第8章 非线性系统

1、1第八章第八章 非线性控制系统分析非线性控制系统分析 v8.1 8.1 非线性控制系统概述非线性控制系统概述v8.4 8.4 描述函数法描述函数法v8.3 8.3 相平面分析法相平面分析法v8.2 8.2 常见非线性特性及其常见非线性特性及其 对系统运动的影响对系统运动的影响2 前面几章所讨论的系统都是基于线性系统的前面几章所讨论的系统都是基于线性系统的分析设计方法，但实际控制系统在某种程度上均分析设计方法，但实际控制系统在某种程度上均不可避免地具有某种程度的非线性特性，系统中不可避免地具有某种程度的非线性特性，系统中只要具有一个非线性环节，就称之为非线性系统，只要具有一个非线性环节，就称之为

2、非线性系统，因此实际的控制系统大都是非线性系统。前面章因此实际的控制系统大都是非线性系统。前面章节中所讨论的系统的线性特性很多情况下是将系节中所讨论的系统的线性特性很多情况下是将系统的非线性特性在工作点附近进行小偏差线性化统的非线性特性在工作点附近进行小偏差线性化处理而得。处理而得。3非线性：非线性：指元件或环节的静特性不是按线性规律变化。指元件或环节的静特性不是按线性规律变化。非线性系统：非线性系统：如果一个控制系统，包含一个或一个以上具有非如果一个控制系统，包含一个或一个以上具有非线性静特性的元件或环节，则称这类系统为非线性系统，其特线性静特性的元件或环节，则称这类系统为非线性系统，其特性

3、不能用线性微分方程来描述。性不能用线性微分方程来描述。一般，非线性系统的数学模型可以表示为：一般，非线性系统的数学模型可以表示为：在在 F函数中，若相应的算子为线性，则系统为线性系统；否则为函数中，若相应的算子为线性，则系统为线性系统；否则为非线性系统。同时，若在非线性系统。同时，若在F 函数中不显含函数中不显含t ，则为时不变系统；，则为时不变系统；若显含若显含t ，则为时变系统。，则为时变系统。8.1 8.1 非线性控制系统概述非线性控制系统概述4本质非线性：本质非线性：不能应用小偏差线性化概念将其线性化。不能应用小偏差线性化概念将其线性化。非本质非线性：非本质非线性：可以进行小偏差线性化

4、的非线性特性。可以进行小偏差线性化的非线性特性。自激振荡：自激振荡：无外作用时非线性系统内部产生的稳定的等幅振无外作用时非线性系统内部产生的稳定的等幅振 荡称为自激振荡，简称自振荡。荡称为自激振荡，简称自振荡。5（1）齐次性和叠加定理：线性系统的最大特点是它具有可叠）齐次性和叠加定理：线性系统的最大特点是它具有可叠加性和齐次性，但对于非线性系统，这个特点不再具有。加性和齐次性，但对于非线性系统，这个特点不再具有。（2）在非线性系统中，除了从平衡状态发散或收敛于平衡）在非线性系统中，除了从平衡状态发散或收敛于平衡状态两种运动形式外，往往即使无外作用存在，系统也可能状态两种运动形式外，往往即使无外

5、作用存在，系统也可能产生具有一定振幅和频率的稳定的等幅振荡，即自激振荡。产生具有一定振幅和频率的稳定的等幅振荡，即自激振荡。改变非线性系统的结构和参数，可以改变自激振荡的振幅和改变非线性系统的结构和参数，可以改变自激振荡的振幅和频率，或消除自激振荡。而对线性系统，围绕其平衡状态只频率，或消除自激振荡。而对线性系统，围绕其平衡状态只有发散和收敛两种运动形式，其中不可能产生稳定的自激振有发散和收敛两种运动形式，其中不可能产生稳定的自激振荡。荡。6 （3）非线性系统的稳定性不仅取决于控制系统的固有结构和）非线性系统的稳定性不仅取决于控制系统的固有结构和参数，而且与系统的初始条件以及外加输入有关系。参

