北大附中高考数学专题复习圆锥曲线

1、优秀学习资料欢迎下载学科：数学教学内容：圆锥曲线【考点梳理】一、考试内容1曲线和方程；由已知条件列出曲线的方程；充要条件；曲线的交点；2椭圆及其标准方程；焦点、焦距；椭圆的几何性质：范畴、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率、准线；椭圆的画法；3双曲线及其标准方程；焦点、焦距；双曲线的几何性质：范畴、对称性、实轴、虚轴、渐近线、离心率、准线；双曲线的画法；等边双曲线；4抛物线及其标准方程；焦点、准线；抛物线的几何性质：范畴、对称性、顶点、离心率；抛物线的画法；5坐标轴的平移；利用坐标轴的平移化简圆锥曲线方程；二、考试要求1把握直角坐标系中的曲线方程的关系和轨迹的概念；能够依据所给条件，挑选适当的直

2、角坐标系求曲线的方程，并画出方程所表示的曲线；懂得充分条件、必要条件、充要条件的意义，能够初步判定给定的两个命题的充要关系；2把握圆锥曲线的标准方程及其几何性质；会依据所给的条件画圆锥曲线；明白圆锥曲线的一些实际应用；对于圆锥曲线的内容，不要求解有关两个二次曲线的交点坐标的问题（两圆的交点除外）；3懂得坐标变换的意义，把握利用坐标轴平移化简圆锥曲线方程的方法；4明白用坐标讨论几何问题的思想，初步把握利用方程讨论曲线性质的方法；三、考点简析1“曲线的方程”和“方程的曲线”的概念在直角坐标系中，假如某曲线c（看作满意某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程fx,y=0 的实数解建立了如下关系

3、：（ 1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（ 2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点；那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线；2充要条件（ 1）对于已知条件a 和条件 b ，如 a 成立就 b 成立，即 ab ，这时称条件a 是 b成立的充分条件；（ 2）对于已知条件a 和条件 b ，如 b 成立就 a 成立，即 ba ，这时称条件a 是 b成立的必要条件；（ 3）如既有 ab，又有 ba ，那么 a 既是 b 成立的充分条件，又是b 成立的必要条件，这时称a 是 b 成立的充要条件；3圆锥曲线的定义、标准方程和几何性质（各选其中一种为例，其余同理讨论）如下优秀学习资料欢迎下

4、载表：椭圆双曲线抛物线平面内到两个定点f1、f2定义 1定义 2平面内到两个定点f1、f2 的距离之和等于定值2a2a>|f1f2|的点的轨迹平面内到定点f 与到定直线 l 的距离之比是常数 e0<e<1 的点的轨迹的距离之差的肯定值等于定值 2a0<2a<|f1 f2|，的点的轨迹平面内到定点f 与到定直线 l 的距离之比是常数ee>1的点的轨迹；平面内到定点f 和定直线 l 的距离相等的点的轨迹平面内到定点f 与到定直线 l 的距离之比是常数 ee=1的点的轨迹；x2标准方程a 2y2+ b 2x2=1a>b>0a2y 2- b 2=1a&g

5、t;b>02y =2pxp>0图形顶点坐标± a,00, ± b± a,00,0对称轴22焦点坐标x 轴，长轴长为2ay 轴，短轴长为2b ± c,0x 轴，实轴长为2ay 轴，虚轴长为2b ± c,0x 轴22 p ， 0c=abc=ab2焦距2c2c，离心率ce=0<e<1e>1e=1aa 2准线x= ± ca 2x= ±cpx= -2渐近线，y=± b x，a点 mx0,y0|mf 右 |=a-ex0| mf 右 |x 0| x 0 ex0a|p的焦半径公式|mf 左 |=a+e

6、x0| mf 左 |x0ex0ax 0+2| x0 |4直线与圆锥曲线的位置关系优秀学习资料欢迎下载直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点；直线与圆锥曲线的位置关系的讨论方法可通过代数方法即解方程组的方法来讨论；由于方程组解的个数与交点的个数是一样的；5直线与圆锥曲线相交的弦长公式设直线 l :y=kx+n ，圆锥曲线： fx,y=0 ，它们的交点为p1 x1,y1 ， p2 x2,y2，且由f x, y0消去 y ax2+bx+c=0（ a 0）=b2- 4ac；就弦长公式为ykxn22221k 2 1k 2 d= x1x2 y1y2 =1

