第七章离散时间系统

1、1连续时间信号、连续时间系统连续时间信号连续时间信号： f(t)是连续变化的是连续变化的t的函数，除若干不连续点之外对的函数，除若干不连续点之外对于任意时间值都可以给出确定的函数值。函数的波形都于任意时间值都可以给出确定的函数值。函数的波形都是具有平滑曲线的形状，一般也称模拟信号。是具有平滑曲线的形状，一般也称模拟信号。 连续时间系统：连续时间系统： 系统的输入、输出都是连续的时间信号。系统的输入、输出都是连续的时间信号。 Ot tf2离散时间信号、离散时间系统离散时间信号：离散时间信号： 时间变量是离散的，时间变量是离散的，函数只在某些规定的时刻函数只在某些规定的时刻有确定的值，在其他时间有

2、确定的值，在其他时间没有定义。没有定义。 离散时间系统：离散时间系统： 系统的输入、输出都是离散的时间信号。如数字系统的输入、输出都是离散的时间信号。如数字计算机。计算机。okt ktf2t1t1t3t2t离散信号可以由模拟信号抽样而得，也可以由实际系离散信号可以由模拟信号抽样而得，也可以由实际系统生成。统生成。 3量化幅值量化幅值量化幅值只能分级变化。幅值只能分级变化。采样过程采样过程就是对模拟信号的时间取离就是对模拟信号的时间取离散的量化值过程散的量化值过程得到离散信号。得到离散信号。数字信号：数字信号：离散信号在各离散点的幅值被量化的信号。离散信号在各离散点的幅值被量化的信号。ot tf

3、TT2T31 . 32 . 45 . 19 . 0oTT2T3 tfqt34214离散时间系统的优点便于实现大规模集成，从而在重量和体积方面显示其便于实现大规模集成，从而在重量和体积方面显示其优越性；优越性；容易作到精度高，模拟元件精度低，而数字系统的精容易作到精度高，模拟元件精度低，而数字系统的精度取决于位数；度取决于位数；可靠性好；可靠性好；存储器的合理运用使系统具有灵活的功能；存储器的合理运用使系统具有灵活的功能；易消除噪声干扰；易消除噪声干扰；数字系统容易利用可编程技术，借助于软件控制，大数字系统容易利用可编程技术，借助于软件控制，大大改善了系统的灵活性和通用性；大改善了系统的灵活性和

4、通用性；易处理速率较低的信号。易处理速率较低的信号。5离散时间系统的困难和缺点高速时实现困难，设备复杂，成本高，通信系统由高速时实现困难，设备复杂，成本高，通信系统由模拟转化为数字要牺牲带宽。模拟转化为数字要牺牲带宽。应用前景由于数字系统的优点，使许多模拟系统逐步被淘汰，由于数字系统的优点，使许多模拟系统逐步被淘汰，被数字（更多是模数混合）系统所代替。被数字（更多是模数混合）系统所代替。人们提出了人们提出了“数字地球数字地球”、“数字化世界数字化世界”、“数数字化生存字化生存”等概念，数字化技术逐步渗透到人类工作与等概念，数字化技术逐步渗透到人类工作与生活的每个角落。生活的每个角落。数字信号处

5、理数字信号处理技术正在使人类生产和技术正在使人类生产和生活质量提高到前所未有的新境界。生活质量提高到前所未有的新境界。6混合系统：混合系统： 连续时间系统与离散时间系统联合应用。如自控连续时间系统与离散时间系统联合应用。如自控系统、数字通信系统。系统、数字通信系统。 需要需要A/D、D/A转换转换。不能认为数字技术将取代一切连续时间系统的应用不能认为数字技术将取代一切连续时间系统的应用人类在自然界中遇到的待处理信号相当多的是连人类在自然界中遇到的待处理信号相当多的是连续时间信号，需经续时间信号，需经A/D、D/A转换。转换。当频率较高时，直接采用数字集成器件尚有一些当频率较高时，直接采用数字集