6、数，而且与系统的初始条件以及外加输入有关系。例：对于一由非线性微分方程例：对于一由非线性微分方程 X = - x( 1 x ) (8-1). 描述的非线性系统，显然有两个平衡点，即描述的非线性系统，显然有两个平衡点，即x1=0和和x2=1。将上式改写为将上式改写为(1)dxdtxx 7设设t0时，系统的初态为时，系统的初态为x0。积分上式可得。积分上式可得(8-2) t10 图图8- -1 一阶非线性系统一阶非线性系统 ( )x t000( )1ttx ex txx e00ln1xx 8（4）非线性系统在正弦信号作用下，其输出存在极其复）非线性系统在正弦信号作用下，其输出存在极其复杂的情况：杂

7、的情况： （a）跳跃谐振和多值响应）跳跃谐振和多值响应 图图8-2 8-2 所示的非线性弹簧输出的幅频特性。所示的非线性弹簧输出的幅频特性。 2.1345. 图图8- -2 跳跃谐振与多值响应跳跃谐振与多值响应 ( )A429(b)分频振荡和倍频振荡分频振荡和倍频振荡 非线性系统在正弦信号作用下，其稳态分量除产生同频非线性系统在正弦信号作用下，其稳态分量除产生同频率振荡外，还可能产生倍频振荡和分频振荡。如图率振荡外，还可能产生倍频振荡和分频振荡。如图83所所示波形。示波形。输入信号输入信号倍频信号倍频信号分频信号分频信号ttt图图8-3 8-3 倍频振荡与分频振荡倍频振荡与分频振荡 10u逆系

8、统法逆系统法是运用内环非线性反馈控制，构成伪线性系统，是运用内环非线性反馈控制，构成伪线性系统，并以此为基础，设计外环控制网络，是非线性系统控制的一并以此为基础，设计外环控制网络，是非线性系统控制的一个发展方向。个发展方向。u相平面法相平面法是用图解的方法分析一阶，二阶非线性系统的方是用图解的方法分析一阶，二阶非线性系统的方法。通过绘制控制系统相轨迹，达到分析非线性系统特性的法。通过绘制控制系统相轨迹，达到分析非线性系统特性的方法。方法。 u描述函数法描述函数法是受线性系统频率法启发，而发展出的一是受线性系统频率法启发，而发展出的一种分析非线性系统的方法。它是一种谐波线性化的分析种分析非线性系

9、统的方法。它是一种谐波线性化的分析方法，是频率法在非线性系统分析中的推广。方法，是频率法在非线性系统分析中的推广。本章介绍对本质非线性系统的研究方法：本章介绍对本质非线性系统的研究方法：相平面法相平面法 描述函数法描述函数法11摩擦特性摩擦特性不灵敏区不灵敏区（死区特性）（死区特性）饱和特性饱和特性间隙特性间隙特性继电特性继电特性 下面介绍的这些特性中，一些是组成控制系统的元件所固下面介绍的这些特性中，一些是组成控制系统的元件所固有的，如饱和特性，死区特性和滞环特性等，这些特性一般来有的，如饱和特性，死区特性和滞环特性等，这些特性一般来说对控制系统的性能是不利的；另一些特性则是为了改善系统说对

10、控制系统的性能是不利的；另一些特性则是为了改善系统的性能而人为加入的，如继电器特性，变增益特性，在控制系的性能而人为加入的，如继电器特性，变增益特性，在控制系统中加入这类特性，一般来说能使系统具有比线性系统更为优统中加入这类特性，一般来说能使系统具有比线性系统更为优良的动态特性。良的动态特性。8.2 8.2 12（1)1)饱和特性饱和特性0)(10)(1)(tetetsigne 饱和特性在铁磁元件及各种放大器中都存在，其特点是当饱和特性在铁磁元件及各种放大器中都存在，其特点是当输入信号超过某一范围后，输出信号不再随输入信号变化，而输入信号超过某一范围后，输出信号不再随输入信号变化，而是保持某一