7、k x1x2 =2a=| a |6坐标轴的平移及移轴公式坐标轴的方向和长度单位都不转变，只转变原点的位置，这种坐标系的变换叫坐标轴的平移，简称移轴；移轴公式x x'hx'或y y'ky'x h，这里 x,y ， x ,y ， h,k 分别为原坐标系中的y k坐标，新坐标系中的坐标，新原点在原坐标系中的坐标；四、思想方法1求轨迹方程的基本方法有两大类，即直接法和间接法；其中直接法包括：直译法，定义法，待定系数法，公式法等；间接法包括：转移法，参数法k 参数、 t 参数， 参数及多个参数 等；2本节解题时用到的主要数学思想方法有：（ 1）函数方程思想； 求平面曲线的

8、轨迹方程，其解决问题的最终落脚点就是将几何条件性质 表示为动点坐标x、 y 的方程或函数关系（参数法）；（ 2）数形结合思想； 解题时重视方程的几何意义和图形的帮助作用是特别必要的；即将对几何图形的讨论，转化为对代数式的讨论，同时又要懂得代数问题的几何意义；（ 3）等价转化思想； 在解决问题的过程中往往需要将一个问题等价转化为另一个较为简洁的问题去求解；3防止繁复运算的基本方法可以概括为：回避，挑选，寻求；所谓回避，就是依据题设的几何特点，敏捷运用曲线的有关定义、性质等，从而防止化简方程、求交点、解方程等繁复的运算；所谓挑选，就是挑选合适的公式，合适的参变量，合适的坐标系等，一般以直接性和间接

9、性为基本原就；由于对一般方程运算复杂的问题，用参数方程可能会简洁；在某始终角坐标系下运算复杂的问题，通过移轴可能会简洁；在直角坐标系下运算复杂的问题，在极坐标系下可能会简洁“所谓寻求”；【例题解析 】例 1设直线 l：x=73 ，定点 a3 ,0，动点 p 到直线 l 的距离为d，且6| pa |3=；d2求动点 p 的轨迹 c 的方程；优秀学习资料欢迎下载解设动点 px,y ；由题意得 x3 2y23=，| 73x |26由两边平方得，x2-23 x+3+y 2=x 2- 7334349x+，121即x 2 -4x+y 2 = 1 ；3416经配方得1x-3221 ，即 x-232y +y

10、=4242 +14=1；例 2已知抛物线c 的对称轴与y 轴平行，顶点到原点的距离为5；如将抛物线c 向上平移 3 个单位，就在x 轴上截得的线段长为原抛物线c 在 x 轴上截得的线段长的一半； 如将抛物线c 向左平移1 个单位，就所得抛物线过原点，求抛物线c 的方程；解设所求抛物线方程为x-h2=ay-ka r,a 0由的顶点到原点的距离为5，得h2k 2=5在中，令y=0，得 x 2-2hx+h 2+ak=0；设方程的二根为x 1,x2，就|x1-x 2|=2ak ；将抛物线向上平移3 个单位，得抛物线的方程为2x-h=ay-k-3令 y=0，得 x 2-2hx+h 2+ak+3a=0；设

11、方程的二根为x3,x4，就|x3-x 4|=2ak3a ；依题意得 2ak3a= 1 ·2ak ，2即4ak+3a=ak2将抛物线向左平移1 个单位，得 x-h+1=ay-k,2由抛物线过原点，得1-h=-ak由得a=1， h=3,k=-4或 a=4， h=-3,k=-4；所求抛物线方程为x-3 2=y+4 ，或x+32=4y+4 ；x2y 2例 3设椭圆2 +2ab=1 的两焦点为f1、 f2，长轴两端点为a 1、a 2；（ 1）p 是椭圆上一点，且f1pf2=60 °，求 f1pf2 的面积；（ 2）如椭圆上存在一点q，使 a 1qa 2=120°，求椭圆离心

12、率e 的取值范畴；解（1）设 |pf1|=r1,|pf2 |=r2,就 r1+r 2=2a；在 f1pf2 中， |f1f2|=2c, f1pf2=60° ,由余弦定理，得4c2=r 12+r22 2r1r2cos60°=r 1+r2 2 3r1r2 ,优秀学习资料欢迎下载将 r1+r2=2a 代入，得r1 r2=4 a2-c32=4 b23 s f1 pf 2 =1r1r2sin60 °2= 1 ·2b2 ·433 =b2；323（ 2）设点 q 的坐标为 x 0,y0 ，就22222 2；0b x 0+a y=a b a 1qa 2=120

13、 °,又不妨设a 1a,0,a 2-a,0， tan（ - a1qa2） =y0x0ay0x0a2=2ay 03222=1y020xa 2x0y 0a2a 202将 x 0 =a2 -by 2 代入得2aya 21b 202 y 0=3解得 ,y0=2ab 23a2b 2 -b y0 b3 b2+2ab -3 a2 0即3 b a2+2b -3 0，解得 b aa3 ，e2=1- a23b 2 2 ，且 e2<1；33 e<1；6y2例 4设双曲线a2x 2-=1 的焦点分别为f1、 f2 ，离心率为2；3（ 1）求此双曲线的渐近线l 1、l 2 的方程；（ 2）如 a

