北大附中高考数学专题复习函数与方程

1、学习必备欢迎下载学科：数学教学内容：函数与方程考点梳理一、考试内容集合、子集、交集、并集、补集；|ax+b|<c、|ax+b|>cc>0 型不等式；一元二次不等式；映射、函数；分数指数幂与根式；函数的单调性，函数的奇偶性；反函数，互为反函数的函数图像间的关系；指数函数；对数，对数的性质和运算法就；对数函数，换底公式；简洁的指数方程和对数方程；二、考试要求1.懂得集合、子集、交集、并集、补集的概念；明白空集和全集的意义；明白属于、包含、相等关系的意义；能把握有关的术语和符号，能正确地表示一些较简洁的集合；2.懂得 |ax+b|<c、|ax+b|>cc>0 型不

2、等式的概念，并把握它们的解法；明白二次函数、一元二次不等式及一元二次方程三者之间的关系，把握一元二次不等式的解法；3.明白映射的概念，在此基础上懂得函数及其有关的概念，把握互为反函数的函数图像间的关系；4.懂得函数的单调性和奇偶性的概念，并能判定一些简洁函数的单调性和奇偶性；能利用函数的奇偶性来描画函数的图像；5.懂得分数指数幂、根式的概念，把握分数指数幂的运算法就；6.懂得对数的概念，把握对数的性质；7.把握指数函数、 对数函数的概念及其图像和性质，并会解简洁的指数方程和对数方程；三、考点简析1.函数及相关学问关系表学习必备欢迎下载2.集合（ 1）作用位置“集合” 是数学争论的基本对象之一；

3、学习集合的概念，有助于懂得事物的规律关系和对应关系，加深对数学的抽象特点的懂得，也能提高使用数学语言的才能；高考试题中， 对集合从两个方面进行考查：一方面是考查对集合概念的熟悉和懂得水平， 主要表现在对集合的识别和表达上；如对集合中涉及的特定字母和符号，元素与集合间的关系，集合与集合间的比较，另一方面，就是考查同学对集合学问的应用水平，如求方程组、不等式组及联立条件组的解集，以及设计、使用集合解决问题等；（ 2）重点与难点重点是集合的概念和表示法及交、并、补集的运算；难点是集合运算的综合运用，特殊是带有参数的不等式解集的争论；（ 3）有关子集的几个等价关系 a b=aab； a b=bab；

4、abc uac ub ； a cub =cuab； cua b=iab；学习必备欢迎下载（ 4）交、并集运算的性质 a a=a ，a =， a b=b a ； a a=a ，a =a ，a b=b a ； cu a b= cua cub， cu a b= c ua cub ；（ 5）有限子集的个数：设集合a 的元素个数是n，就 a 有 2n 个子集， 2n1 个非空子集；3.函数的性质（ 1）函数的概念：定义域、值域、对应法就、反函数、复合函数、分段函数；（ 2）函数的性质：单调性、奇偶性、有界性、极（最）值性、对称性、周期性等；（ 3）函数对称性与周期性的几个结论：设函数y=fx 的定义域为

5、r，且满意条件fa+x=fb x ，就函数 y=fx 的图像关于直线 x=ab 对称； 2定义在r 上的函数y=fx 对定义域内任意x 有 fx+a=fx b， 就 y=fx 是 以 t=a+b为周期的函数；定义在r 上的函数y=fx 对定义域内任意x 满意条件fx=2b f2a x ，就 y=fx 关于点 a,b对称；如 y=fx 既关于直线x=a 对称，又关于x=b（ ab）对称，就y=fx 肯定是周期函数，且 t=2|a b|是它的一个周期；如 y=fx 既关于直线x=a 对称，又关于点b,c 中心对称，就y=fx 肯定是周期函数，且 t=4|a b|是它的一个周期；（ 4）函数的奇偶性

