大正方形和两个小正方形有许多重叠的部分 师这就是历史上出名的“青朱出入图”刘徽在他的九章术注中给出了注解，大意是：三角形 abc为直角三角形， 以勾为边的正方形为朱方，以股为边的正方形为青方以盈补虚，将朱、青二方并成弦方，依其面积关系有a 2b 2c2 （师 “青朱出入图”有什么优势呢？ 生 它不用运算

16、，单靠移动几块图形就能直观地证出勾股定理 师 回答的很好，得却用它便利了许多，真是“无字的证明”做一做 ：（ 1）任作一个 rt abc，如图，以其斜边 ab为边向直角顶点 c所在一侧作正方形 abde延长 bc交 de于 f, 过 d作 bf 的垂线 dg,g为垂足，在线段 ca上截取 ch等于 bc:过 h作 ac的垂线 hi, 交 ab 于 i, 如图 2. 沿这些线将正方形剪开，就得到了一幅五巧板图 1图 2（ 2）取两副五巧板, 将其中的一副拼成一个以c 为边长的正方形g 将另一副拼成两个边长分别为a,b 的正方形 .学习必备欢迎下载(3) 你能拼出 " 青朱出入图 &qu

17、ot; 吗.当然可能有部分是重复的了.(4) 利用五巧板 , 你仍能通过怎样的拼图验证勾股定理.与同伴沟通 .议一议：（师） 前面我们已经争论了直角三角形三遍满意的关系，那么锐角三角形或钝角三角形的三边是不是也满意这一关系呢？看下面这图观看上图，用数格子的方法判定图中三角形的三边长是否满意a2b2c2 、随堂练习：一个直角三角形的斜边为20cm，且两直角边的长度为3： 4，求两直角边的长解：可以设两直角边的长度分别为3x，4x，可得3 x24 x2202 ，解得 x=4，两直角边的长分别为12cm， 16cm、课时小结：利用几何图形的方法再次领悟勾股定理，同时以古代“青朱出入图”生动形象的对勾

18、股定理加以证明；、课后作业：习题 1.3习题 1、2学习必备欢迎下载1.2 能得到直角三角形吗教学目标学问技能 ：把握直角三角形的判别条件.数学摸索 ：对直角三角形判别条件的争论，培育同学大胆猜想，勇于探究的创新精神.问题解决 ：用三边的数量关系来判定一个三角形是否为直角三角形，培育同学数形结合的思想 .情感态度 ：通过对勾股定理逆定理的综合应用，培育同学学习数学的爱好，克服困难的士气；体验勾股定理及其逆定理在生活实际中的有用性.教学重点 ：直角三角形的判别条件及其应用；它可用边的关系来判定一个三角形是否是直角三角形；教学难点 ：用直角三角形的判别条件判定一个三角形是否为直角三角形及综合应用直

19、角三角形的学问解题.教学方法 ： 引导启示法 .教具预备 ： 绳子，三角板，圆规，量角器，纸，多媒体教学过程 . 创设情境，引入新课（师） 下面我们来总结一下直角三角形有哪些性质.（生） 直角三角形有如下性质：有一个内角为直角；两个锐角互余；两条直角边的平方和等于斜边的平方.（生） 在含 30°角的直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半.（师） 很好，反过来，一个三角形，满意什么条件就是直角三角形呢？（生） 假如有一个内角是直角，它就是直角三角形.（生） 假如有两个角的和是90°，那么这个三角形也是直角三角形.（师） 我们可以留意到这些同学都是通过角的关

20、系判定直角三角形的.前面，我们刚学习了勾股定理，知道一个直角三角形的两直角边a， b，斜边 c 具有一222定的数量关系即a +b =c . 我们是否也可以不用角，而用三角形三边的关系来判定它是否为直角三角形呢？ . 叙述新课1. 古代埃及人作直角（师） 其实， 古代埃及人就曾用三角形三边的关系作出了直角. 下面我们一同演示一下.学习必备欢迎下载我这儿有一根绳子，上面有13 个等距的结，把这根绳子分成等长的12 段. 下面我让一个同学同时握住绳子的第1 个和第 13 个结，再让两个同学分别握住绳子的第4 个结和第8 个结， 如下图所示 拉紧绳子，大家观看可以发觉什么？（生） 得到一个直角三角形

21、，在第4 个结处的角是直角.（师） 我们再来看在第1 个结到第 4 个结是 3 个单位长度即ac=b=3；同理 bc=a=4；ab=c=5. 由于 32+42=52，所以 a2+b2 =c2. 那么是不是三角形的三边满意a2+b2=c2，就可以得到一个直角三角形呢？我们不妨再找几组数试一试.2. 做一做下面四组数分别是一个三角形的三边长a， b， c：5， 12， 13； 7，24， 25；8， 15，17； 5， 6， 7.222(1) 这四组数都满意a +b =c 吗？(2) 分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？（师生共析）15 2+122=169=132

22、；72+242=625=252；2228 +15 =289=17 ；2225 +6 =61 7 .222所以这四组数，前三组满意a +b =c ，而最终一组不满意.（师） 以 5， 12， 13 这一组数为例，谁能告知我如何作出以它们为边长的三角形呢？（生） 作法：作线段ab=5 个单位长度；分别以a、b 为圆心， 12 个单位长度，13个单位长度为半径画弧，交于线段ab的同旁于一点c；连结 ac、bc. abc就是以 5、12、13 为边长的三角形.（师） 很好 . 下面同学们就以小组为单位来完成第2 小题 . 让同学亲自动手作三角形，并用量角器量出各个内角，然后小组内沟通，从而获得一个三角

