第一节函数的概念及其表示

1、第一课时：1.2.1 函数的概念（）引入问题问题1 初中我们学过哪些函数？（正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数）问题2 初中所学函数的定义是什么？（设在某变化过程中有两个变量x和y，如果给定了一个x的值，相应地确定唯一的一个y值，那么就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量）（）函数感性认识教材例子（1）：炮弹飞行时间的变化范围是数集，炮弹距地面的高度h的变化范围是数集，对应关系 （*）。从问题的实际意义可知，对于数集A中的任意一个时间t，按照对应关系（*），在数集B中都有唯一确定的高度h和它对应。例子（2）中数集，并且对于数集A中的任意一个时间t，按图中曲线，在数集B中都有唯一确

2、定的臭氧层空洞面积S和它对应。例子（3）中数集，且对于数集A中的每一个时间（年份），按表格，在数集B中都有唯一确定的恩格尔系数和它对应。（III）归纳总结给函数“定性”归纳以上三例，三个实数中变量之间的关系都可以描述为两个数集A、B间的一种对应关系：对数集A中的每一个x，按照某个对应关系，在数集B中都有唯一确定的y和它对应，记作。（IV)理性认识函数的定义设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数（function），记作，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（d

3、omain），与x的值相队对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(range)。定义域、值域、对应法则，称为函数的三个要素，缺一不可；（1）对应法则f(x)是一个函数符号，表示为“y是x的函数”,绝对不能理解为“y等于f与x的乘积”，在不同的函数中，f的具体含义不一样； y=f(x)不一定是解析式，在不少问题中，对应法则f可能不便使用或不能使用解析式，这时就必须采用其它方式，如数表和图象，在研究函数时，除用符号f(x)表示外，还常用g(x)、F(x)、G(x)等符号来表示；自变量x在其定义域内任取一个确定的值a时，对应的函数值用符号f(a)来表示。如函数f(x)=x2+3x+1,当

4、x=2时的函数值是：f(2)=22+3×2+1=11。注意：f(a)是常量，f(x)是变量，f(a)是函数f(x)中当自变量x=a时的函数值。（2）定义域是自变量x的取值范围； 注意：定义域不同，而对应法则相同的函数，应看作两个不同函数；如：y=x2(xy=x2(x>0)； y=1与y=x0 若未加以特别说明，函数的定义域就是指使这个式子有意义的所有实数x的集合；在实际中，还必须考虑x所代表的具体量的允许值范围；如：一个矩形的宽为xm，长是宽的2倍，其面积为y=2x2，此函数的定义域为x>0,而不是。（3）值域是全体函数值所组成的集合，在大多数情况下，一旦定义域和对应法则

5、确定，函数的值域也随之确定。(V)区间的概念设a、b是两个实数，且a<b，规定：（投影1）（1）满足不等式的实数的x集合叫做闭区间，表示为；（2）满足不等式的实数的x集合叫做开区间，表示为；（3）满足不等式的实数的x集合叫做半开半闭区间，表示为；（4）满足不等式的实数的x集合叫做也叫半开半闭区间，表示为；说明： 对于，都称数a和数b为区间的端点，其中a为左端点，b为右端点，称b-a为区间长度； 引入区间概念后，以实数为元素的集合就有三种表示方法：不等式表示法：3<x<7（一般不用）；集合表示法：；区间表示法：； 在数轴上，这些区间都可以用一条以a和b为端点的线段来表示，在图中

6、，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点； 实数集R也可以用区间表示为（-，+），“”读作“无穷大”，“-”读作“负无穷大”，“+”读作“正无穷大”，还可以把满足xa, x>a, xb, x<b的实数x的集合分别表示为a,+、（a,+）、(-,b)、(-,b)。 例1 已知函数，（1）求函数的定义域；（2）求的值；（3）当a>0时，求的值。例2求下列函数的定义域。（1）；(2)；(3)从上例可以看出，当确定用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：（1） 如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；（2）如果f(x)是分式，那么

7、函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；（3）如果f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合；（4）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合（即使每个部分有意义的实数的集合的交集）；（5）如果f(x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合。由以上分析可知：函数的定义域由数学式子本身的意义和问题的实际意义决定。例3下列函数中，哪个与函数y=x是同一函数？（书P21例2） (1) y=()2 ; (2) y= ; (3) y=; (4)y=.分析：判断两个函数是否相同，要