6、与单调性：奇函数与偶函数的定义域关于原点对称，图像分别关于原点与y 轴对称；任意定义在r 上的函数fx 都可以惟一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和；即fx=f xf 2xf xf x+2如奇函数fx 在区间 a,b0 a<b上单调递增（减） ，就 fx 在区间 b, a上也是单调递增（减） ；如偶函数fx 在区间 a,b （0 a<b）上单调递增（减） ，就 fx 在区间 b,a 上单调递学习必备欢迎下载减（增）；函数 fx 在 r 上单调递增，如fa>fb ， 就 a>b;函数 fx 在 r 上单调递减，如fa>fb ， 就 a<b;如 fx 在定义域内

7、是增（减）函数，就它的反函数y=f 1x 在定义域内也是增（减）函数；4.三个“二次”的相关问题（ 1）位置作用：三个“二次” （即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）是中学数学的重要内容，具有丰富的内函和亲密的联系，同时也是争论包含二次曲线在内的很多内容的工具；高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关；（ 2）二次函数的基本性质二次函数的三种表示法：y=ax 2+bx+c ；y=ax x 1x x 2 ；y=ax x02+n（ a 0）；当 a>0 时， fx 在区间 p,q 上的最大值m ，最小值m，令 x 0=1p+q ；2如b 2a<p， 就 fp=m,fq=

8、m;如 pb<x 0，就 f 2ab=m,fq=m;2a如 x 0bb<q， 就 fp=m,f 2ab=m;2a如q,就 fp=m,fq=m；2a（ 3）二次方程的实根分布条件：二次方程fx=0 的两根中一根比r 大，另一根比r 小a·fr<0;0二次方程fx=0 的两根都大于rbr2 aaf r 0；二次方程fx=0 在区间 p,q 内有两根0pbq 2aaf q0af p0；二次方程fx=0 在区间 p,q 内只有一根fp · fq<0 ，或f p0（检验）或af q0学习必备欢迎下载f q0（检验）；af p0二次方程fx=0 的一根小于p，另

9、一根大于qp<qaf0af0；（ 4）二次不等式的转化策略：二次不等式fx 0 的解集是： , ， + a<0 且 f =f =0.b当 a<0 时， f <f | +2ab|>| +|;2a当 a>0 时， f <f | +bb|<| +|；2a2abbpp2aq当a>0 时，二次不等式fx>0在p,q 上恒成立2a f p或或0f b 0 2abq2af q0 fx>0 恒成立a0ab0或0c0；fx<0 恒成立a0ab0或0c0；5.幂函数、指数函数、对数函数的性质（ 1）幂函数y=x nn q 的性质当 n>

10、0 时，函数图像过点（1， 1），（ 0， 0），且在第一象限内随x 增加，图像上升；当 n<0 时，函数图像过点1， 1，且在第一象限内随x 增加，图像下降；（ 2）指数函数和对数函数性质表：指数函数对数函数图像学习必备欢迎下载定义域 r，值域（ 0， +），过点（ 0，性质1）；当 a>1 时，在 r 上是增函数；当0<a<1 时，在r 上是减函数；定义域（ 0， +），值域r，过点 1， 0；当a>1 时，在（ 0,+ ）上是增函数；当0<a<1时，在 0,+ 上是减函数；6.对数运算常用公式（ 1） a log a n =n（ 2） log a

11、m+log an=log amn（ 3） log am log an=log a mn（ 4） log am n=nlog a|m|p（ 5） log am=1log a|m|pp（ 6） log amn = n log a|m|p（ 7） log bm=log a m log a b（ 8） log a n b1log |a| bn1n log b| a |（ 9） log ab· logbc=log ac四、思想方法1.求函数解析式的方法：配方法与代入法；2.求值域的常用方法：观看法，函数单调性法，求逆函数法，分别法， 配方法， 换元法，判别式法，不等式法等；3.函数与方程思想函

