普通高等学校招生全国统一考试理科数学(重庆卷)(含答案全解析)

1、2015年普通高等学校招生全国统一考试重庆理科数学数学试题卷（理工农医类）共4页.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项：1 .答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2 .答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.3 .答非选才!题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4 .所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.5 .考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.特别提醒：14、15、16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分.一、选择题：本大题共

2、10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要 求的.1.（ 2015 重庆，理 1）已知集合 A= 1,2,3, B= 2,3,则（）A.A=BB.AAB=?C.A?BD.B?A答案:D解析：因为 A= 1,2,3,B=2,3,所以 B?A.2.（2015重庆，理2）在等差数列an中，若a2=4,a4=2，则a6=（）A.-1B.0C.1D.6答案:B解析：因为an是等差数列，所以2a4=a2+a6,于是a6= 2a4-a2 = 2*2-4 = 0.3.（2015重庆，理3）重庆市2013年各月的平均气温（C）数据的茎叶图如下：0 « 4J 2 5

3、 K2 0 0 3 3 S3 1 1 则这组数据的中位数是（）A.19B.20C.21 .5D.23答案:B解析：由茎叶图可知，这组数据的中位数为= =20.©4.（2015 重庆，理 4） “x>1” 是 “ lo（x+2）<0” 的（）A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件答案:BSig解析：由 lo （x+ 2）<0 可彳# x+2> 1,即 x>- 1,而x|x> 1?x|x>- 1,所以 “x>1” 是 “lo （x+2）<0” 的充分不必 要条件.5.（2015重庆，理5）某几何体

4、的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）2B.d+ Tt正觇图左视图D.3+2 nC.，+ 2 n答案：A 解析：由三视图可知，该几何体是一个组合体，其左边是一个三棱锥，底面是等腰直角三角形（斜边长等于2）,高为1,所以体积Vi= "JX2X1 X1 = 3其右边是一个半圆柱，底面半径为1,高为2,所以体积V2= Tt12212= &所以该几何体的体积V=V1+V2=I'+ Tt.6.（2015重庆，理6）若非零向量a,b满足|a尸万|b|,且（a-b ）±（3a+2b）,W a与b的夹角为（）AT答案：A3u C.D.TI8-2|b|2=0,即 37.解析

5、：由(a-b)，(3a+ 2b)知(a-b) (3a+2b)=0，即 3|a|2-a b-21b12=0.设 a 与 b 的夹角为 仇所以 3|a|2-|a|b| cosirb| 2cos 8-2|b| 2= 0,整理，得 cos 8=?，故 8.5B.s送25D.s二4条件，才能输出k= 8,故判断框内的条件是11s412（2015重庆，理7）执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8,则判断框内可填入的条件是（）3 A.slC.s4答案：C 解析：由程序框图可知，程序执行过程如下：s= 0,k= 0,满足条件；k= 2,s=二，满足条件；k= 4 ,s=,满足条件；k= 6,s=1，满足条件

6、；k= 8,s="，这时应不满足8.(2015重庆，理8)已知直线l:x+ay- 1 = 0(a R)是圆C:x2+y 2-4x-2y+ 1 = 0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C的一条切线，切点为B,则|AB|二（A.2答案：CB.4k 二C.6D2解析：依题意，直线l经过圆C的圆心(2,1)，因此2+a- 1=0，所以a=- 1,因此点A的坐标为(-4,-1).又圆C的半径r= 2,由以BC为直角三角形可得|AB|=9.(2015 重庆，理 9)若 tan a=2tan|5则'一又|AC|=2<而，所以|AB|="入国)=-2=6.A.1答案：CB.2=

7、(C.3)D.4II解析：因为tan ”=2tan 5,10.(2015重庆，理10)设双曲线"-力=1(a>0,b> 0)的右焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点，过B,C分别作AC,AB的垂线，两垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于a+J/十则该双曲线 的渐近线斜率的取值范围是()A.(-1,0) U(0,1)B.(-8,-1) U (1, + 8)C.(-握0) U (0,也)D.(-8,g U (也+8)答案：A解析：设双曲线半焦距为c,则F(c,0),A(a,0),不妨设点B在点F的上方，点C在点F的下方，则由于kAC =，且 ACLB

8、D,则 kBD=-于是直线BD的方程为y-(x-c),由双曲线的对称性知 AC的垂线BD与AB的垂线CD关于x轴对称，所以两垂线的交点D在x轴上，于是从而D到直线BC的距离为c-xd=-Sf),由已知得-<a+"d"'即-" S7<a+c , 目所以 b4<a 2(c-a)(c+a ),即 b4<a 2b2,a < 1从而0V <1 .Ij而双曲线渐近线斜率k=±L所以 k6 (-1,0)U (0,1).二、填空题：本大题共6小题,考生彳答5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上11.(201

