北京市中考数学试卷解析

1、北京市中考数学试卷一、挑选题（此题共32 分，每道题4 分；以下各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的；1（ 4 分）（ 2021.北京）在关于促进城市南部地区加快进展其次阶段行动方案（20212021 ）中，北京市提出了共计约 3960 亿元的投资方案，将3960 用科学记数法表示应为（）a 39.6×102b 3.96×344c 3.96×10d 0.396×10102（ 4 分）（2021 .北京）的倒数是（）a bc d 3（ 4 分）（2021 .北京）在一个不透亮的口袋中装有5 个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2， 3， 4，5，从

2、中随机摸出一个小球，其标号大于2 的概率为（）a bcd 4（ 4 分）（2021 .北京）如图，直线a，b 被直线 c 所截， a b， 1=2，如 3=40°，就 4 等于（）a 40°b 50°c 70°d 80°5（ 4 分）（ 2021.北京）如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点a ，在近岸取点b，c，d ，使得 ab bc ， cd bc ，点 e 在 bc 上，并且点a， e， d 在同一条直线上如测得be=20m ，ce=10m ， cd=20m ，就河的宽度 ab 等于（）a 60mb 40mc 30md 20m 6

3、（ 4 分）（2021 .北京）以下图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）a bcd 7（ 4 分）（2021 .北京）某中学随机地调查了50 名同学，明白他们一周在校的体育锤炼时间，结果如下表所示：时间（小时）5678人数1015205就这 50 名同学这一周在校的平均体育锤炼时间是（）a 6.2 小时b 6.4 小时c 6.5 小时d 7 小时8（ 4 分）（ 2021 .北京）如图，点p 是以 o 为圆心， ab 为直径的半圆上的动点，ab=2 设弦 ap 的长为 x ， apo的面积为y，就以下图象中，能表示y 与 x 的函数关系的图象大致是（）a bcd 二、填空题（此题共1

4、6 分，每道题4 分）29（ 4 分）（2021 .北京）分解因式：ab 4ab+4a= 10（ 4 分）（2021.北京）请写出一个开口向上，并且与y 轴交于点（ 0，1）的抛物线的解析式，y= 11（ 4 分）（2021.北京）如图， o 是矩形 abcd 的对角线ac 的中点， m 是 ad 的中点如ab=5 ，ad=12 ，就四边形 abom的周长为12（ 4 分）（ 2021.北京）如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知直线l ： y= x 1，双曲线y=，在 l 上取一点a 1，过 a 1 作 x 轴的垂线交双曲线于点b1，过 b 1 作 y 轴的垂线交l 于点 a 2，请连续操作

5、并探究：过a 2 作 x 轴的垂线交双曲线于点b2，过 b2 作 y 轴的垂线交l 于点 a 3，这样依次得到l 上的点 a 1， a2， a 3， a n，记点 a n的横坐标为an，如 a1=2，就 a2= 不行能取的值是， a2021= ；如要将上述操作无限次地进行下去，就a1三、解答题（此题共30 分，每道题5 分）13（ 5 分）（ 2021.北京）已知：如图，d 是 ac 上一点， ab=da ，de ab ， b= dae 求证： bc=ae 014（ 5 分）（ 2021.北京）运算： （ 1） +|1| 2cos45°+（）15（ 5 分）（ 2021.北京）解不等

6、式组： 4x1=0 ，求代数式（2x 32216（ 5 分）（ 2021.北京）已知x） （x+y ）（ x y ） y2 的值17（ 5 分）（ 2021.北京）列方程或方程组解应用题：某园林队方案由6 名工人对 180 平方米的区域进行绿化，由于施工时增加了2 名工人，结果比方案提前3 小时完成任务，如每人每小时绿化面积相同，求每人每小时的绿化面积18（ 5 分）（ 2021.北京）已知关于x 的一元二次方程x（ 1）求 k 的取值范畴；2+2x+2k 4=0 有两个不相等的实数根（ 2）如 k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值四、解答题（此题共20 分，每道题5 分）19（ 5

