平面向量练习题集答案

1、平面向量练习题集答案典例精析题型一向量的有关概念例1下列命题：向量AB的长度与BA的长度相等；向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；两个有共同起点的单位向量，其终点必相同；向量AB与向量CD是共线向量，则 A、B、C、D必在同一直线上.其中真命题的序号是.【解析】对；零向量与任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故错；显然错；AB与CD是共线向量，则A、B、C、D可在同一直线上，也可共面但不在同一直线上，故错.故是真命题的只有【点拨】正确理解向量的有关概念是解决本题的关键，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可.【变式训练1】下列各式：|a|= Ja ? a ；(a?b)

2、? c=a? (b?c); OA - OB = bA ；在任意四边形 ABCD中，M为AD的中点，N为BC的中点，则 AB + DC =2MN ;a=(cos a, sin a), b= (cos 3, sin 3,且 a与 b不共线，则(a+ b)±(a b).其中正确的个数为()A.1B.2C.3D.4【解析】 选D.| a |= Ja?a正确;(a?b) ?c汨？(b ?c)； OA OB = bA正确；如下图所示，MN =MD + DC.+ CN 且 MN = MA + AB + BN两式相加可得2MN = AB+ DC ,即命题正确;因为a, b不共线，且|a|=|b|=1

3、,所以a+b, ab为菱形的两条对角线,即得(a+b)±(a- b).所以命题正确题型二 与向量线性运算有关的问题【例2】如图，ABCD是平行四边形，AC、BD交于点O,点M在线段DO上，且DM =DO ,点N在线段OC上，且ON =OC ,设AB =a, AD=b,试用 33a、b 表示 AM , AN , MN.【解析】在？ABCD中，AC, BD交于点O,所以 DO =1DB =1( AB - AD )=1(a- b), 111AO = OC =万 AC = 2( AB + AD ) = /(a+ b).又 DM” =1DO , ON=1OC , 331 _ _ 所以 AM =

4、 AD + DM =b + -DO 31 115= b + (ab) = 6a + 6b,1 AN = AO + ON = OC +1OC3= 4OC =4>1(a+b) = 2(a+b). 33 23所以 MN = AN AM21511=3(a+ b) (6a + 6b) = 2a- 6b.【点拨】向量的线性运算的一个重要作用就是可以将平面内任一向量由平面内两个不共线的向量表示，即平面向量基本定理的应用，在运用向量解决问题时，经常需要进行这样的变形【变式训练2】O是平面a上一点，A、B、C是平面a上不共线的三点，平面a内的动点P满足Op =OA + X AB + AC ),若 上；时，

5、则 PA ? ( PB + PC )的值为.【解析】由已知得OP - Oa= XAB+ AC), 11即 AP= XAB + AC),当 上2时，得 AP=2(AB+ AC)，所以 2AP = AB + AC ,即 AP AB = AC AP ,所以BP= PC ,所以 PB + PC = PB + BP =0,所以 PA? ( PB + PC ) = PA?0=0,故填 0.题型三向量共线问题【例3】 设两个非零向量a与b不共线.若 AB = a+b, BC =2a+8b, CD =3(a-b),求证：A, B, D三点共线；(2)试确定实数k,使ka+ b和a + kb共线.【解析】(1)

6、证明：因为 AB =a+b, BC =2a+8b, cD =3(a-b),所以 bD = BC + CD = 2a+ 8b+3(a- b)= 5(a+ b)= 5 aB ,所以AB , BD共线.又因为它们有公共点 B,所以A, B, D三点共线.(2)因为ka+b和ad kb共线，所以存在实数 力使ka+b= Na+kb),所以(k 4a =(入 b1)b.因为a与b是不共线的两个非零向量，所以k入=入b1 = 0,所以k21 = 0,所以k= ±1.【点拨】(1)向量共线的充要条件中，要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的 其他向量，要注意待定系数法的运用和方程

7、思想(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线【变式训练3】已知。是正三角形BAC内部一点，OA+2OB+3OC=0,则4OAC的面积与 OAB的面积之比是()B.3A32C.2iD.3【解析】 如图，在三角形 abc中， OA + 2OB + 3OC = o,整理可得 OA+OC + 2(OB + OC)=o.1, 一令三角形ABC中AC边的中点为 E, BC边的中点为F,则点O在点F与点E连线的处，即OE = 2OF.一,1,一 , i1h h 1设三角形ABC 中 AB边上的图为h,则 Sac=Szoae