9、5 重庆，理 11)设复数 a+b i(a,b R)的模为寸不，则(a+b i)(a-b i)=.答案：3解析：因为复数a+b i的模为阴所以& W=k同即 a2+b 2=3.于是(a+b i)(a-b i)=a2-(bi)2=a 2+b 2=3.12.(2015重庆，理12)1上,同 的展开式中x8的系数是(用数字作答).5答案:区 解析：展开式的通项公式Tr+尸卜5 (X3)5-r(r= 0,1,2,5).令15-*=8，得r= 2,于是展开式中x8项的系数是2-2=E.13.(2015重庆，理13)在£ABC中,B= 120 °,AB=馅,A的角平分线AD=、

10、与，则AC=答案：N解析：如图所示 在MBD中，由正弦定理得lnB= iinADB,即而 Hl*=疝“冲所以 sin ZADB= 2，从而 ZADB= 45°,则/BAD= ZDAC= 15°,所以 ZACB= 30，/BAC= 30°,所以BAC是等腰三角形，BC=AB= 迎由余弦定理得AC=人+汽叱小姐四12。«、回广 炳 - 2 X濯*寸£(；)考生注意：14、15、16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分14.(2015重庆，理14)如图，圆O的弦AB ,CD相交于点E,过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P,

11、若PA=6,AE=9,PC=3,CE : ED=2 ： 1,贝U BE=.答案：2解析：因为PA是圆的切线，所以有PA2=PC PD,于是PD=厘4=12,因止匕 CD=PD-PC= 9.又因为 CE： ED=2 ： 1,所以 CE=6,ED=3.又由相交弦定理可得 AE BE=CE ED,所以 BE= '"=2.fx = 7 + 匕15.(2015重庆，理15)已知直线l的参数方程为I V =1+ r (t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴(3n 5tt| p >。口丁 < H v 丁 | 4"，则直线l与曲线C的交点的极坐标为.答案：(2

12、,)Ifjr = =1 + L解析：由I y = I +1可得直线l的普通方程为y=x+ 2.又 p2cos 2 0=4 可化为 p2(cos2 0-sin2 0)= 4,即(pcos 0)2-( psin 0)2=4,所以 x2-y 2= 4,即曲线C的直角坐标方程是x2-y2=4.3n 5nP>0, <e< ，所以仁卜'工由"可解得HQ即直线l与曲线C的交点坐标为(-2,0).又因为p =2, 0 =n，即交点的极坐标是(2, ti).16.(2015重庆，理16)若函数f(x)=|x+ 1 |+2|x-a|的最小值为5,则实数a=答案：-6或4解析：当

13、a<-1时，-+ 2。In < atx - Zu'' jc M _ 1,£/ x . 一 n 13T-+ Li > 7.f(x)=|x+ 11+ 2 |x-a|=所以f(x)在(-8,a)上单调递减，在(a,+°°)上单调递增， 则f(x)在x=a处取得最小值f(a)=-a- 1,当a>- 1时，f(x)=|x+ 11+ 2 |x-a|=由-a- 1 =5 得 a=- 6，符合 a<-1;-3x 4- 2a * Lx < - L了十次十L -1 W * 0凡- 2n + Lx > 4i.所以f(x)在(-8

14、,a)上单调递减，在(a,+°°)上单调递增，则f(x)在x=a处取最小值f(a)=a+ 1,由 a+ 1 =5 得 a= 4,符合 a>- 1.综上，实数a的值为-6或4.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分13分,(1)小问5分,(2)小问8分)(2015重庆，理17)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子淇中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽 5个，这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个.求三种粽子各取到1个的率；设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望.解：(1)令A表示事件“三种粽

15、子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有(2)X的所有可能值为0,1,2，且综上知,X的分布列为X012P17711151SL：17|7| 1 3故 E(X) = 0 X15+1 ><15+2x15=5(个).18.(本小题满分13分,(1)小问7分,(2)小问6分)(2015 重庆，理 18)已知函数 f(x)=sinl* 'sin x-jcos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)讨论f(x)在W)上的单调性.解：(1)f(x)= sin sin x-cos2x=cos xsin xI(1 + cos 2 x)=ksin 2 x-cos 2 x-=：-=

16、 sin因此f(x)的最小正周期为n,最大值为Z .ii(2)当 x6“时,0<2x-Q<4从而二2当 0<2x-BWIn m，即iyx"2时,f(x)单调递增,2ic当3<2x-4即I2<x<时,f(x)单调递减.综上可知，f(x)在r5n 2irl上单调递增；在1匠'J上单调递减.19.(本小题满分13分,(1)小问4分,(2)小问9分).D,E分别为线段AB,BC上的点，且(2015 重庆，理 19)如图,三棱锥 P-ABC 中,PC,平面 ABC,PC=3,ZACB=£CD=DE= v'2,CE=2EB=2.p(1