14、、b 分别为 l1、l 2 上的动点，且2|ab|=5|f 1 f2 |，求线段ab 的中点 m 的轨迹方程并说明轨迹是什么曲线；解（1）由已知得已知双曲线的离心率为2a3=2，解得a2a =1，所以已知双曲线2方程为 y2- x3=1 ，它的渐近线l 1、l 2 的方程为x-3 y=0 和 x+3 y=0 ；（ 2）由于 |f1f2|=4， 2|ab|=5|f 1 f2 |，所以 |ab|=10 ；设 a 在 l1 上， b 在 l2 上，就可以设a3 y 1,y1 、b-3 y 2、y2 ，23 y1y 2 y1y 2=102设 ab 的中点 mx,y ，就 x=3 y13y22,y=y1

15、y2 ；2优秀学习资料欢迎下载 y1 -y 2=2 x,y1+y32=2y ，22224 xx3 y代入得 12y +=100，即中点m的轨迹方程为+=1，是椭圆；37525例 5已知椭圆的一个顶点为a0,-1 ，焦点在x 轴上，其右焦点到直线x-y+22 =0的距离为3，（ 1）求椭圆方程；（ 2）椭圆与直线y=kx+mk 0相交于不同的两点m 、n ，当|am|=|an| 时，求 m 的取值范畴；解（1）设已知椭圆方程为22x+ y=1a>b>0a 2b2其中 b=1 ；又设右焦点为c,0 ，就| c222 | =3 ，解得 c=2 , a=3 ；椭圆方程为2x+y 2=1；3

16、（ 2）设 p 为 mn的中点，解方程组ykxm得x 23y 2303k2+1x2+6mkx+3m2-1=0 = -12m 2+36k 2+12>0 ，得 m2<3k 2+1又 x m+x n=6mk,xp=3mkyp=kx p+m=3k2m 3k 213k 2kmap=113k 213km又由 mn ap 得m变形后，得2m=3k 23k 23km1 = - 1 ；k+12把代入，得2m>m, 解得 0<m<2；22m又由得 k =31 >0，解得1；m>21<m<2 ；2例 6已知曲线c:x 2-y 2=1 及直线 l:y=kx-1 ，

17、曲线 c与 c 关于直线l 对称；优秀学习资料欢迎下载（ 1）当 k=1 时，求曲线c的方程；（ 2）求证：不论实数k 为何值， c 与 c恒有公共点；解（1）设 px,y 是所求曲线c上任意一点，p 点关于直线l 的对称点qx 0,y0在已知曲线c 上；y0yx0xy0y21x0x12x0y1解得y0x1代入 c 的方程得 y+1 2-x-1 2=1，即得 c的方程；（ 2）当 c 与 c有公共点且在l 上时，此公共点也即是c与 l 的公共点；y方程组kx1有实数解 ,x 2y21方程 x 2-kx-1 2=1 有实根，（ 1-k2 ）x2 +2kx-2=0 有实根；当 k 2=1，即 k=

18、 ± 1 时，方程有实根x= ± 1， c 与 l 有两个公共点；当 k 2 1，即 k ± 1 时， =4k 2+81-k2 0，解得 -2 k 2 ，且 k± 1；当 -2 k 2 时， c 与 l 有公共点， c 与 c也有公共点；当 c 与 c的公共点p 不在 l 上时，就 p 点关于 l 的对称点 q 也是 c 与 c的公共点，所以p、q 两点均在c 上，即 c 上有不同两点p、q 关于 l 对称；1设 p、q 所在直线的方程是y= -x+bk 0；ky1 x由kb消去 y 得x2y 21（ 1- 1k 2）x2 +2b2x-b -1=0k =

19、4b 2k 2+4b2+11-12 >01k又 pq 的中点 mx m ,y m 在 l 上，2b且 xmk2211 kkb,1k 2y1mx mkbk 2b,1k 2优秀学习资料欢迎下载将 x m 、ym 代入 l 的方程得bk 2k 2 b1k 21k 2=2 -1，即 b=2,1 k2k代入（ 1）式解得： k - ,-1 （ -5 ， 0） 0,55 1,+ ；5 k（ -， -1）（ -5 ， 0） 0,55 1,+ 时， c 与 c有不在l 上的公共5点；由于与中，k 的解集的并集为实数集r，不论实数k 为何值， c 与 c恒有公共点；例 7已知椭圆c 的方程为x2+2y=1