7、 分）（ 2021.北京）如图，在.abcd 中， f 是 ad 的中点，延长bc 到点 e，使 ce=bc ，连接 de， cf（ 1）求证：四边形cedf 是平行四边形；（ 2）如 ab=4 ， ad=6 ， b=60 °，求 de 的长20（ 5 分）（2021.北京）如图ab 是 o 的直径， pa，pc 与 o 分别相切于点a ，c，pc 交 ab 的延长线于点d ， de po 交 po 的延长线于点e（ 1）求证： epd= edo ；（ 2）如 pc=6， tanpda=，求 oe 的长21（ 5 分）（ 2021.北京）第九届中国国际园林博览会（园博会）已于2021

8、 年 5 月 18 日在北京开幕，以下是依据近几届园博会的相关数据绘制的统计图的一部分（ 1）第九届园博会的植物花园区由五个花园组成，其中月季园面积为0.04 平方千米，牡丹园面积为 平方千米；（ 2）第九届园博会会园区陆地面积是植物花园区总面积的18 倍，水面面积是第七、八界园博会的水面面积之和，请依据上述信息补全条形统计图，并标明相应数据；（ 3）小娜收集了几届园博会的相关信息（如下表），发觉园博会园区周边设置的停车位数量与日均接待游客量和单 日最多接待游客量中的某个量近似成正比例关系依据小娜的发觉，请估量，将于2021 年举办的第十届园博会大约需要设置的停车位数量（直接写出结果，精确到百

9、位）第七届至第十届园博会游客量和停车位数量统计表：日接待游客量（万人次）单日最多接待游客量（万人次）停车位数量（个）第七届0.86约 3000第八届2.38.2约 4000第九届8（估量）20（估量）约 10500第十届1.9（估量）7.4（估量）约 22（ 5 分）（ 2021.北京）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为a（ a 2）的正方形abcd各边上分别截取ae=bf=cg=dh=1，当 afq= bgm= ghn= dep=45 °时，求正方形mnpq 的面积小明发觉，分别延长qe ，mf ，ng ，ph 交 fa ，gb，hc ，ed 的延长线于点r，s，

10、t，w ，可得 rqf ， smg ， tnh ， wpe 是四个全等的等腰直角三角形（如图2） 请回答：（ 1）如将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙不重叠） ，就这个新正方形的边长为；（ 2）求正方形mnpq 的面积（ 3）参考小明摸索问题的方法，解决问题：如图 3，在等边 abc 各边上分别截取ad=be=cf ，再分别过点d，e，f 作 bc ，ac ，ab 的垂线，得到等边 rpq如 srpq=，就 ad 的长为五、解答题（此题共22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分）223（ 7 分）（ 2021.北京）在平面直角坐标系xoy 中，

11、抛物线y=mx与 x 轴交于点b（ 1）求点 a ， b 的坐标； 2mx 2（ m0）与 y 轴交于点a，其对称轴（ 2）设直线l 与直线 ab 关于该抛物线的对称轴对称，求直线l 的解析式；（ 3）如该抛物线在2 x 1 这一段位于直线l 的上方，并且在2 x3 这一段位于直线ab 的下方，求该抛物线的解析式24（ 7 分）（ 2021.北京）在 abc 中， ab=ac ， bac= （ 0° 60°），将线段 bc 绕点 b 逆时针旋转60°得到线段 bd （ 1）如图 1，直接写出abd 的大小（用含的式子表示） ；（ 2）如图 2， bce=150 &

12、#176;， abe=60 °，判定 abe 的外形并加以证明；（ 3）在（ 2）的条件下，连接de，如 dec=45 °，求 的值25（ 8 分）（ 2021.北京）对于平面直角坐标系xoy 中的点 p 和 c，给出如下的定义：如c 上存在两个点a 、b ，使得 apb=60 °，就称 p 为 c 的关联点已知点d （，），e（ 0， 2）， f（ 2， 0）（ 1）当 o 的半径为1 时， 在点 d、e、f 中， o 的关联点是 过点 f 作直线 l 交 y 轴正半轴于点g，使 gfo=30 °，如直线 l 上的点 p（ m，n）是 o 的关联点，求

