北京市海淀区高三数学

1、2021 北京市海淀区高三一模 数学 理2021北京市海淀区高三（一模）数学（理）2021.4本试卷共 4 页， 150 分考试时长120 分钟考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效考试终止后，将本试卷和答题卡一并交回一、挑选题共 8 小题，每道题5 分，共 40 分在每道题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1函数f x2x1 的定义域为（）a 0，）b 1，）c （， 0d （，12某程序的框图如下列图，如输入的z i （其中 i 为虚数单位） ，就输出的 s 值为（）a 1b 1c id ix y3如 x ， y 满意xy2040 ，就 z1xy 的最大值为（）2y 0a 52

2、b3c 72d44某三棱锥的三视图如下列图，就其体积为（）a33b32c 233d 2635已知数列an的前 n 项和为 sn，就“an为常数列”是“nn *, snnan ”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件 c充分必要条件d既不充分也不必要条件6在极坐标系中，圆c1 :2cos与圆 c2:2sin相交于 a ， b两点，就 ab（）a 1b2c 3d 27已知函数f xsinxa, xcosxb, x0是偶函数，就以下结论可能成立的是（）0a a, bb a442,b36c a, bd a5,b236631 / 13 1 / 132021 北京市海淀区高三一模 数学 理8某生产基地有五

3、台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示如每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，就以下表达正确选项（）a甲只能承担第四项工作b乙不能承担其次项工作 c丙可以不承担第三项工作d丁可以承担第三项工作二、填空题共6 小题，每道题5 分，共 30 分rrrr9已知向量a1,t , bt,9，如 a pb ，就 t 10在等比数列an中， a2 2，且115，就a1a3 的值为 a1a3411在三个数1 , 2212 .log 3 2 中，最小的数是 x2y212已知双曲线 c： 221的一条渐近线 l 的倾斜角为a b，且 c的一个焦点到 l 的距

4、离为3 ，就 c 的方程为313如图，在三角形三条边上的6个不同的圆内分别填入数字1， 2，3 中的一个（）当每条边上的三个数字之和为4 时，不同的填法有 种；（）当同一条边上的三个数字都不同时，不同的填法有 种14已知函数f x，对于实数 t，如存在 a 0， b 0 ，满意：xta, tb，使得 |f xf t |2，就记 a b的最大值为 h（ t）（）当f x 2x时， h（ 0） （）当f xx2 且 t1,2 时，函数 h（ t ）的值域为 2 / 13 2 / 132021 北京市海淀区高三一模 数学 理三、解答题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程1

5、5（本小题满分13 分）如图，在 abc 中，点 d在边 ab上，且addb1记 acd， bcd3（）求证：acbcsin；3sin（）如, ab6219 ，求 bc 的长16（本小题满分13 分）2004 年世界卫生组织、联合国儿童基金会等机构将青蒿素作为一线抗疟药品推广2021 年12 月10 日，我国科学家屠呦呦教授由于在发觉青蒿素和治疗疟疾的疗法上的奉献获得诺贝尔医学奖目前，国内青蒿人工种植进展快速某农科所为了深化讨论海拔因素对青蒿素产量的影响，在山上和山下的试验田中分别种植了100 株青蒿进行对比试验现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4株青蒿作为样本，每株提取的青蒿素产量（单位

6、：克）如下表所示：（）依据样本数据，试估量山下试验田青蒿素的总产量；（）记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为s2 ， s2 ，依据样本数据，试估量s2 与 s2 的大小关系1212（只需写出结论） ；（）从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取1 株，记这 2 株的产量总和为，求随机变量的分布列和数学期望位置编号山上5.03.83.63.6山下3.64.44.43.617（本小题满分14 分）如图，在四棱锥p abcd中， pa平面 abcd，四边形 abcd为正方形，点m ， n分别为线段 pb， pc 上的点， mn pb（）求证：bc平面 pab ；（）求证：当点m 不与点 p

7、，b 重合时， m ， n ， d ， a四个点在同一个平面内；（）当 pa ab 2，二面角 c an d的大小为时，求 pn 的长33 / 13 3 / 132021 北京市海淀区高三一模 数学 理18（本小题满分13 分）已知函数 f x ln x 1x 1， g xx1ln x（）求函数f x的最小值；（）求函数 gx 的单调区间；（）求证：直线y x不是曲线ygx 的切线；19（本小题满分14 分）x2y23已知椭圆 c：a 2b21ab0 的离心率为，椭圆 c 与y 轴交于 a ， b两点，且 ab 22（）求椭圆 c的方程；（）设点 p是椭圆 c上的一个动点，且点p在 y 轴的右

8、侧直线pa，pb与直线 x 4 分别交于 m，n两点如以 mn 为直径的圆与 x 轴交于两点 e，f，求点 p横坐标的取值范畴及ef的最大值20（本小题满分13 分）给定正整数 nn 3 ，集合 u n1,2, n 如存在集合 a， b，c，同时满意以下条件： u n a b c，且 a b b c a c；集合 a 中的元素都为奇数，集合b 中的元素都为偶数，全部能被3 整除的数都在集合c 中（集合 c 中仍可以包含其它数）；集合 a， b， c 中各元素之和分别记为sa， sb， sc，有 sa sb sc ；就称集合un 为可分集合（）已知 u8为可分集合，写出相应的一组满意条件的集合a