12、数思想，即先构造函数，把给定问题转化对帮助函数的性质争论，得出所需的结论；方程思想，就是把对数学问题的熟悉，归纳为对方程和方程组的熟悉；对于函数思想，应深刻懂得一般函数y=fx 、 yf1 x的性质（单调性、奇偶性、周期性、最值和图像变换）；娴熟把握基本初等函数的性质，是应用函数思想解题的基础；函数方程思想常同数形结合、等价转化思想相互融合后才能充分发挥其详细解题的功效；【例题解析】例1 （ 1）已知集合a=x|x 2 ax+a2 19=0 ，集合b=x|log 2x 2 5x+8=1 ，集合c=x|mx 2 2 x8 =1,m 0，|m| 1 满意a b, ac=，求实数a 的值；学习必备欢

13、迎下载2已知集合p=x|x2 5x+4 0,q=x|x 2 2bx+b+2 0 满意 pq，求实数b 的取值范围；解 （ 1）由条件即可得b=2 ， 3 ， c= 4，2 ，由 a b， a c=，可知3a ， 2a ；将 x=3 代入集合a 的条件得：a2 3a 10=0 a= 2 或 a=5当 a= 2 时， a=x|x 2+2x 15=0= 5,3, 符合已知条件；当 a=5 时,a=x|x 2 5x+6=0=2 ， 3 ，不符合条件“a c” =，故舍去；综上得： a= 2；（ 2）明显 p=x|1 x 4 ，记fx=x 2 2bx+b+2如 q 为空集，就由<0 得 ：4b2

14、4b+2<0 1<b<2 ；如 q 不是空集，就应满意0f 10b 2b20b30f 402b142即7b1801b418解之得： 2 b7综上得： 1<b 187注对于稍复杂的某些集合题目，肯定要全面考虑并认真审题，防止解的取值扩大或缩小；此题的第（1）题，在“由3a 求得 a= 2 或 5”后，应清晰3 a 是其必要条件，但不是充分条件，因此必需进行检验，否就解的取值可能扩大；而第（2）小题，应当分两类（ q， q）争论，千万不能遗忘q这一特殊情形；例 2已知函数fx 的定义域为r，且对于一切实数x 满 足 fx+2=f2 x,fx+7=f7 x（ 1）如 f5=9

15、, 求： f 5;（ 2）已知 x 2,7 时， fx=x 22，求当 x 16,20 时，函数gx=2x fx 的表达式，并求出 gx 的最大值和最小值；（ 3）如 fx=0 的一根是0，记 fx=0 在区间 1000,1000 上的根数为n，求 n 的最小值；学习必备欢迎下载解（1）由 fx+2=f2 x 及 fx+7=f7 x 得:fx 的图像关于直线x=2,x=7 对称；fx=fx 2+2=f2 x 2=f4 x=f7 3+x=f7+3+x=fx+10 fx 是以 10 为周期的周期函数； f 5=f 5+10=f5=9（ 2）当 x 16,17,x 10 6,7 fx=fx 10=x

16、 10 22=x 12 2当 x 17,20 ,x 20 3,0 ,4x 20 4,7 fx=fx 20=f4 x 20=f24 x=x 222 gx=2 x x2 x x12 222 2x16,17x17,20 x16,17 时， gx 最大值为16，最小值为9； x（ 17， 20 ， gx>g17=9,gx g20=36 gx 的最大值为36，最小值为9；（ 3）由 f0=0 ，及 f0=f4=0 ，知 f0 在 0,10 上至少有两个解；而在 1000， 1000 上有 200 个周期，至少有400 个解；又f1000=0所以最少有401 个解；且这401 个解的和为200；注题

17、中（ 2）可依据函数图像的对称性、函数的周期性，通过作图得到fx=x12 2x22 2x16,17x17,20一般地：当x 3， 2 时， 4 x 2,7 fx=f4 x=x 2 2当 x 3,7,fx=x 22故当 x 3+10k,7+10k,x 10k 3,7 fx= x 10k 22k z fx= x 10k 22x 3+10k,7+10k, （ k z）例 3设 a 是正数， ax+y=2x 0,y 0，记 y+3x （ 1） ma 的表达式；（ 2） ma 的最小值；1x 2 的最大值是ma ，试求：2解将代数式y+3x 12x 表示为一个字母，由 ax+y=2 解出 y 后代入消元