13、m 的取值范畴；（ 2）如线段ef 上的全部点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r 的取值范畴2021 年北京市中考数学试卷参考答案与试题解析一、挑选题（此题共32 分，每道题4 分；以下各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的；1（ 4 分）（ 2021.北京）在关于促进城市南部地区加快进展其次阶段行动方案（20212021 ）中，北京市提出了共计约 3960 亿元的投资方案，将3960 用科学记数法表示应为（）a 39.6×102b 3.96×3c 3.96×104d 0.396× 41010考点 ： 科学记数法 表示较大的数分析：科学记数法的表示

14、形式为a×10n 的形式，其中1|a| 10， n 为整数确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的肯定值与小数点移动的位数相同当原数肯定值1 时， n 是正数；当原数的绝 对值 1 时， n 是负数解答：解：将 3960 用科学记数法表示为3.96×103应选 b 点评：此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1|a| 10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值2（ 4 分）（2021 .北京）的倒数是（）a bc d 考点 ： 倒数分析：依据倒数的定义：如两个数的乘积是1，我们就称这两个数

15、互为倒数解答：解：（）×（） =1，的倒数是应选 d点评：此题主要考查倒数的定义，要求娴熟把握需要留意的是：倒数的性质：负数的倒数仍是负数，正数的倒数是正数，0 没有倒数倒数的定义：如两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数3（ 4 分）（2021 .北京）在一个不透亮的口袋中装有中随机摸出一个小球，其标号大于2 的概率为（5 个完全相同的小球，把它们分别标号为）1，2， 3， 4，5，从a bcd 考点 ： 概率公式分析：依据随机大事概率大小的求法，找准两点： 符合条件的情形数目， 全部情形的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小解答：解：依据题意可得：大于2 的有 3， 4，

16、5 三个球，共5 个球，任意摸出1 个，摸到大于2 的概率是应选 c点评：此题考查概率的求法与运用，一般方法：假如一个大事有n 种可能，而且这些大事的可能性相同，其中事件 a 显现 m 种结果，那么大事a 的概率 p（ a ） =，难度适中4（ 4 分）（2021 .北京）如图，直线a，b 被直线 c 所截， a b， 1=2，如 3=40°，就 4 等于（）a 40°b 50°c 70°d 80°考点 ： 平行线的性质分析：依据平角的定义求出1，再依据两直线平行，内错角相等解答解答：解： 1= 2， 3=40 °， 1=（ 180&

17、#176; 3） =（ 180° 40°） =70°， a b， 4= 1=70°应选 c点评：此题考查了平行线的性质，平角等于180°，熟记性质并求出1 是解题的关键5（ 4 分）（ 2021.北京）如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点a ，在近岸取点b，c，d ，使得 ab bc ， cd bc ，点 e 在 bc 上，并且点a， e， d 在同一条直线上如测得be=20m ，ce=10m ， cd=20m ，就河的宽度ab 等于（）a 60mb 40mc 30md 20m考点 ： 相像三角形的应用分析：由两角对应相等可得 bae

18、 cde ，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离ab 解答：解： ab bc， cd bc ， bae cde ， be=20m ， ce=10m ， cd=20m ，解得： ab=40 ，应选 b 点评：考查相像三角形的应用；用到的学问点为：两角对应相等的两三角形相像；相像三角形的对应边成比例6（ 4 分）（2021 .北京）以下图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）a bcd 考点 ： 中心对称图形；轴对称图形分析：依据轴对称图形的概念先求出图形中轴对称图形，再依据中心对称图形的概念得出其中不是中心对称的图形解答：解： a、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项正确；b 、是轴对

19、称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；c、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；d 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误应选： a 点评：此题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形：假如一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；中心对称图形：在同一平面内，假如把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形7（ 4 分）（2021 .北京）某中学随机地调查了50 名同学，明白他们一周在校的体育锤炼时间，结果如下表所示：时间（小时）5678人数1015205就这 50 名同学这一周在校的