8、+Szoec = 3?OE?(2 + 2) = 2OE h,Szoab= 2AB?2h=1AB - h,由于 AB = 2EF, OE =,所以 AB=3OE,S/OAC 所以 S/OAB12OE?h 22=鼻.故选B.13-AB?h4总结提高1 .向量共线也称向量平行，它与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合）的情形，而向量平行则包括共线（即重合）的情形.2 .判断两非零向量是否平行，实际上就是找出一个实数，使这个实数能够和其中一个向量把另外一个 向量表示出来.3 .当向量a与b共线同向时,|a+b|=|a|+ |b|;当向量a与b共线反向时，|a+ b|= |a| |b|;当向量a与

9、b不共线时，|a+b|< |a|+ |b|.典例精析题型一 平面向量基本定理的应用【例1】如图？ABCD中,M,N分别是DC, BC中点.已知AM =a, AN =b,试用a, b表示丽，而与无【解析】 易知AM = AD . + DM1 二=AD + 2AB,1 AN = AB + BN = AB +2AD ,一 1AD -AB a,即 21 一 , AB AD b.222所以 AB = 3（2b a）, AD = 3（ 2a b）.所以 AC = AB + AD = 3（a+ b）.【点拨】运用平面向量基本定理及线性运算，平面内任何向量都可以用基底来表示.此处方程思想的运 用值得仔细

10、领悟【变式训练1】已知D为4ABC的边BC上的中点，4ABC所在平面内有一点 P,满足PA + BP + CP=o,则LPD等于（）|AD|11_A -B.-C.1D.232PB + PC = 2 PD ,因【解析】由于D为BC边上的中点，因此由向量加法的平行四边形法则，易知此结合PA+ BP + CP =0即得PA = 2PD ,因此易得P, A, D三点共线且 D是PA的中点，所以|PD|ad|=1,即选C.题型二向量的坐标运算【例 2】 已知 a= (1, 1), b=(x, 1), u = a+2b, v= 2a b.若 u= 3v,求 x; (2)若 u / v,求 x.【解析】因为

11、a=(1, 1), b=(x, 1),所以 u=(1, 1)+2(x, 1)=(1, 1)+(2x, 2)=(2x+1, 3),v= 2(1, 1) (x, 1) = (2x, 1).(1)u = 3v? (2x+1, 3)=3(2-x, 1)? (2x+ 1, 3)= (6 3x, 3),所以 2x+1 = 6-3x,解得 x=1.(2)u / v ? (2x+1, 3)= ?(2-x, 1)? 2x 1(2 x),3? (2x+ 1)-3(2-x) = 0? x= 1.【点拨】对用坐标表示的向量来说，向量相等即坐标相等，这一点在解题中很重要，应引起重视.【变式训练 2】已知向量 an= (

12、cos1y, sinnnCN*), |b|= 1.则函数 y= |a+b|2 + 忸2+b|2+忸3+b|2+ 十 |a41 + b|2的最大值为 .【解析】 设 b= (cos 0, sin 0),所以 y= |a + b|2+|a2+b|2+|a3+b|2+ |a141 + b|2= (a1)2+b2+2(cosn7c, sin7)(cos 0, sin。+ (a141)2+ b2+ 2(cosy sin147 )(cos 0, sin 0)=282+2cos(7- 0),所以 y 的最大 值为284.题型三 平行(共线)向量的坐标运算【例3】已知4ABC的角A, B, C所对的边分别是a

13、, b, c,设向量m = (a, b), n=(sin B, sin A), p= (b 2, a 2).(1)若m / n,求证： ABC为等腰三角形；(2)若m±p,边长c=2,角C = 3,求 ABC的面积.【解析】(1)证明：因为 m / n ,所以asin A= bsin B.由正弦定理，得 a2=b2,即a=b.所以4ABC为等腰三角形.(2)因为m± p,所以m p=0,即a(b 2) + b(a2) = 0,所以 a+ b= ab.由余弦定理，得 4 = a+ b ab =(a+ b/3ab,所以(ab)23ab4=0.所以ab= 4或ab= 1(舍去).

