怎样探究问题的数学本质

1、如图，作pc' = 3pcpb' = 2pb,连接4刃、ac b'c，。由题意：错误！未怎样探究问题的数学本质从讲解一道向量习题说起重庆市实验中学校 马林刚（邮编：401320 ）笔者在讲解人教版高中数学必修4第二章平面向量之平面向量基 本定理的时候，遇到一道习题，通过处理这道习题的通法与巧解及其变式 推广，和学生一起形成了对此问题的数学本质的初步认识。问题背景：在学习完平面向量基本定理后，学生完成了一些配套练习，对平面向量基本定理的运用有了初步的理解，对三角形abc的重心g满足错 误！未找到引用源。比较熟悉，知道重心分中线所成的比。问 题: aabc中存在一个点p,p

2、a+2pb + 3pc = 0,延长cp交ab于q , 那 么icqi=icpi ?【学生对于此题在课后思考后没有得出合理的解答。】师：怎样利用好pa+2pbpc = 0这个条件？由此你联想到了什么？ 师：对比下三角形abc的重心g满足错误！未找到引用源。，和题目的条件有何联系?生：差不多！师：有无差别？生：有差别，条件丑+2丙+ 3況=6中， 两和疋的系数不为1,分别是2和3.师：怎样转化为我们熟悉的条件？画图 说明。找到引用源。，故p为的重心。设pcs,则pcj, pr = -m,又!2 为 w 的重心，所以鴛彳，故pqwqr二卯。所以，icqi= 2 icpi.师：这种方法巧妙的运用了三

3、角形的重心的向量表达式。可是，如果把 已知条件改为：aabc中存在一个点p, 4丙+2两+ 3pc = 0,延长cp交ab于q, 那么i页i二icpi?此法还适用吗？为什么？生：好象有问题。因为刚才b点恰好是pb%勺中点，r是abf勺中点，这 样q是三角形apb%勺重心。现在却不是，虽然也可以求解，但是重心在解题 中的作用降低了。师：说得好！怎么办？冋到本节内容的本质看。先解决最初的问题：abc中存在一个点p,pa+2pb + 3pc = 6,延长cp交ab于q ,那么i页i二icpi ?同学们思考本节学习的内容平面向量基本定理。能不能把丽用papb表 示？生：能。cp = -pb + -pa

4、 o33师：应如果也能用papb表示的话就可以解决问题了。可是，芮与丙能 不能作为一组基底？生：可以的。用与丙不共线。师“这个条件也可以使用。另外，a、e、q三点是共线的。大家试试 看。学生动手操作后，不少同学得到了结论。师：请同学介绍下解题过程。生：sc2 = zic4 + (l-/l)cs = /l(cp + pa) + (l-/l)(cp + pb)=丽 + 滴 + (1-2)西 = (- + a)pa + (-)pb o 乂应与丽共线。cp = -pa + -pb .所以？_2 = 2(丄+ 2),333333得 2 = *。cq = 2cp o师：此法是通法吗？对于问题变成：aabc

5、中存在一个点p,4pa+2pb + 3pc=0,延长cp交ab于q,那么i萸匚icpi ?此法还适用吗？大家思考下，怎样操作？能不能解决这个问题？学生操作后，大多数同学都能得到正确的结果。师：大家认为这种方法的本质是什么？生：就是平面向量基本定理的运用。借助已知条件设立一组基底，把研 究的两个向量都表示成这组基底的代数和。师：对比第一种方法，大家有什么体会？生：选择基底很重要。如果选择殛、疋作为一组基底的话，运算量会大 得多。师：不错。还有其他的体会吗？生：第一种方法很巧，但是不是通法，很遗憾。虽然看起解答得很高大 上，但是却不适用于一类问题。站在问题的木质寻求处理方法是我的体会。师：谢谢大家

6、的分亨。本题作为解答题固然是第二种方法最理性，也是 通法，但是作为填空题，能不能特殊化呢？可以使用坐标不？题目中顾、两、冼 的系数分别为字母小斤、®、料、厂均大于0),还能解决吗？同学们可以课后思 考、解决。在讲解木题的过程中，教师和学纶分别从巧解到通法，从通法到特殊化 进行了分析、处理。巧解利用了三角形重心的向量表示，能解决问题，但是 学生不易想到。教师是从表达式的样子产生的联想，这种思维方式比较直接, 但是缺乏理性，能解决问题，一定程度上会让学生产生惊喜。但是推广的价 值不大。这正是很多学生在解题中遇到的问题，灵光乍现的时候能解决很多 问题，所谓“状态不好”的时候却迅速进入低谷，

7、不知道怎么思考？不知道 怎么下手？教师在此处正是现场表演了一段学生想不到的方法，继续从巧解 不能解决变式入手，让学生形成认知冲突，对探求新的、更加有效的方法产 生兴趣。在探索新的方法的时候，教师的提示问题就变为：本节学的什么知识？ 能不能把丽用顶与两表示？在学生的最近发展区设计问题，引导学生去思考 问题与相关知识的联系。回答这个问题后，教师继续问史用顾与而表示？此 问道出了解决本题的核心把丑与丙看作一组基底，求出应与丽的关系。 虽然解决了本题。教师没有忘记及时进行总结：这种方法能解决前面的变式 吗？让学生继续求解变式，巩固刚才获得的成功经验，体会其中蕴含的数学 本质。可谓循序渐进。在学生练习结

8、束后，教师继续组织学生探究原题及变 式的求解本质。以及在解决问题过程中的细节，引导学生观察基底设立的原 则。在巩固学生获得的经验基础上，如果能辅之以学生自编类似题目并解决, 或者教师布置运用平面向量基本定理的习题，学生不仅能掌握这个知识点本 身，还学会了分析问题。假以时日，运用数学知识分析问题、解决问题的能 力一定能得到提高。教师通过通法既能解决原题乂能解决变式，引导学牛探究解决本题的木 质。在探究完本质后，从一般到特殊，提出新的问题。问题还是开放型的， 有点问题有明确的解，如：题冃中顾、丙、疣 的系数分别为字母 2、心、"均大于0),还能解决吗？有的问题并没有唯一的解决方法。如:

9、作为填空题，能不能特殊化呢？可以使用坐标不？发散学生思维的同时，强 化了思维活动本身，数学是思维的体操。跳出问题看思维，根据思维设计解 决问题的具体办法是学生应该不断提高的能力。把思维活动延伸到课外。带 着问题进入课堂，带着问题和思考进入课外，形成良好的思维习惯，对于培 养分析问题和解决问题的能力是大有裨益的。教师在解题教学中，总是会遇到很多一题多解的问题，怎样让学生解一 题通一系列题，关键还是要把握问题的本质，能够从问题的本质入手，建立 思维方向，寻求解题思路。特别是对于巧解与通法，应该引导学生积极分析 巧解的特殊性和不可推广性，理解通法的般性和可推广的价值。不能为了 展示技巧，忽视了通法通解。同时，要让学生体会解决问题的过程，形成良 好的思维习惯。学生反思自己的学习过程、解决问题的过程，教师