18、， 建立关于x2的二次函数，逐步进行分类求ma ；学习必备欢迎下载（ 1） 设 sx=y+3x 1 x 2,将 y=2 ax 代入消去y，得：212sx=2 ax+3x x21=x212+3 ax+2212=x 3 a2+3 a2+2x 0 y 0 2 ax 0而 a>0 0 x 2a下面分三种情形求ma2i 当 0<3 a<aa>0，即0a3时a 23a20解得0<a<1 或 2<a<3 时ma=s3 a=21 3 a2+22ii 当 3 aa>0 即aa0时，a 23a20解得： 1 a 2，这时ma=s2=2 a·a22+3

19、·aa1 · 2 22 a26=2 +aaiii 当 3 a 0； 即 a 3 时ma=s0=2综上所述得：1 32a220a1m （ a） =2a 21 3226aa221a2 2a3a3（ 2）下面分情形探讨ma 的最小值；当 0<a<1 或 2<a<3 时学习必备欢迎下载ma=13 a22+2>2当 1a 2 时ma= 261329+= 2a 2 1 a 2 +aa2211 12a1当=a1 时， ma 取小值，即25ma m （ 2） =2当 a 3 时， ma=2经过比较上述各类中ma 的最小者，可得ma 的最小值是2；注解题体会的积

20、存，有利于解题思路的挖掘，对参数 a 的分类， 完全依据二次函数顶点的横坐标3 a 是否在定义域区间0 ，2 内，这样就引出三种状态，找出解题的方案；a例 4已知函数fx=x1 p2p232 pz 在0,+ 上是增函数，且在其定义域上是偶函数；（ 1）求 p 的值，并写出相应的函数fx 的解析式；（ 2）对于（ 1）中求得的函数fx ，设函数gx= qffx+2q 1fx+1 ，问是否存在实数 qq<0 ，使得 gx在区间 , 4 上是减函数， 且在区间 4,0上是增函数； 如存在， 恳求出来；如不存在，请说明理由；解（1）如 y=x在 x 0,+ 上是递增函数，就有>0； fx

21、在 0,+ 上是增函数， 1223p +p+>02解得： 1<p<3, 而 p z p=0,1,23当 p=0 或 2 时 ， 有 fx=x 2不是偶函数，故p=1 ，此时 ,fx=x 2；（ 2）利用函数单调性的定义进行探究求解； fx=x 2+2q 1x+1 gx= qx 42假设存在实数qq<0 ，使得 gx 满意题设条件；设x 1<x 2,就gx1 gx 24= qx2 1x14 2q 1x 21 +2q+qx 222=x 1+x 2 x 2 x 1 qx 12+x 2 2q 1如 x 1,x2 , 4 ，易知x1+x 2<0, x2 x 1>

22、0,要使 gx 在 , 4 上是递减函数，就应有qx12+x 22 2q 1<0学习必备欢迎下载恒成立 x1< 4,x2 4 x12+x 22>32 ，而 q<0 q x 221 +x 2 <32q从而要使q x 12+x 2 2<2q 1 恒成立，就必有2q 1 32q1即q30如 x 1,x2 4， ，易知 x1+x 2 x 2 x1 <0，要使 gx 在（ 4，0）上是增函数，就应有qx12+x 22 2q 1>0恒成立 4<x 1<0, 4<x 2<0 x12+x 22<32 ，而 q<0 q x 22