8、看定义域和对应法则是否完全相同。只有完全一致时，这两个函数才算相同。（解略）课堂练习：课本P22练习1、2、3。课时小结：本节课我们学习了函数的定义（包括定义域、值域的概念）及求函数定义域的方法。函数定义中注意的问题及求定义域时的各种情形应该予以重视。课后作业1、书面作业：课本P28习题1.2A组题第1，2，3，4题；B组第1、2题。2、预习作业：（1） 预习内容：课本P22P23；（2） 预习提纲：a.函数的表示方法分别有哪几种?c.回顾初中学过的做函数图象的方法步骤；函数的概念练习题1、下列四个图像中，是函数图像的是（ ）。（1）（2）（3）（4）A（1） B（1）、（3）、（4） C（1

9、）、（2）、（3） D（3）（4）2下列图象中不能作为函数图象的是（ ）3、求下列函数的定义域： 4判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ， ； ， ； ， ； ， ；， 。 A、 B、 、 C、 D、 、5下列各组函数中表示同一函数的是 ( )（A）与 （B）与（C）与 （D）与6、已知函数的定义域为，的定义域为，则A.B.C.D. 7设函数的定义域为，则函数的定义域为_ _ _；函数的定义域为_； 8知函数的定义域为，且函数的定义域存在，求实数的取值范围。9、函数的图象与直线y = a 的交点个数 （）A.至少有一个B.至多有两个C.必有两个D.有一个或两个10、若函数

10、的定义域为，则函数的定义域是 ；函数的定义域为 。11、若函数= 的定义域为,则实数的取值范围是（ ）A、(,+) B、(0, C、(,+) D、0, 12、若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）(A) (B) (C) (D) 13、数的定义域是（ ）A、 B、 C、 D、14、函数的定义域是_ .15、已知函数的定义域是，则的定义域为 。16、已知函数满足，求的解析式。17已知函数，求函数，的解析式。18.已知是二次函数，且，求的解析式。第二课时：1.2.2 函数的表示方法（）引入问题1.回忆函数的两种定义；2.函数的三要素分别是什么？3设函数，则 ，若，则= 。（II）讲授新课函数的三

11、种表示方法（1）解析法（将两个变量的函数关系，用一个等式表示）：如等。优点：（2）列表法（列出表格表示两个变量的函数关系）： 如：平方表，三角函数表，利息表，列车时刻表，国民生产总值表等。优点：不需要计算，就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。（3）图象法（用图象来表示两个变量的函数关系）：如：优点：直观形象地表示自变量的变化。（III）例题分析： 例1（书P22）.某种笔记本的单价是5元，买x（个笔记本需要y元,试用函数的三种表示法表示函数。解：这个函数的定义域是数集，用解析法可以将函数表示为，。用列表法可以将函数表示为笔记本数x12345钱数y510152025图象法略。说明：函数的图

12、象通常是一段或几段光滑的曲线，但有时也可以由一些孤立点或几段线段组成。例2下表是某校高一（1）班三名同学在高一年度六次数学测试的成绩及班级平均分表。第一次第二次第三次第四次第五次第六次王伟988791928895张城907688758680赵磊686573727582班级平均分88.278.385.480.375.782.6请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析。分析：画出“成绩”与“测试时间”的函数图象，可以直观地看出：王伟同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀。张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大。赵磊同学的数学

13、学习成绩低于班级平均水平，但他的成绩曲线呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高（IV）课堂练习：课本P27练习1、2。（V）课时小结：本节课我们学习了函数的表示方法。（VI）课后作业1、书面作业：课本P28习题1.2第5、6、7、8、9题。2、预习作业：（1）预习内容：课本P24-P25；（3） 预习提纲：a.什么叫分段函数?分段函数是否为一个函数？b.如何画分段函数的图象？第三课时：1.2.2 函数的表示方法（）引入问题1函数有几种常用的表示方法？它们分别是哪几种？2如何作出函数的图象？（II）讲授新课例1作出函数的图象和的图象，并分别求出函数的值域。注：分段函数的定义域和值域分别是各段函数

14、的定义域和值域的并集。例2国内投寄信函（外埠），假设每封信函不超过20g时付邮资80分；超过20g不超过40g时付邮资160分；依次类推，每封xg()的信函付邮资为： , 画出这个函数的图象。说明：表示函数的式子也可以不止一个（如例1与例2），对于这类分几个式子表示的函数称为分段函数。注意它是一个函数，不要把它误认为是“几个函数”。例4作出下列各函数的图象：（1）； （2）对第（2）小题的函数，试根据的取值讨论方程的根的个数问题。练习：1在函数中，若，则的值为 。2已知，则= 。作业：课本P28习题1.2第10、11、12、13题。第四课时：1.2.2 函数的表示方法（I）复习回顾1：前面学习