20、平均体育锤炼时间是（）a 6.2 小时b 6.4 小时c 6.5 小时d 7 小时考点 ： 加权平均数分析：依据加权平均数的运算公式列出算式（5×10+6×15+7×20+8×5） ÷50，再进行运算即可解答：解：依据题意得：（ 5×10+6×15+7×20+8×5） ÷50=（ 50+90+140+40 ）÷50=320 ÷50=6.4 （小时）故这 50 名同学这一周在校的平均体育锤炼时间是6.4 小时应选 b 点评：此题考查了加权平均数，用到的学问点是加权平均数的运算公

21、式，依据加权平均数的运算公式列出算式是解题的关键8（ 4 分）（ 2021 .北京）如图，点p 是以 o 为圆心， ab 为直径的半圆上的动点，ab=2 设弦 ap 的长为 x ， apo的面积为y，就以下图象中，能表示y 与 x 的函数关系的图象大致是（）a bcd 考点 ： 动点问题的函数图象分析：作 oc ap，依据垂径定理得ac=ap=x ，再依据勾股定理可运算出oc=，然后依据三角形面积公式得到s=x.（ 0x 2），再依据解析式对四个图形进行判定解答：解：作 oc ap ，如图，就ac=ap=x ，在 rt aoc 中， oa=1 ， oc=，所以 s=oc .ap=x .（ 0x

22、 2），所以 y 与 x 的函数关系的图象为a 应选 a 点评：此题考查了动点问题的函数图象：先依据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，留意自变量的取值范畴二、填空题（此题共16 分，每道题4 分）229（ 4 分）（2021 .北京）分解因式：ab 4ab+4a=a（b 2）考点 ： 提公因式法与公式法的综合运用专题 ： 因式分解=（ a b）分析：先提取公因式a，再依据完全平方公式进行二次分解完全平方公式：a2 2ab+b22解答：解：24ab+4abab =a（2 4b+4）（提取公因式）=a（ b 2）2（完全平方公式）故答案为：

23、a（ b 2） 2点评：此题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，留意分解要完全210（4 分）（ 2021.北京）请写出一个开口向上，并且与y 轴交于点（ 0， 1）的抛物线的解析式，y=x +1（答案不唯独）考点 ： 二次函数的性质专题 ： 开放型分析：依据二次函数的性质，开口向上，要求a 值大于 0 即可解答：解：抛物线y=x 2+1 开口向上，且与y 轴的交点为（0， 1）故答案为： x2+1（答案不唯独） 点评：此题考查了二次函数的性质，开放型题目，答案不唯独，所写抛物线的a 值必需大于011（ 4 分）（2021.北京）如图， o 是矩形 ab

24、cd 的对角线ac 的中点， m 是 ad 的中点如ab=5 ，ad=12 ，就四边形 abom的周长为20考点 ： 矩形的性质；三角形中位线定理分析：依据题意可知om 是 adc 的中位线，所以om 的长可求；依据勾股定理可求出ac 的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出bo 的长，进而求出四边形abom的周长解答：解： o 是矩形 abcd 的对角线ac 的中点， m 是 ad 的中点， om=cd=ab=2.5 ， ab=5 ， ad=12 ， ac=13 ， o 是矩形 abcd 的对角线ac 的中点， bo=ac=6.5 ，四边形abom的周长为ab+am+bo+om=

25、5+6+6.5+2.5=20，故答案为20点评：此题考查了矩形的性质、三角形的中位线的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半着一性质，题目的综合性很好，难度不大12（ 4 分）（ 2021.北京）如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知直线l ： y= x 1，双曲线y=，在 l 上取一点a 1，过 a 1 作 x 轴的垂线交双曲线于点b1，过 b 1 作 y 轴的垂线交l 于点 a 2，请连续操作并探究：过a 2 作 x 轴的垂线交双曲线于点b2，过 b2 作 y 轴的垂线交l 于点 a 3，这样依次得到l 上的点 a 1， a2， a 3， a n，记点 a n的横坐标为an，如 a1