23、1 +x 2 >32q1要 使 q x2+x2>2q 1 恒成立，就必有2q 1 32q,即q1230综合以上两方面，得q= 130故存在实数q=1 ，使得 gx在 , 4 上是减函数，且在 4,0上是增函数；30注本例是一道综合性较强的题目；对于第（2）小题，仍可以从复合函数性质方面来考虑，就有如下解法：设 t=x 2，由 gx 在 ,4 上是减函数， 在 4,0上是增函数， 而 t=x 2 在16 ，+ 和0,16 上都是增函数，得ht= 2qt +2q 1t+1 在（ 0， 16）上是增函数，在16， + 上是减函数，从而可得2q1 2q1=16 q=30例5设 函 数fx

24、定 义 域 为r ， 当x>0时 ， fx>1 ， 且 对 任 意x,y r ， 有fx+y=fx · fy ；（ 1）证明： f0=1;（ 2）证明： fx 在 r 上是增函数；·fy（ 3）设集合 a=x,y|fx22<f1 ，b=x,y|fx+y+c=1,c r ，如 a b=， 求 c的取值范畴；解（1）证明： 为使 fx+y=fx ·fy 中显现 f0 ，借助当 x>0 时，fx>1 ；就设 x=0,y=1得：f0+1=f0 · f1 ， 即 f1=f0 · f1 f1>1 f0=1学习必备欢迎下载

25、（ 2）证明 fx 在 r 上是增函数，即证明当x 1<x 2 时，有 fx 1<fx 2；对 x 1,x2r,x 1<x 2,，有 x2 x 1>0 fx 2=fx 1+x 2 x 1=fx 1· fx 2 x 1中有 fx 2 x 1>1故要证明fx 2>fx 1，只要证明fx 1>0 即 可；事实上，当x1>0 时， fx 1>1>0当 x 1=0 时， fx 1=1>0当 x 1<0 时， fx 1· f x 1=fx 1 x1 =f0=1又 f x1>1 0<fx 1<1故对

26、于一切x1 r，有 fx 1>0 fx 2=fx 1· fx 2 x1>fx 1 ，故命题得证；（ 3）解a ：fx 2+y2<f1 ，就由单调性知x2+y 2<1；b：由 fx+y+c=f0=1和函数单调性知x+y+c=0故 如 a b=，用图形分析可得：只要圆x2+y 2=1 与直线 x+y+c=0 相离或相切即可；c故 1c2 或 c22注第（ 2）题也可作如下处理： fx ·f x=f0=1>0 ，得 f x=1f x，证得 fx>0 恒成立；且 f x2 f x1 =fx2·f x1=fx2x1>1 fx 2&g

27、t;fx 1例6已知二次函数fx=ax 2+bx+c和一次函数gx= bx ，其中a 、 b 、 c满意a>b>c,a+b+c=0a,b,c r；（ 1）求证：两函数的图像交于不同的两点a 、b ；（ 2）求线段ab 在 x 轴上的投影a 1b1 的长度的取值范畴；解y（ 1）证：由y =4b 2 4acax2bx bxc 消去 y，得 ax2+2bx+c=0=4 a c2 4ac=4a2+ac+c2=4a+c23 +24c2 学习必备欢迎下载c此证法不够自然 a>b>c a， c 不同时为02 >0，即两函数的图像交于不同的两点；（ 2）设方程ax22bx+c=

28、0 的两根为x1 和 x 2，就x1+x 2=2bc,x1x 2=aa2|a1b1|= x1 x 22= x2 4x1+x 21x 2=2b 2a4c4b 24ac=aa 24a=c 24 ac a 2=4c 2+ac+1a=4c + 1 2+ 3 a24 a>b>c， a+b+c=0 ， a>0,c<0,2aca2c0，解得0c 2, 1 a2 fc=4ac 2c +aac1+1 的对称轴是=a2 当 c （ 2,a1 ）时，2f ca 为减函数 |a1b 1|2 3,12 ，故 |a1b1|3 ,23 例 7二次函数fx=px 2+qx+r 中实数 p、q、r 满意