6、成器件尚有一些困难，有时，用连续时间系统处理或许比较简便。困难，有时，用连续时间系统处理或许比较简便。最佳地协调模拟与数字部件已成为系统设计师的最佳地协调模拟与数字部件已成为系统设计师的首要职责。首要职责。混合系统7系统分析:经典法：齐次解特解时域分析零输入响应零状态响应变换域分析 傅里叶变换 拉氏变换法连续时间系统连续时间系统微分方程描述微分方程描述 :z经典法：齐次解特解时域分析零输入响应零状态响应变换域分析 傅里叶变换变换法离散时间系统离散时间系统差分方程描述差分方程描述 差分方程的解法与微分方程类似差分方程的解法与微分方程类似 8本章内容离散时间信号的描述、运算；离散时间信号的描述、运

7、算；离散时间系统的描述离散时间系统的描述差分方程、系统框图；差分方程、系统框图；差分方程的时域解法；差分方程的时域解法；离散时间系统的单位样值响应；离散时间系统的单位样值响应；系统特性判断；系统特性判断；离散卷积。离散卷积。 注意离散系统与连续系统分析方法上的联系、注意离散系统与连续系统分析方法上的联系、区别、对比，与连续系统有并行的相似性。和前几区别、对比，与连续系统有并行的相似性。和前几章对照，章对照，温故而知新温故而知新。学习方法9一离散信号的表示方法 值的大小值的大小线段的长短表示各序列线段的长短表示各序列波形表示波形表示可以用函数表示可以用函数表示有规则的有规则的如如数字序列数字序列

8、 :,1 . 0 , 3 . 0 , 8 . 0, 9 . 00nxn , 2, 1, 0 nnxTnTxtx等间隔等间隔10序列的三种形式O)(nxnO)(nxnO)(nxn1n2n；双边序列：双边序列： n；单边序列：单边序列：0 n；有限长序列：有限长序列：21nnn 11二离散信号的运算1相加：2相乘：3乘系数：)()()(nynxnz )()()(nynxnz )()(naxnz 左移位左移位右移位右移位 )()( )()(mnxnzmnxnz 4移位：on 1 nx1 23 1 x 0 x 1x 3x 2x41 on nx123 1 x 0 x 1x 3x 2x1 12)()(nx

9、nz )1()()()()1()( nxnxnxnxnxnx后向差分：后向差分：前向差分：前向差分： nkkxnz)()(5反折：6差分：7累加：8重排（压缩、扩展）： anxnxanxnx , 或或注意：注意：有时需去除某些点或补足相应的零值。有时需去除某些点或补足相应的零值。9序列的能量 nnnxE2)(13例7-2-2（教材例7-1）On1 nx1 2 3 4 5 623456On1 2nx1 2 3 4 5 6 7 8 9 101223456On nx 21 2 3 4 5 6246波形。波形。波形，请画出波形，请画出已知已知 2),2()(nxnxnx 为奇数为奇数为偶数为偶数nnn

10、x0214三常用离散信号单位样值信号单位样值信号单位阶跃序列单位阶跃序列 矩形序列矩形序列斜变序列斜变序列单边指数序列单边指数序列正弦序列正弦序列复指数序列复指数序列151单位样值信号 0, 10, 0)(nnn 时移性时移性比例性比例性)(),(jncnc 抽样性抽样性)()0()()(nfnnf 注意：注意：nO)(n 11 jnjnjn, 1, 0)( n)1( n 11O 。不是面积不是面积取有限值取有限值在在，幅度为，幅度为表示，表示，强度强度用面积用面积0)(; 0 )( nntt 16利用单位样值信号表示任意序列 mmnmxnx)()()( ,.,00305110nnf12341