11、常值。是保持某一常值。饱和特性的等效增益饱和特性13 由于饱和特性在大信号时的等效增益很低，故带饱和特由于饱和特性在大信号时的等效增益很低，故带饱和特性的控制系统，一般在大起始偏离下总是具有收敛性质，不性的控制系统，一般在大起始偏离下总是具有收敛性质，不会造成愈振愈大的不稳定现象；会造成愈振愈大的不稳定现象； 由于饱和限幅的存在，它可使一切不稳定的系统收敛于由于饱和限幅的存在，它可使一切不稳定的系统收敛于自振荡以保证系统的安全。自振荡以保证系统的安全。 当然，由于等效增益降低，会降低系统的稳态精度；对当然，由于等效增益降低，会降低系统的稳态精度；对快速性而言，则相对复杂一些，不能一概而论。快速

12、性而言，则相对复杂一些，不能一概而论。 饱和特性对系统运动的影响：饱和特性对系统运动的影响：14（2 2）死区（不灵敏区）特性）死区（不灵敏区）特性atetasignetekatetx)()()()(0)(死区非线性特性对系统产生的主要影响有：死区非线性特性对系统产生的主要影响有： 1 1）使系统的稳态误差增大，尤其是测量元件的死区）使系统的稳态误差增大，尤其是测量元件的死区对系统稳态性能的影响更大。对系统稳态性能的影响更大。 2 2）对动态性能的影响由具体系统的结构和参数确定。）对动态性能的影响由具体系统的结构和参数确定。如对某些系统，死区的存在会抑止其振荡；而对另一些系统，如对某些系统，死

13、区的存在会抑止其振荡；而对另一些系统，死区又能导致其产生自激振荡。死区又能导致其产生自激振荡。 3 3）死区能滤去从输入端引入的小幅值干扰信号，提）死区能滤去从输入端引入的小幅值干扰信号，提高了系统抗扰动的能力。高了系统抗扰动的能力。 4 4）当系统的输入信号为阶跃、斜坡等函数时，死区）当系统的输入信号为阶跃、斜坡等函数时，死区的存在会引起系统输出在时间上的滞后。的存在会引起系统输出在时间上的滞后。式中式中,k为图中线性段的斜率为图中线性段的斜率, a为死区的范围。为死区的范围。15其数学表达式为其数学表达式为0,00,0,0,0maxa xaxma xybsignxxabxma xbxma

14、x &（3）继电器特性）继电器特性16 继电特性曲线如图所示，这类特性不仅包含有死区特性，继电特性曲线如图所示，这类特性不仅包含有死区特性，而且具有滞环特性。若分别取而且具有滞环特性。若分别取a=0,m=1,m=-1a=0,m=1,m=-1时继电特性表现时继电特性表现为不同的特殊情况，分别为下面三种特殊情况下的继电特性。为不同的特殊情况，分别为下面三种特殊情况下的继电特性。（a a）a a=0=0时理想继电特性（时理想继电特性（b b）m=1m=1时具死区继电特性（时具死区继电特性（c c）m=-1m=-1时具磁滞回环继电特性时具磁滞回环继电特性17 理想继电器在原点附近存在跳变，等效

15、增益趋于理想继电器在原点附近存在跳变，等效增益趋于无穷大；在原点以外的地方，随着输入信号的增加，无穷大；在原点以外的地方，随着输入信号的增加，输出始终保持常值，等效增益逐渐减小。若系统中串输出始终保持常值，等效增益逐渐减小。若系统中串有理想继电器，在小起始偏离时开环增益大，运动状有理想继电器，在小起始偏离时开环增益大，运动状态呈发散性质；在大起始偏离时开环增益很小，系统态呈发散性质；在大起始偏离时开环增益很小，系统具有收敛性质。因而，继电特性常常会使系统产生振具有收敛性质。因而，继电特性常常会使系统产生振荡现象，但如果选择合适的继电特性可提高系统的响荡现象，但如果选择合适的继电特性可提高系统的

16、响应速度，也可构成正弦信号发生器。应速度，也可构成正弦信号发生器。 18（4）间隙（滞环）特性）间隙（滞环）特性元件开始运动元件开始运动输入信号输入信号 e0以后，输出随输入线性变化。以后，输出随输入线性变化。元件反向运动元件反向运动保持在运动方向发生变化瞬间的输出值；保持在运动方向发生变化瞬间的输出值；输入反向变化输入反向变化22e0 ，输出随输入线性变化。，输出随输入线性变化。间隙间隙输出相位滞后，减小稳定性裕量，动特性变坏输出相位滞后，减小稳定性裕量，动特性变坏自持振荡自持振荡。)()()()(00tbsigneeteketektxX(t)0X(t)h171例：试求：例：试求：当当K K