29、pqr+=0 ，其中 m>0 ，求证：（ 1） pfm<0;m1m2m1m（ 2）方程 fx=0 在0， 1内恒有解；解（1） pfm=pp2+qm+r=pmpmq+r=pmmm1m1m1m12m1mpmp=p 2mmm2m1 2= p2 m，由于 fx 是二次函数 ,m1 2m2m12 m2mm12 m2故 p 0，又 m>0 ，所以， pfm<0 ；1（ 2）由题意，得f0=r,f1=p+q+r；学习必备欢迎下载当 p>0 时，由（ 1）知 fm<0m1如 r>0 ，就 f0>0 ，又 m<0, 所以 fx=0 在（ 0，m）内有解；m

30、1m1如 r 0， 就 f1=p+q+r=p+m+1pr+r=pr>0又 fm<0 ，所以 fx=0 在（m,1）内有解；m2mm2mm1m1当 p<0 时同理可证；注（ 1）题目点明是“二次函数”，这就示意着二次项系数p0；如将题中的“二次”两个字去掉，所证结论相应更换；（ 2）对字母p、r 分类时先对哪个分类是有肯定讲究的，此题的证明中，先对p 分类，然后对 r 分类明显是比较好；例 8设二次函数fx=ax 2+bx+ca>0, 已知二次方程fx x=0 的两个根x 1 与 x 2 满意；10<x 1<x 2<a（ 1）证明：当u 0,x 1时，

31、u<fu<x 1;（ 2）如 fx 0 x=fx 0+x ，证明： 2x0<x 1；证法一（ 1）令 fx=fx x，由于 x1,x2 是方程 fx x=0 的根，所以可设fx=ax x1x x 2当 u（ 0， x1）时，x1<x 2,得 u x1u x 2>0 ，又 a>0，得fu=au x1u x 2>0，即 u<fu x1 fu=x 1u+fu=x 1 u1+au x2 0<u<x11<x 2<a所以 x 1u>0,1+au x 2=1+au ax2>1 ax2>0，得 x1 fu>0 ；

32、fu<x 1故当 u（ 0， x1）时， u<fu<x 1（ 2）依题意得x 0=b2a x1,x2 是方程 fx x=0 的两根，即x1,x2 是方程ax2+b 1x+c=0 的根，所 以 x1+xb12=ax0=ba x1=2ax2 2a1ax1=ax21 2a ax2<1, x 0<ax1x1=2a2， 即 2x0<x 1；学习必备欢迎下载证法二（ 1）方程fx x=0 的两根为x1,x2 fx x=ax x 1x x2故欲证 u<fu<x 10<fu u<x 1 u0<au x 1u x2<x 1 u0<ax

33、 2 u<1 ；（ u 0,x1 ,x1 u>0 ）0<x 2 u< 1 a>0a又 0<u<x 2<1,0<x 2 u<a1成立；a故 u<fu<x 1 成立；（ 2）由于方程x 1,x2 是方程 fx x=0 的根，也即ax2+b 1x+c=0 的两根； x1+x 2= b1 = b + 1aaa又 0<x 2<1 , x 1+1 >x 1+x 2= b + 1a x1> ba又 xbaaax1，故 2x；0=<2a20<x 1注解决此题的关键是娴熟把握抛物线方程的基本形式：y=ax

34、 x 1x x2；另外，要求把握用差比较证明不等式的基本变形方向：化为乘积式或非负数之和的形式；例 9设 fx 是定义在r 上的偶函数， 其图像关于直线x=1 对称， 对任意 x1,x2 0, 1 ，2都有 fx 1+x2=fx 1· fx 2，且 f1=a>0 ；（ 1） 求 f11及 f;24（ 2）证明 fx 是周期函数；（ 3） 记 an=f2n+1, 求 lim lnan；2nn解（1） f1=f11+=f221· f2=f 2121=a2 f1= ±a2又 f1=f1112+=f >0 f11=a 224442同理可得f11=a 44（ 2） fx 是偶函数，f x=fx又 fx 关于 x=1 对称， fx=f2 x fx=f x=f2 x=f2+x（ x r）学习必备欢迎下载这说