26、=2，就 a2=， a2021=；如要将上述操作无限次地进行下去，就a1 不行能取的值是0、 1考点 ： 反比例函数综合题专题 ： 探究型分析：求出 a2， a3， a4， a5 的值，可发觉规律，继而得出a2021 的值，依据题意可得a 1 不能在 x 轴上，也不能在y轴上，从而可得出a1 不行能取的值解：当 a1=2 时， b1 的纵坐标为，b 1 的纵坐标和a 2 的纵坐标相同，就a 2 的横坐标为a2=，a 2 的横坐标和b2 的横坐标相同，就b 2 的纵坐标为b2=，解答：b 2 的纵坐标和a 3 的纵坐标相同，就a 3 的横坐标为a3=，a 3 的横坐标和b3 的横坐标相同，就b

27、3 的纵坐标为b3= 3，b 3 的纵坐标和a 4 的纵坐标相同，就a 4 的横坐标为a4=2，a 4 的横坐标和b4 的横坐标相同，就b 4 的纵坐标为b4=，即当 a1=2 时， a2=， a3=， a4=2， a5=，b1=， b2=， b3= 3， b4=， a5=，=671， a2021=a3=；点 a 1 不能在 y 轴上（此时找不到b1），即 x0，点 a 1 不能在 x 轴上（此时a 2，在 y 轴上，找不到b 2），即 y= x10，解得： x 1；综上可得a1 不行取 0、 1故答案为：、； 0、 1点评：此题考查了反比例函数的综合，涉及了点的规律变化，解答此类题目肯定要先

28、运算出前面几个点的坐标，由特别到一般进行规律的总结，难度较大三、解答题（此题共30 分，每道题5 分）13（ 5 分）（ 2021.北京）已知：如图，d 是 ac 上一点， ab=da ，de ab ， b= dae 求证： bc=ae 考点 ：专题 ：分析：全等三角形的判定与性质证明题依据两直线平行，内错角相等求出全等三角形对应边相等证明即可cab= ade ，然后利用 “角边角 ”证明 abc 和 dae 全等，再依据解答：证明： de ab ， cab= ade ，在 abc 和 dae 中， abc dae （ asa ）， bc=ae 点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的

29、性质，利用三角形全等证明边相等是常用的方法之一，要娴熟把握并敏捷运用014（ 5 分）（ 2021.北京）运算： （ 1） +|1| 2cos45°+（）考点 ： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特别角的三角函数值分析：分别进行零指数幂、肯定值、特别角的三角函数值、负整数指数幂等运算，然后依据实数的运算法就运算即可解答：解：原式 =1+ 2×+4=5 点评：此题考查了实数的运算，涉及了零指数幂、肯定值、负整数指数幂及特别角的三角函数值，属于基础题，留意各部分的运算法就15（ 5 分）（ 2021.北京）解不等式组：考点 ： 解一元一次不等式组专题 ： 运算题分析：先求出

30、两个不等式的解集，再求其公共解解答：解：，解不等式 得， x 1，解不等式 得， x，所以，不等式组的解集是1x点评：此题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解） 4x1=0 ，求代数式（2x 32216（ 5 分）（ 2021.北京）已知x） （x+y ）（ x y ） y2 的值考点 ： 整式的混合运算化简求值专题 ： 运算题+y分析：所求式子第一项利用完全平方公式绽开，其次项利用平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，将已知方程变形后代入运算即可求出值解答：解：原式 =4x 212x+9

31、 x 22 y2=3x2 12x+9=3 （ x2 4x+3）， x2 4x1=0 ，即 x24x=1 ，原式 =12点评：此题考查了整式的混合运算化简求值，涉及的学问有：完全平方公式，平方差公式，去括号法就，以及合并同类项法就，娴熟把握公式及法就是解此题的关键17（ 5 分）（ 2021.北京）列方程或方程组解应用题：某园林队方案由6 名工人对 180 平方米的区域进行绿化，由于施工时增加了2 名工人，结果比方案提前3 小时完成任务，如每人每小时绿化面积相同，求每人每小时的绿化面积考点 ： 分式方程的应用分析：设每人每小时的绿化面积x 平方米，依据增加2 人后完成的时间比原先的时间少3 小时