9、， b， c ；（）证明：如n 是3 的倍数，就 un不是可分集合；（）如 un为可分集合且n 为奇数，求 n 的最小值（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）4 / 13 4 / 132021 北京市海淀区高三一模 数学 理数学试题答案阅卷须知 :1. 评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数；2. 其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分；一、挑选题（本大题共8 小题 , 每道题 5 分 , 共 40 分）题号12345678答案adcacbcb二、填空题（本大题共6 小题 , 每道题 5 分,有两空的小题，第一空3 分，其次空2 分，共 30 分）9310 511

10、.1212y2x21313 4,614 2, 62,2u 23,4三、解答题 本大题共6 小题 , 共 80 分15解：（）在acd 中，由正弦定理, 有sinacadadcsin在bcd 中，由正弦定理, 有sinbcbdbdcsin由于adcbdc, 所以 sinadcsinbdc由于 addb1,所以3acsincbc3sinad（）由于，,b62由（）得acsin 23bc3sin 26设 ac2k, bc3k , k0 , 由余弦定理 ,ab2ac 2bc 22 acbccosacb代入 , 得到222 194k9k22k3kcos,3解得 k1, 所以 bc3 .16 解: i由山

11、下试验田4 株青蒿样本青蒿素产量数据，得样本平均数5 / 13 5 / 132021 北京市海淀区高三一模 数学 理x3.64.44.43.644就山下试验田100株青蒿的青蒿素产量s 估算为s100 x400 g（）比较山上、山下单株青蒿素青蒿素产量方差s2 和s2 ，结果为2s2 .12s21（）依题意，随机变量可以取 7.2，7.4，8， 8.2，8.6，9.4 ，p7.21 ,4p81 ,4p8.61 ,8p7.418p8.218p9.418随机变量的分布列为随机变量的期望e7.217.41 +81 +8.21 +8.61 +9.41 =8 .48488817 解:（）证明：在正方形a

12、bcd 中， abbc ,由于 pa平面 abcd ， bc平面 abcd ， 所以 pabc .由于 ab ipaa ，且 ab， pa平面 pab ，所以 bc平面 pab（）证明：由于bc平面 pab ， pb平面 pab ,所以 bcpb在pbc 中， bcpb ， mnpb ，所以 mn p bc .在正方形abcd 中， adp bc,所以 mnp ad ，6 / 13 6 / 13所以mn ，,2021 北京市海淀区高三一模 数学 理ad 可以确定一个平面，记为所以 m ,n , d, a四个点在同一个平面内（）由于pa平面 abcd ， ab, ad平面 abcd ，所以 pa

13、ab , paad .又 abad , 如图，以a 为原点，ab, ad, ap 所在直线为x, y, z轴建立空间直角坐标系axyz ,z所以 c2,2,0, d0,2,0, b2,0,0, p0,0,2 .pr设平面 dan 的一个法向量为nurmn x, y, z ，dyabc平面 can 的一个法向量为muuuruuur a, b, c ,x设 pnpc ,0,1 ，uuuruuur由于 pc2,2,2 ，所以 an2,2,22 ，uuuruuurrann02x2y22 z0又 ad0,2,0，所以uuurr，即，r取 z1,得到 nuuuradn01,0,1 ,uuur2 y0由于

14、ap0,0,2， ac2,2,0uuururap m02c0所以uuurur，即，acm0ur2a2b0取 a1 得,到 m1, 1,0 ,urr1由于二面 cand 大小为urr,所以3| cos1m, n|cos,32murr所以urnuur 1| cosm, n| m | n |21 221解得1 ,所以 pn3218 解:（）函数f x的定义域为0, ，f ' x11x1xx2x2当 x 变化时，f ' x ，f x的变化情形如下表：7 / 13 7 / 132021 北京市海淀区高三一模 数学 理函数 f所以 fxx在 0, 上的微小值为的最小值为0f a ln111

15、0 ，1（）解：函数g x 的定义域为0,1 u 1, ，ln x x1 1ln x11g ' xxxf xln 2 xln 2 xln 2 x由（）得，f x0 ，所以g ' x0所以 g x 的单调增区间是0,1,1, ，无单调减区间.（）证明：假设直线yx 是曲线 g x 的切线 .设切点为 x , y ，就g 'x1 ，即ln x0110x01又 yx00001 , yx ，就 x01x .ln 2 x000ln x00ln x0所以 ln x0x011x01,得 g ' x0x00 ，与g 'x01 冲突所以假设不成立，直线yx 不是曲线g x