23、形是直角三角形三边的条件学习必备欢迎下载222（生） 我们通过作三角形，测量三角形三个内角发觉：前三组数满意a +b =c ，作出的222三角形都是直角三角形；而后一组数不满意a +b =c ，作出的三角形不是直角三角形.（师） 你能告知我在你作出的直角三角形中，哪一边是斜边吗？哪一个角是直角吗？（生） 前三组数中，较长的边是斜边，斜边所对的角是直角.（师） 从“做一做”中你能猜想到什么结论呢？222（生） 假如三角形的三边长a， b， c 满意 a +b =c ，那么这个三角形是直角三角形. .例题讲解 :例：一个零件的外形如下图所示，按规定这个零件中a和 dbc都应为直角 . 工人师傅量出

24、了这个零件各边尺寸，那么这个零件符合要求吗？分析：这是一个利用直角三角形的判定条件解决实际问题的例子.222解：在 abd中， ab+ad=9+16=25=bd，所以 abd是直角三角形，a是直角 .在 bcd中， bd2bc22 cd2，所以 bcd是直角三角形，dbc是直角 .+=25+144=169=13 =因此这个零件符合要求. . 随堂练习1. 课本 p18 以下几组数能否作为直角三角形的三边长？说说你的理由. 19 ，12， 15；215， 36，39；312 ， 35， 36；412， 18，22.解：依据直角三角形的判定条件.22222219+12 =15 ； 215+36 =

25、39 ，所以 1 、2 两组数可以作为直角三角形的三边；但222222312+35 36 ， 412+18 32 ，所以 34两组数不能作为直角三角形的三边.2. 1判定以 a=10， b=8， c=6 为边组成的三角形是不是直角三角形.解：由于 a2+b2=100+64=164 c2即 a2+b2 c2，所以由a， b， c 不能组成直角三角形.请问：上述解法对吗？为什么？2已知：在 abc中， ab=13 cm， bc=10 cm， bc边上的中线ad=12 cm.求证： ab=ac.2222222解：1 上述解法是不对的. 由于 a=10，b=8，c=6，b +c =64+36=100=

26、10 =a . 即 b +c =a .所以由 a，b，c 组成的三角形两边的平方和等于等三边的平方，利用勾股定理的逆定理可知学习必备欢迎下载a， b， c 可构成直角三角形，其中a 是斜边， b、c 是两直角边 .评注： 在解题时， 我们不能简洁地看两边的平方和是否等于第三边的平方，而应先判定哪一条边有可能作为斜边. 往往只需看最大边的平方是否等于另外两边的平方和.证明 ： 2 依据题意，画出图形. ab=13 cm， bc=10 cm.ad是 bc边上的中线bd=cd=5 cm.在 abd中，ad=12 cm，bd=5 cm，ab=13 cm，ab2=169，ad2 +bd2=122+52=

27、169.222所以 ab=ad+bd. 就 adb=90°. adc=180° adb=180° 90° =90° .222222在 rt adc中， ac=ad+cd=12 +5 =13 .所以 ac=ab=13 cm. .课时小结这节课我们归纳推理出直角三角形判定条件，并用它去解决生活实际中的问题，最终我们仍介绍了求勾股数组的方法. .课后作业1.课本 p20，习题 1.41、2、3；学习必备欢迎下载教学目标1.3 .蚂蚁怎样走最近学问技能 ： 能运用勾股定理及直角三角形的判别条件即勾股定理的逆定理解决简洁的实际问题 .数学摸索 ： 学会观

28、看图形，勇于探究图形间的关系，培育同学的空间观念.问题解决：在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的才能及渗透数学建模的思想.情感态度 ： 通过好玩的问题提高学习数学的爱好.，并在解决实际问题的过程中，体验数学学习的有用性，表达人人都学有用的数学.教学重点 ：探究、发觉给定事物中隐含的勾股定理及其逆及理，并用它们解决生活实际问题.教学难点 ：利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题.教学方法 ：探究引导法教学过程、创设情境，引入新课：前几节课我们学习了勾股定理，你仍记得它有什么作用吗？例如：欲登12 米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物

29、5 米，至少需多长的梯子？依据题意， 如图 ac 是建筑物，就ac=12 米， bc=5 米， ab 是梯子的长度 .所以在 rtabc 中， ab2=ac2+bc2=122+52=132； ab=13 米.所以至少需13 米长的梯子 .、讲授新课：、蚂蚁怎么走最近bbaa出示问题：有一个圆柱，它的高等于12 厘米，底面半径等于3 厘米在圆行柱的底面a 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与a 点相对的b 点处的食物，需要爬行的的最短路程是多少？ 的值取 3（ 1）同学们可自己做一个圆柱，尝试从a 点到 b 点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？（小组争论）学习必备欢迎下载（ 2）如图，将圆柱侧面剪开绽开成一个长方形，从a 点到 b 点的最短路线是什么.你画对了吗 .（ 3）蚂蚁从 a 点动身，想吃到b 点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最