20、，点 pa,b的坐标满意22a +2 b1；过点 p 的直2线 l 与椭圆交于a 、b 两点，点q 为线段 ab 的中点，求：（ 1）点 q 的轨迹方程；（ 2）点 q 的轨迹与坐标轴的交点的个数；解（1）设点 a 、b 的坐标分别为ax 1,y1、bx 2,y2，点 q 的坐标为（ x,y ）；当 x 1 x 2 时，设直线l 的斜率为k ，就 l 的方程为y=kx-a+b ；y21 +又已知 x 2122y22=1,x 2 +2=1y1=kx 1-a+b,y 2=kx 2-a+b由得x 1+x2x 1 -x 2+由得1 y 1+y2y 1-y 2 =02y1+ y 2=kx 1+x2-2a

21、k+2b由、及x=x1x2 2， y=y1y22y1y2,k=x1x2优秀学习资料欢迎下载得点 q的坐标满意方程222x +y -2ax-by=0当 x 1=x2 时， k 不存在，此时l 平行于 y 轴，因此ab 的中点 q 肯定落在x 轴上，即 q的坐标为 a,0；明显点q的坐标满意方程；综上所述，点q的坐标满意方程2x2+y2-2ax-by=0设方程所表示的曲线为l，2x 2就由x 2y 22axby02y12得2a2+b2x 2 -4ax+2-b 2=0b 2b 2由于 =8b 2a2 +2-1, 又已知 a2+ 1,22所以当 a2+ b2=1 时， =0，曲线 l 与椭圆 c 有且

22、只有一个交点pa,b；2当 a2+ b2<1 时， <0 ，曲线 l 与椭圆没有交点；由于 0,0在椭圆 c 内，又在曲线l 上，所以曲线l 在椭圆内；故点 q 的轨迹方程为2x 2+y 2-2ax-by=0 （ -1 x 1）；（ 2）由2x22x 2x0y 2y 22ax2axbyby00解得曲线l 与 y 轴交于点 0,0,0,b；由解得曲线l 与 x 轴交于点 0,0,a,0；y0当 a=0，b=0，即点 pa,b为原点时， a,0、（ 0,b ）与 0,0重合，曲线 l 与坐标轴只有一个交点 0,0；当 a=0，且 0<|b| 1，即点 pa,b不在椭圆c 外且在除

23、去原点的y 轴上时，曲线l 与坐标轴有两个交点0， b 与0,0；同理，当b=0 且 0<|a|1 时，曲线成坐标轴有两个交点（a,0） ,（ 0,0）；当 0<|a| 1，0<|b| 1，即点 pa,b不在椭圆c 外且不在坐标轴上时，曲线 l 与坐标有三个交点a,0、0,b与0,0 ；例 8在直角坐标系中，abc 的两个顶点c、a 的坐标分别为0,0、23 ，0，三个内角 a 、b、c 满意 2sinb=3 sina+sinc ；优秀学习资料欢迎下载（ 1）求顶点 b 的轨迹方程；（ 2）过顶点c 作倾斜角为 的直线与顶点b 的轨迹交于p、q 两点，当 0,2时，求 apq

24、 面积 s 的最大值；解（1）设 abc 的三个内角a 、b、 c 所对的边分别为a、b、c；由正弦定理a sin ab=sin bc=sin c=2r ； 2sinb=3 sina+sinc 2b=3 a+c b=23 a+c=4即|bc|+|ba|=4.由椭圆定义知，b 点轨迹是以c、a 为焦点，长轴长为4，中心在（3 ，0）的椭圆； b 点轨迹方程为x3 24+y2 =1y 0（ 2）设直线 pq 的方程为y=x · tan ， （ 0，），2y由xx·tan3 2y 214得1+4tan2 x 2 -23 x-1=0 ；设方程两根为x1、x2,231就 x 1+x

25、2=2, x1·x 2=2214 tan14 tan2 |pq|=1tan2 x1x 2=1tan2 x1x 24x1x2 优秀学习资料欢迎下载=1tan223242214 tan14 tan412tan=14 tan 2点 a 到直线 pq 的距离 d= | 213 tan tan2|23 tan=，1tan2 0, tan>02 s =1|pq|· d2141tan 223 tan= 2 · 14 tan 2·21tan43tan1tan 2=214 tan43tan=14 tan 2sec43 sin=14sin 2=13 sin4 23 sin当且仅当3 sin =1时，3 sin即 sin =1,=arcsin33 时，等号成立；3 s 的最大值为2；例 9设抛物线y2=2pxp>0 的焦点为f，经过点f 的直线交抛物线于a 、b 两点，点 c 在抛物线的准线上，且bc x 轴；证明直线ac 经过原点o（ 20xx 年全国高考数学试题）证明一如图 10-4，由于抛物线y2=2pxp>0 的焦点为f（p ， 0），2所以经过点f 的直线 ab 的方程可设为x=my+p ;2代入抛物线方程得y 2-2pmy-p 2=0 ；优秀学习资料欢迎下载如记 ax