32、为等量关系建立方程求出其解即可解答：解：设每人每小时的绿化面积x 平方米，由题意，得，解得： x=2.5经检验， x=2.5 是原方程的解，且符合题意答：每人每小时的绿化面积2.5 平方米点评：此题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，解答时验根是必需的过程，同学简单遗忘，解答此题时依据增加2 人后完成的时间比原先的时间少3 小时为等量关系建立方程是关键18（ 5 分）（ 2021.北京）已知关于x 的一元二次方程x（ 1）求 k 的取值范畴；2+2x+2k 4=0 有两个不相等的实数根（ 2）如 k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值考点 ： 根的判别式；一元二次方

33、程的解；解一元二次方程-公式法专题 ： 运算题分析：（ 1）依据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0 列出关于 k 的不等式，求出不等式的解集即可得到k 的范畴；（ 2）找出 k 范畴中的整数解确定出k 的值，经检验即可得到满意题意k 的值解答：解：（ 1）依据题意得： =44（ 2k4） =20 8k 0，解得： k；（ 2）由 k 为整数，得到k=1 或 2，利用求根公式表示出方程的解为x= 1±，方程的解为整数， 5 2k 为完全平方数， 就 k 的值为 2点评：此题考查了根的判别式，一元二次方程的解，以及公式法解一元二次方程，弄清题意是解此题的关键四、解答题（此

34、题共20 分，每道题5 分）19（ 5 分）（ 2021.北京）如图，在.abcd 中， f 是 ad 的中点，延长bc 到点 e，使 ce=bc ，连接 de， cf（ 1）求证：四边形cedf 是平行四边形；（ 2）如 ab=4 ， ad=6 ， b=60 °，求 de 的长考点 ： 平行四边形的判定与性质；含30 度角的直角三角形；勾股定理分析：（ 1）由 “平行四边形的对边平行且相等”的性质推知ad bc ，且 ad=bc ；然后依据中点的定义、结合已知条件推知四边形cedf 的对边平行且相等（df=ce ，且 df ce），即四边形cedf 是平行四边形；（ 2）如图，如图

35、，过点 d 作 dh be 于点 h，构造含 30 度角的直角 dch 和直角 dhe 通过解直角 dch和在直角 dhe 中运用勾股定理来求线段ed 的长度解答：（ 1）证明：在 .abcd中， ad bc ，且 ad=bc f 是 ad 的中点， df= 又 ce=bc， df=ce ，且 df ce，四边形cedf 是平行四边形；（ 2）解：如图，过点d 作 dh be 于点 h 在 .abcd中， b=60 °， dce=60 ° ab=4 ， cd=ab=4 ， ch=2 ， dh=2在 .cedf 中， ce=df=ad=3 ，就 eh=1 在 rtdhe 中，

36、依据勾股定理知de=点评：此题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理平行四边形的判定方法共有五种，应用时要仔细领悟它们之间的联系与区分，同时要依据条件合理、敏捷地挑选方法20（ 5 分）（2021.北京）如图ab 是 o 的直径， pa，pc 与 o 分别相切于点a ，c，pc 交 ab 的延长线于点d ， de po 交 po 的延长线于点e（ 1）求证： epd= edo ；（ 2）如 pc=6， tanpda=，求 oe 的长考点 ： 切线的性质；相像三角形的判定与性质分析：（ 1）依据切线长定理和切线的性质即可证明：epd= edo ；（ 2）连接 oc，利用 tan pda=，可求出

37、 cd=4 ，再证明 oed dep ，依据相像三角形的性质和勾股定理即可求出oe 的长解答：（ 1）证明： pa， pc 与 o 分别相切于点a ，c， apo= epd 且 pa ao ， pao=90 °， aop= eod ， pao= e=90 °， apo= edo ， epd= edo ；（ 2）解：连接oc ， pa=pc=6， tanpda=，在 rtpad 中， ad=8 ， pd=10 ， cd=4 ， tanpda=，在 rtocd 中， oc=oa=3 ，od=5 ， epd= dep， oed dep ，在 rt oed 中， oe222 oe=