17、)证明:DE，平面PCD；求二面角A-PD-C的余弦值.证明：由PC，平面ABC,DE?平面ABC,故PCXDE.由CE=2,CD=DE= Y'2得3DE为等腰直角三角形，故CDDE.由PCACD=C ,DE垂直于平面PCD内两条相交直线，故DEL平面PCD.ir(2)解：由(1)知,ZCDE为等腰直角三角形,/DCeA.如图，过D作DF垂直CE于F,易知DF=FC=FE= 1,又已知EB=1,故FB=2.IEDF Ffi 23由/ACB=得 DF /AC = tfC= 3 > AC= D DF=，则以C为坐标原点，分别以Cd ,CB,L1的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间

18、直角坐标系C(0,0,0),P(0,0,3),AI 1,E(0,2,0),D(1,1,0)，词=(1,-1,0), ' =(-1,-1,3), 1 =设平面PAD的法向量为n1=(X1,y1,Z1),-jf -yL + %=必*,>"l - /1由 n1 ”= 0,n 1 "八=0，得"“故可取 n 1= (2,1,1).由(1)可知DE，平面PCD,故平面PCD的法向量n2可取为""，即n2=(1,-1,0).从而法向量m ,n2的夹角的余弦值为cos <n 1,n2>=，一：故所求二面角A-PD-C的余弦值为20.

19、(本小题满分12分,(1)小问7分,(2)小问5分)3-+ fuc(2015重庆，理20)设函数f(x)= (a R).若f(x)在x=0处取得极值，确定a的值,并求此时曲线y=f (x)在点(1,f(1)处的切线方程若f(x)在3, + s)上为减函数，求a的取值范围.解：(1)对 f(x)求导得 f'(x)=.因为f(x)在x= 0处取得极值，所以f'(0) = 0，即a= 0.当 a= 0 时,f(x) =故 f(1)=£f'(1)=:3x- ey= 0.从而f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y-1=(x-1),化简得-3/ + (6 -+ ct(

20、2)由(1)知 f'(x)=令 g(x)=- 3x2+ (6-a)x+a ,由 g(x) = 0 解得 xi=6,x2=6当 x<x 1 时,g(x)< 0,即 f' (x)< 0,故 f(x)为减函数;当 xi <x<x 2 时,g(x)>0,即 f'(x)> 0,故 f(x)为增函数；当 x>x 2时,g (x)< 0,即 f' (x)< 0,故 f(x)为减函数.6-114-¥ 36p由f(x)在3,+°°)上为减函数，知x2=&<3,解得a2,故a的取

21、值范围为21.(本小题满分12分,(1)小问5分,(2)小问7分)(2015重庆，理21)如图，椭圆1I；+y= 1(a>b> 0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交椭圆于P,Q两点，且PQXPF1. 若|PF1|=2+，Z|PF2|=2-&,求椭圆的标准方程；(2)若|PF1|二|PQ| ,求椭圆的离心率e.解：(1)由椭圆的定义,2a=|PF 1|+|PF 2|= (2+衣)+ (2-$)=4，故 a=2.设椭圆的半焦距为c,由已知PF1 ±PF2,因此 2c=|F1F2|=yJ +1?I =+ Q -闵"=2卢,jf-j jl即 c=&q

22、uot;3,从而 b= * =1.故所求椭圆的标准方程为+y 2= 1.解法一:如图，设点P(x0,y。)在椭圆上，且PF1 LPF2,则也抬I 2 2+ =1, + =c2,求得 x°=±R/犷 y0=).由 |PF1|=|PQ|>|PF 2|得 xo>0,=(a+ )2.从而 |PFi|2=2(a2-b 2)+ 2a -i1-由椭圆的定义|PFi|+|PF 2|= 2a,|QFi|+|QF2|=2a.从而由 |PFi|=|PQ|=|PF 2|+|QF 2|,有|QFi|二 4a-2|PFi|.又由 PFi，PF2,|PFi|=|PQ| ,知|QFi|二，%PFi|,因此(2+)|PFi|=4a,即(2+ 货)(a+)= 4a,二7.解得e=于是(2+)(i +*1* 1) = 4,解法二：如解法一中的图，由椭圆的定义，|PFi|+|PF2|=2a,|QFi|+|QF 2|=2a.从而由 |PFi|=|PQ|=|PF 2|+|QF 2|,有|QFi|=4a-2|PFi|.又由 PFi，PQ,|PFi|=|PQ| ,知|QFi|= U%PF