16、 的切线19 解：（）由题意可得，b 1，ec3 ，a2a 213得2，a4解 a 24 ，2椭圆 c 的标准方程为x4y 21.（）设p x0 , y0 0x02 ，a0,1 ， b0,1 ，8 / 13 8 / 132021 北京市海淀区高三一模 数学 理所以 k pay01，直线 pa 的方程为yx0y01 x1 ， x0同理：直线pb 的方程为yy01 x1 ， x0直线 pa 与直线 x直线 pb 与直线 x4 的交点为4 的交点为m 4,n 4,4 y01x04 y01x01 ，1 ，线段 mn 的中点4, 4 y0 ，x0所以圆的方程为 x4 2 y4 y0 2x014x02 ，

17、令 y0 ，就 x4 216 y20x201x0 2 ，4x2y0由于0421 ，所以211yx042，0所以 x42850 ，x0由于这个圆与x 轴相交 , 该方程有两个不同的实数解，所以58 x00 ，解得 x08 , 2 .5设交点坐标 x1 ,0,x2 ,0，就 | x1x2 |2588（x05x02 ）所以该圆被x 轴截得的弦长为最大值为2.方法二：（）设p x0 , y0 0x02 ，a0,1 ， b0,1 ，所以 k pay01，直线 pa 的方程为yx0y01 x1 ， x0同理：直线pb 的方程为yy01x1 ，x0直线 pa 与直线 x4 的交点为m 4,4 y01x01

18、，9 / 13 9 / 132021 北京市海淀区高三一模 数学 理直线 pb 与直线 x4 的交点为n 4,4 y01x01 ，如以 mn为直径的圆与x 轴相交，4 y01就 x04 y011x010 ，16 y214 y14 y100010,x2xx即000016 y2即x218x10.00x2y211y由于0421，所以0,x0204代入得到58x00 ，解得 x08, 2 .5该圆的直径为4 y0|x014 y01+1x081|=|2| ， x0圆心到 x 轴的距离为1 | 4 y01 +1+4 y011|=| 4 y0 | ，2该圆在 x 轴上截得的弦长为x0214 2x0x0 4

19、y0 2x0x0258x0, 85x2 ；所以该圆被x 轴截得的弦长为最大值为2.方法三：（）设p x0 , y0 0x02 ，a0,1 ， b0,1 ，所以 k pay01，直线 pa 的方程为yx0y01 x1 ， x0同理：直线pb 的方程为yy01 x1 ， x0直线 pa 与直线 x直线 pb 与直线 x4 的交点为4 的交点为m 4,n 4,4 y01x04 y01x01 ，1 ，所以 |mn |=| 4 y0x01 +1 4 y01x01|=|28 |， x010 / 13 10 / 132021 北京市海淀区高三一模 数学 理圆心到 x 轴的距离为1 | 4 y01 +1+4

20、y011|=| 4 y0 | ，2如该圆与 x 轴相交，就x0|14 | x0x0x0| 4 y0 | ， x0即 14 2x04 y020 ，x0x2y0由于0421，所以211y20,x04所以 58 x00 ，解得 x0 8 , 25该圆在 x 轴上截得的弦长为214 2x0 4 y0 2x0258x0258 =2 ；2所以该圆被x 轴截得的弦长为最大值为2.方法四：记 d 2，0 ,h 4，0 ，设p x0 , y0 m 4, mn 4, n由已知可得a0,1b0,1 ，所以 ap 的直线方程为yy01 x1 ， x0y01bp 的直线方程为yx1 ，x0令 x4 ，分别可得m4 y0

21、11 ，x0所以 m 4,4 y0n11,4 y0x0n 411，4 y011，x0x0如以 mn 为直径的圆与x 轴相交于 e, f ，由于 ehmn ， 所 以eh 2hnhm，eh 2hnhm 4 y01x01 4 y011x022 16 y0168 x0x0 x2011 / 13 11 / 13x2y0由于0421，所以211yx04202021 北京市海淀区高三一模 数学 理,x8x5x 2代入得到2000所以 x0eh20 8 ,2 ，588所以 ef2eh25252x02所以该圆被x 轴截得的弦长为最大值为2.方法五：设直线op 与 x4 交于点 t由于 mn /y轴，所以有ap

22、aoop ,bpboop ,所以 aoboxtntmpntnptpmtmpt，所以 tntm ，所以 t 是 mn 的中点 .又设 p x , y0x2 ,所以直线 op 方程为 yy0 x ,0000令 x4 , 得 y4 y0 x0,所以t4 4 y0 ，x04而 rtn1x0如以 mn 为直径的圆与x 轴相交于 e, f就 d| 4 y0 |r41x0x02所以 16y0 x042x2y由于0421，所以211yx0420, 代入得到20所以 5x8x0 ，所以 x8 或 x0000058由于点 0x02 ，所以x02522424 y02而 ef2rd21258x0x0x025822所以该圆被x 轴截得的弦长为最大值为2.20 解：12 / 13 12 / 132021 北京市海淀区高三一模 数学 理（ i ）依照题意，可以取a5,7， b4,8 ， c1,2,3,6（ ii ）假设存在n 是 3 的倍数且u n 是可分集合 .设 n3k ，就依照题意3,6,3kc ，3k 23k故 sc363k，