15、的元素与集合的关系“”、“”，集合与集合的关系“”、“ ”“”；2：在初中学过一些对应的例子（投影1）；（1）对于任何一个实数，数轴上都有唯一的点和它对应；（2）对于坐标平面内的任何一个点，都有唯一有序实数对（x,y）和它对应；（3）对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；（4）对于任意一个二次函数，相应坐标平面内都有唯一的抛物线和它对应。（II）讲授新课1. 映射的概念a.观察下列对应（投影2）：（为简明起见，这里的A、B都是有限集合）（对每个对应都要强调对应法则，集合顺序）问题1：这四个对应的共同特点是什么？对于集合A中的任何一个元素，按照某种对应法则，在集合B中都有确定的元素和它

16、对应。问题2：观察图（2）、（3）、（4），想一想这三个对应有什么共同特点？这三个对应的共同特点是：对于左边集合A中的任何一个元素，按照某种对应法则，在右边集合B中都有唯一的元素和它对应。b.映射的定义一般地，设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A、B及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射。记作：f：AB由此定义：（2），（3），（4）三个对应都是A到B的映射，（1）的对应不是A到B的映射。（2）f: x; (3)f: xx2; (4)f: x2xc.象，原象的概念 给定一个集合A到集合B的映射

17、，且aA，bB。如果在对应法则f的作用下，元素a和元素b对应，则元素b叫做元素a（在f下）的象，元素a叫做元素b（在f下）的原象。注意：（1）映射有三个要素：两个集合，一种对应法则，缺一不可；（2）A，B可以是数集，也可以是点集或其它集合。这两个集合具有先后顺序：符号“f：AB”表示A到B的映射，符号“f：BA”表示B到A的映射，两者是不同的；（3）集合A中的元素一定有象，并且象是唯一的（因此（1）不可以构成映射），但两个（或两个以上）元素可以允许有相同的象（如图（3）；例：“A=0,1,2,B=0,1,1/2,f:取倒数”就不可以构成映射，因为A中元素0在B中无象（4）集合B中的元素在A中可

18、以没有原象（如图（4），即使有也可以不唯一（如图（3）；（5）A=原象，B象。d.例题分析： 例：判断下面的对应是否为集合A到集合B的映射,并说明理由（投影3）。（1）设A=1，2，3，4，B=3，4，5，6，7，8，9。f:;（2）设A=N*，B=0，1，f:；（3）设A=1，2，3，4，B=1，f:；（4）设A=，B=0,1,2，f:(;2.一 一映射的概念问题3：观察图（2）、（3）、（4），想一想这三个对应有什么不同特点？分析：（3）是多对一（即多个元素有同一个象）；（4）是一对一（但B中有的元素在A中没有原象）；（2）是一对一（且B中所有元素在A中都有原象）；再观察下图：(投影4)由

19、此有：“一一映射”的定义：一般地，一个映射f：AB，若满足：a. 对于集合A的不同元素，在集合B中有不同的象;(单射)b. 集合B中每一个元素都有原象；（满射）那么这个映射叫做A到B上的一一映射。例：分析上面图中或上面例题中对应是否为集合A到集合B的一一映射？为什么？注意：（1）一一映射是一种特殊的映射（A到B是映射，B到A也是映射，或从一一映射定义解释）；（2）若在映射f：AB中，象的集合CB ，则映射不是一一映射，即C=B是一一映射的必要条件。 （想一想为什么不充分？）（因为映射f：AB未指出对于集合A中的不同元素的集合B中有不同的象。即f：AB可能是多对一的情形。）（III）课堂练习：课本P27练习4。（IV）课时小结：本节课我们学习了映射的定义、表示方法、象与原象的概念、一一映射的定义。强调注意的问题（前面所述）指出：映射是一种特殊的对应：多对一、一对一；一一映射是一种特殊的映射：A到B是映射，B到A也是映射。（V）课后作业：1、书面作业：课本P29，习题1.2A组题第14题及第二教材相关题目。2、预习作业：（1） 预习内容：课本P32P35；（2） 预习提纲：a.函数单