17、1010时，该系统是否存在自持振荡，如果存在则求出自持振荡的时，该系统是否存在自持振荡，如果存在则求出自持振荡的振幅和频率；振幅和频率；当当K K为何值时，系统处于稳定边界状态。为何值时，系统处于稳定边界状态。非线性饱和特性参数非线性饱和特性参数 a=1 a=1 、k=2k=272相交于稳定自振交点相交于稳定自振交点m m)45()2(453)2(3)2)(1()(2422422KjKjKjjjKjG0)(ImjG266. 1|4530| )(Re2242jGA Aa a时时5 . 01)(1kANA A 时时)(1AN负倒描述函数轨迹为实轴上（负倒描述函数轨迹为实轴上（-0.5-0.5，-)

18、-)。)()(1sin2)(121aAAaAaAakAN7366. 1| )(Re)(12jGAN6 . 0)(AN3 . 0)(kANa/A=0.24A=4.38A=4.382非线性饱和特性参数非线性饱和特性参数 a=1 a=1 、k=2k=2稳定自振交点稳定自振交点m:m:74临界状态下，轨迹在负实轴上的交点临界状态下，轨迹在负实轴上的交点n nK=3)45()2(453)2(3)2)(1()(2422422KjKjKjjjKjG0)(ImjG22242|453| )(ReKjG5 . 0| )(Re)(12jGAN75K例：例：试分析系统稳定性；试分析系统稳定性；如果系统出现自持振荡，如

19、何消除之？如果系统出现自持振荡，如何消除之？K K2020，死区继电器特性，死区继电器特性M M3 3，a al l。76Aa=1A )(1AN)(1AN22aA)3613()6(5)3)(2()(242jKjjjKjGG(jG(j ) )轨迹与负实轴交点频率值轨迹与负实轴交点频率值0)3613()6()(Im242KjG6524. 0667. 032|)3613()5(| )(Re6246KjGG(jG(j ) )轨迹与负倒描述函数有两个交点：轨迹与负倒描述函数有两个交点：aa不稳定自振交点不稳定自振交点bb稳定自振交点稳定自振交点22)1(112)(14)(1AAAaMAAN524. 06

20、2|)(1maxMaAN7732)1(112)(12AAANaa不稳定自振交点不稳定自振交点bb稳定自振交点稳定自振交点A11.11A22.366max6|)(1| )(ReANjG如要求稳定如要求稳定781 1）改变）改变G(j G(j )调整调整K KK6|)3613()5(| )(Re6246KjG72.15K max6|)(1| )(ReANjG792 2）改变）改变N(A):N(A):调整死区继电器特性的死区调整死区继电器特性的死区a a或输出幅值或输出幅值M MaA2MaAN2|)(1maxMajG232| )(Re636. 2aM取取a=1a=1、M=2M=2785. 04|)(

21、1maxAN80本章小结本章小结1. 1.本章介绍了非线性系统的两种设计方法：相平面法本章介绍了非线性系统的两种设计方法：相平面法、描述函描述函数法。它们都是用工程作图的方法分析解决问题。数法。它们都是用工程作图的方法分析解决问题。2.相平面法是适用于分析一、二阶非线性系统动态性能的有效相平面法是适用于分析一、二阶非线性系统动态性能的有效方法。绘制相轨迹的方法有两种：一种是解析法，它只适用方法。绘制相轨迹的方法有两种：一种是解析法，它只适用于一些简单的场合；另一种是图解法，主要介绍了等倾线法，于一些简单的场合；另一种是图解法，主要介绍了等倾线法，虽然它作图工作量较大，但能求得任何初始条件下的相轨迹。虽然它作图工作量较大，但能求得任何初始条件下的相轨迹。用相平面法分析非线性系统时，通常会涉及到两类非线性系用相平面法分析非线性系统时，通常会涉及到两类非线性系统。一类是系统的非线性方程可解析处理的，即在奇点附近统。一类是系统的非线性方程可解析处理