14、所以 Smbc= absin C = "X4 >23=5.【点拨】设 m=(xi, yi), n=(x2, y2),则m " n? xiy2= x2yi ； m，n? xix2 + yiy2= 0.【变式训练3】已知a, b, c分别为 ABC的三个内角A, B, C的对边，向量m = (2cosC-i, 2), n =(cos C, cos C+ 1).若 m,n,且 a+b=10,则 ABC 周长的最小值为()A.10-5/3B.10+5 5C.102 mD.10 + 231 .【解析】由 mn 得 2cos2C3cos C2=0,解得 cos C=万或 cos

15、C= 2(舍去)，所以 c2= a2+b22abcosC= a2+ b2+ ab= (a+ b)2 ab= 100 ab,由 10=a+b>2VOb? ab< 25,所以 c2>75,即 O 5a/3,所以 a + b+ O 10+53,当且仅当a=b = 5时，等号成立.故选B.典例精析题型一利用平面向量数量积解决模、夹角问题【例1】 已知a, b夹角为120°,且|a|= 4, |b|=2,求:(1)|a+b|;(2)(a+ 2b) (a+b);(3)a与(a+b)的夹角0.【解析】(1)(a+ b)2= a2 + b2 + 2a - b= 16 + 42>

16、;4X2>2= 12,所以 |a+b|=2 .3.(2)(a+ 2b) - (a+b) = a2+3a- b+2b21= 16 3M>2+2>4=12.(3)a (a+b)=a2+a - b= 164 >24=12.所以cos 0=a?(a b)lalla bl124 crn, 兀-t-= V，所以 9= A4X27326【点拨】利用向量数量积的定义、性质、运算律可以解决向量的模、夹角等问题【变式训练1】已知向量a, b, c满足：|a|= 1, |b|= 2, c= a+b,且 Ca,则a与b的夹角大小是 【解析】,由 ca? c a= 0? a2 + a b= 0,

17、 .1 ，所以 cos 0= 2,所以 0= 120 :题型二利用数量积来解决垂直与平行的问题【例2】 在ABC中，AB = (2, 3), AC = (1 , k),且 ABC的一个内角为直角，求 k的值.【解析】当/A= 90°时，有AB AC =0,所以 2M + 3 k=0,所以 k=-|;3当/B=90 时，有 AB BC =0,又 BC = AC - AB = (1-2, k- 3)=(-1, k- 3),所以 2>(1)+3X(k 3)=0? k=11; 3当/C=90 时，有 AC BC=0,所以一1 + k (k3)=0,所以 k23k1=0? k= 3213

18、.所以k的取值为-2, 11或3变. 332【点拨】因为哪个角是直角尚未确定，故必须分类讨论.在三角形中计算两向量的数量积，应注意方向 及两向量的夹角.【变式训练 2】4ABC中，AB = 4, BC=5, AC = 6,求 AB BC + BC CA + CA AB.【解析】 因为 2 AB BC +2BC CA + 2CA AB*lMl上=(AB - BC + CA - AB) + (CA - AB + BC - CA)+(BC CA + BC AB)=AB (BC + CA)+ CA (AB+ BC)+ BC - (CA + AB)=AB BA + CA - AC + BC CB=426

19、2 52= 77.所以 AB . BC + BC - ,CA + CA - AB =-77.题型三平面向量的数量积的综合问题【例3】数轴Ox, Oy交于点O,且/ xOy=S构成一个平面斜坐标系，q, 女分别是与Ox, Oy同向3的单位向量，设P为坐标平面内一点，且 Op=xei+ye2,则点P的坐标为(x, v),已知Q(-1, 2).(1)求|OQ |的值及OQ与Ox的夹角；(2)过点Q的直线lOQ,求l的直线方程(在斜坐标系中).1【解析】(1)依题意知，ei - e2 = 11,且 OQ = e1 + 2e2,所以 OQ 2= ( e+ 2e2)2= 1 + 4- 4e1 e2= 3.所以 |OQ |= .3.又 OQ e1 = (e + 2e2) , e1 = 一 e2+2e1 ? e2= 0.所以OQe1,即OQ与Ox成90°角.(2)设 l 上动点 P(x, y)