11、on nf5 . 13 235 . 11 nnn 172单位阶跃序列 0001)(nnnunO)(nu111 2 3 0)()3()2()1()()(kknnnnnnu : )(样值之和样值之和可以看作是无数个单位可以看作是无数个单位nu)1()()( nunun 商关系。商关系。是差和关系，不再是微是差和关系，不再是微与与nun 183矩形序列 NnnNnnRN, 00101)( )()()(NnununRnuN 的关系：的关系：与与no)(nRN111 2 31 N194斜变序列)()(nnunx nO)(nx111 23420On1 nuan1 123401 a5单边指数序列 nuanx

12、n On1 nuan1 12341 aOn1 nuan1 12341 aOn1 nuan1 123410 a216正弦序列数值。数值。个重复一次正弦包络的个重复一次正弦包络的则序列每则序列每当当的速率。的速率。序列值依次周期性重复序列值依次周期性重复正弦序列的频率正弦序列的频率10 ,102,:00 0sin nnx 15On1 10 0sin n t0sin 1 sin 0是周期序列应满足是周期序列应满足离散正弦序列离散正弦序列nnx N称为序列的称为序列的周期周期，为任意，为任意正整数正整数。 nxNnx 0cos nnx 余弦序列：余弦序列：22正弦序列周期性的判别 20是正整数是正整数

13、，NN 为有理数为有理数，mNmN 02 sin0仍为周期的仍为周期的n 02 mN 周期：周期：正弦序列是周期的正弦序列是周期的 Nn 0sin n0sin 2sin0 n 002sin n Nn 0sin n0sin 2sin0 mn 002sin mn为无理数为无理数02 , 值值的的找不到满足找不到满足NnxNnx 为非周期的。为非周期的。23例7-2-3设设N=10，说明正弦序列的包络线每隔，说明正弦序列的包络线每隔10个样值重复一个样值重复一次，周期为次，周期为10。2 . 010220 N小。小。间弧度间弧度小，两个序列值小，两个序列值率，率，速速反映每个序列值出现的反映每个序列

14、值出现的 0015on1 0sin n t0sin110。的弧度数为的弧度数为表示相邻两个序列值间表示相邻两个序列值间2 . 0241 23 4 56 7 89101122n nx 一个周期一个周期）个个中有中有。（。（，即周期为，即周期为所以所以05 . 5 211 11N 114sin求其周期。求其周期。，已知：已知：nmN 21141122 11400则有：则有：，例7-2-425 4 . 0sin是否为周期信号？是否为周期信号？信号信号nnx 4 . 00 例7-2-5是无理数是无理数52 0 所以为非周期的序列所以为非周期的序列267复指数序列复序列用极坐标表示：复序列用极坐标表示：

15、 nnnxn00jsinjcose0 nxnxnxargje 1 nx nnx0 arg复指数序列：复指数序列：27一用差分方程描述线性时不变离散系统离散时间系统离散时间系统)()(2211nxcnxc )()(2211nycnyc 线性：线性：齐次性、可加性均成立；齐次性、可加性均成立；离散时间系统离散时间系统)(1nx)(1ny离散时间系统离散时间系统)(2nx)(2ny28时不变性 ，nynx 位位整个序列右移整个序列右移 NNnyNnx nO)(nx11123系统系统nO)(ny1112 34nO)(Nnx 11123系统系统nO)(Nny 11123时域经典法（齐次解+特解） 齐次解

16、：齐次方程的解差分方程差分方程特征方程特征方程特征根特征根 y(n)的解析式的解析式由起始状态定系由起始状态定系数数 nnnnnrCrCrCny 2211阶方程阶方程无重根无重根nrrrn 21 . 12.2.有重根有重根 nKKKKrCnCnCnC112211 阶重根阶重根为为Kr130特解线性时不变系统输入与输出有相同的形式线性时不变系统输入与输出有相同的形式 annxe anAnye nnx je nAny je 输入输入输出输出 nnx cos )cos( nAny nnx sin )sin( nAny knnx 0111AnAnAnAnykkkk Anx Cny nrnx nrCny