38、+de=5 ，点评：此题综合考查了切线长定理，相像三角形的性质和判定，勾股定理的应用，能综合运用性质进行推理和运算是解此题的关键，通过做此题培育了同学的分析问题和解决问题的才能21（ 5 分）（ 2021.北京）第九届中国国际园林博览会（园博会）已于2021 年 5 月 18 日在北京开幕，以下是依据近几届园博会的相关数据绘制的统计图的一部分（ 1）第九届园博会的植物花园区由五个花园组成，其中月季园面积为0.04 平方千米，牡丹园面积为0.03平方千米；（ 2）第九届园博会会园区陆地面积是植物花园区总面积的18 倍，水面面积是第七、八界园博会的水面面积之和，请依据上述信息补全条形统计图，并标明

39、相应数据；（ 3）小娜收集了几届园博会的相关信息（如下表），发觉园博会园区周边设置的停车位数量与日均接待游客量和单 日最多接待游客量中的某个量近似成正比例关系依据小娜的发觉，请估量，将于2021 年举办的第十届园博会大约需要设置的停车位数量（直接写出结果，精确到百位）第七届至第十届园博会游客量和停车位数量统计表：日接待游客量（万人次）单日最多接待游客量（万人次）停车位数量（个）第七届0.86约3000第八届2.38.2约4000第九届8（估量）20（估量）约10500第十届1.9（估量）7.4（估量）约3700考点 ： 条形统计图；用样本估量总体；统计表；扇形统计图分析：（ 1）依据月季园和牡

40、丹园所占的比例求出牡丹园的面积即可；（ 2）先算出植物花园的总面积，然后可求出第九届园博会会园区陆地面积，依据图象求出第七、八界园博会的水面面积之和，补全条形统计图即可；（ 3）依据图表所给的信息，求出停车位数量与单日最多接待游客量成正比例关系，算出比值，求出大约需要设置的停车位数量解答：解：（ 1）月季园面积为0.04 平方千米，月季园所占比例为20%， 就牡丹园的面积为：15%×=0.03 （平方千米） ；（ 2）植物花园的总面积为：0.04÷20%=0.2 （平方千米） ，就第九届园博会会园区陆地面积为：0.2×18=3.6（平方千米） ，第七、八界园博会的

41、水面面积之和=1+0.5=1.5 （平方千米） ， 就水面面积为1.5 平方千米，如图：；（ 3）由图标可得，停车位数量与单日最多接待游客量成正比例关系，比值约为500， 就第十届园博会大约需要设置的停车位数量约为：500×7.43700故答案为： 0.03； 3700点评：此题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决 问题的关键条形统计图能清晰地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小22（ 5 分）（ 2021.北京）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为a（ a 2）的正方形abcd各边上分别截

42、取ae=bf=cg=dh=1，当 afq= bgm= ghn= dep=45 °时，求正方形mnpq 的面积小明发觉，分别延长qe ，mf ，ng ，ph 交 fa ，gb，hc ，ed 的延长线于点r，s，t，w ，可得 rqf ， smg ， tnh ， wpe 是四个全等的等腰直角三角形（如图2） 请回答：（ 1）如将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙不重叠），就这个新正方形的边长为a2；（ 2）求正方形mnpq 的面积（ 3）参考小明摸索问题的方法，解决问题：如图 3，在等边 abc 各边上分别截取ad=be=cf ，再分别过点d，e，f 作 bc ，ac ，a

43、b 的垂线，得到等边 rpq如 srpq=，就 ad 的长为考点 ： 四边形综合题；分析：（ 1）四个等腰直角三角形的斜边长为a，其拼成的正方形面积为a2（ 2）如题图2 所示，正方形mnpq 的面积等于四个虚线小等腰直角三角形的面积之和，据此求出正方形mnpq 的面积；（ 3）参照小明的解题思路，对问题做同样的等积变换如答图1 所示，三个等腰三角形 rsf， qef， pdw 的面积和等于等边三角形abc 的面积，故阴影三角形 pqr 的面积等于三个虚线等腰三角形的面积之和据此列方程求出ad 的长度解答：解：（ 1）四个等腰直角三角形的斜边长为a，就斜边上的高为a，每个等腰直角三角形的面积为

44、：2a.a=a ，就拼成的新正方形面积为：4× a22，即与原正方形abcd面积相等=a故填空答案为：a2（ 2）四个等腰直角三角形的面积和为a2，正方形abcd 的面积为a2， s 正方形 mnpq=s are +sdwh +sgct+ssbf=4sare=4 × ×12=2（ 3）如答图1 所示，分别延长rd ， qf，pe 交 fa， ec ，db 的延长线于点s， t，w 由题意易得： rsf， qef， pdw 均为底角是30°的等腰三角形，其底边长均等于 abc 的边长不妨设等边三角形边长为a，就 sf=ac=a 如答图 2 所示，过点r 作

45、 rm sf 于点 m ，就 mf=sf=a， 在 rt rmf 中， rm=mf .tan30°=a×=a，a srsf=a.a=2过点 a 作 an sd 于点 n，设 ad=as=x ，同理可求得：s=x2 ads三个等腰三角形rsf， qef， pdw 的面积和 =3s22，=3×，a正 abc 的面积为2rsfa =a srpq=sads +scft+sbew =3sads ，=3×x2，解得 x=或 x=（不合题意，舍去） x=，即 ad 的长为故填空答案为：点评：此题考查了几何图形的等积变换，涉及正方形、等腰直角三角形、等腰三角形、正三角形

46、、解直角三角形等多个学问点，是一道好题通过此题我们可以体会到，运用等积变换的数学思想，不仅简化了几何运算，而且形象直观，易于懂得，表达了数学的魅力五、解答题（此题共22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分）223（ 7 分）（ 2021.北京）在平面直角坐标系xoy 中，抛物线y=mx与 x 轴交于点b（ 1）求点 a ， b 的坐标； 2mx 2（ m0）与 y 轴交于点a，其对称轴（ 2）设直线l 与直线 ab 关于该抛物线的对称轴对称，求直线l 的解析式；（ 3）如该抛物线在2 x 1 这一段位于直线l 的上方，并且在2 x3 这一段位于直线ab 的下方

47、，求该抛物线的解析式考点 ： 二次函数的性质；一次函数图象与几何变换；二次函数图象上点的坐标特点分析：（ 1）令 x=0 求出 y 的值，即可得到点a 的坐标，求出对称轴解析式，即可得到点b 的坐标；（ 2）求出点a 关于对称轴的对称点（2， 2），然后设直线l 的解析式为y=kx+b （ k 0），利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；（ 3）依据二次函数的对称性判定在2 x 3 这一段与在 1 x 0 这一段关于对称轴对称，然后判定出抛 物线与直线l 的交点的横坐标为1，代入直线l 求出交点坐标，然后代入抛物线求出m 的值即可得到抛物线解析式解答：解：（ 1）当 x=0 时， y= 2，

48、 a （0， 2），抛物线的对称轴为直线x= =1 ， b（ 1， 0）；（ 2）易得 a 点关于对称轴直线x=1 的对称点a （ 2， 2），就直线 l 经过 a 、 b，设直线 l 的解析式为y=kx+b （ k0），就，解得，所以，直线l 的解析式为y= 2x+2 ；（ 3）抛物线的对称轴为直线x=1 ，抛物线在2 x 3 这一段与在1 x 0 这一段关于对称轴对称，结合图象可以观看到抛物线在2 x 1 这一段位于直线l 的上方，在 1 x 0 这一段位于直线l 的下方，抛物线与直线l 的交点的横坐标为1， 当 x= 1 时， y= 2×（ 1）+2=4 ，所以，抛物线过点（1

49、， 4），当 x= 1 时， m+2m 2=4， 解得 m=2 ，抛物线的解析式为y=2x 24x 2点评：此题考查了二次函数的性质，一次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特点，第（ 3）小题较难，依据二次函数的对称性求出抛物线经过的点（1， 4）是解题的关键24（ 7 分）（ 2021.北京）在 abc 中， ab=ac ， bac= （ 0° 60°），将线段 bc 绕点 b 逆时针旋转60°得到线段 bd （ 1）如图 1，直接写出abd 的大小（用含的式子表示） ；（ 2）如图 2， bce=150 °， abe=60 °，判定 abe 的外形并加以证明；（ 3）在（