17、 nrnx nnrCrnCny21 （r与特征根重）与特征根重） 几种典型信号激励下相应特解的形式：mn1110mmmmB nBnBnBnanBa10()nBnB aAB110()rrnrrB nBnB a1110()mmrmmB nBnBnB n(含有含有r重等于重等于1的特征根的特征根)(不含等于不含等于1的特征根的特征根)(不含等于不含等于a的特征根的特征根)(含一个等于含一个等于a的特征根的特征根)(含有含有r个等于个等于a的特征根的特征根)32零输入响应+零状态响应零输入响应：输入为零，差分方程为齐次系数系数由初始状态定（相当于由初始状态定（相当于0-的条件）的条件） 齐次解齐次解：

18、零状态响应：初始状态为0，即 021 yy求解方法求解方法经典法：齐次解经典法：齐次解+ +特解特解卷积法卷积法推导到推导到 -1 ！绕开特解绕开特解33 31221y ny ny nx nx n系统的差分方程 0102 yynunxn已知已知 zi,0ynx n零输入响应即当时的解。求系统的求系统的零输入响应零输入响应 。 02213 nynyny2123202,1 nnCCny1221zi 例 nyzi求吗？求吗？能由能由、0)1()0(21 yyCC为什么？为什么？34求初始状态题目中题目中 ,是是激励加上以后激励加上以后的的,不能说明状态不能说明状态为为0,需迭代求出需迭代求出 。 0

19、10 yy 2,1 yy 021212031 10uuyyyn 1121200 y 211 y所以所以 120222130 010 uuyyyn 122130 yy 452 y所以所以 31221y ny ny nx nx n 2nx nu n 35 代入方程代入方程以以2,1 yy 45122211212221zi1211ziCCyCCy 2321CC nnny1223zi 所以所以解得解得零输入响应与输入无关，零输入响应与输入无关，要找出输入加上之要找出输入加上之前前的初始状态。的初始状态。由初始状态定C1，C2 注意注意！零状态响应用卷积求取，所以先要求单位抽样响应。零状态响应用卷积求取

20、，所以先要求单位抽样响应。绕开特解绕开特解单位抽样响应37单位抽样响应系统系统)(n )(nh 即作用下，系统的零状态响应，称为单位抽样响应，表示为。nh n单位抽样响应作用？单位抽样响应作用？系统的唯一描述：系统的唯一描述：系统因果稳定性的判断系统因果稳定性的判断、描述方法之间的转换、系统函数、描述方法之间的转换、系统函数卷和法求系统的零状态响应卷和法求系统的零状态响应零状态零状态例( )5 (1)6 (2)( )y ny ny nx n解：解：求单位抽样响应求单位抽样响应h(n)，已知描述系统的差分方程为，已知描述系统的差分方程为( ) 2(2)3(3) ( )nnh nu n 11 (2

21、)(3) ( )nnu n 122,31256012( )(2)(3) ( )nnh nAAu n( )5 (1)6 (2)( )h nh nh nn(0)5 ( 1)6 ( 2)(0)hhh) 1 () 1(6)0(5) 1 (hhh5)0(21AAh)3()2() 1 (21AAh1521A32A递推求初值：递推求初值：代入通解求待定系数：代入通解求待定系数：零状态响应用卷积求取，所以先要求单位抽样响应。零状态响应用卷积求取，所以先要求单位抽样响应。绕开特解绕开特解系统零状态响应系统零状态响应离散系统时域卷积和分析法m -x(m) (n-m) (k) h(k) (n) h(n) (n-m)

22、 h(n-m) x(m) (n-m) x(m)h(n-m) m -x(m)h(n-m) mmnhmxny nhnx 卷积和定义：卷积和定义：常用信号的卷积和( )()()x nnmx nm( )* ( )( )nix nu nx i2、x(n)与单位阶跃序列卷积与单位阶跃序列卷积1、x(n)与单位抽样信号卷积与单位抽样信号卷积( )( )( )x nnx n()()()x nmn lx nm l3、u(n)与与anu(n) 卷积卷积11( )* ( )( )1nnaa u nu nu na4、anu(n)与与bnu(n) 卷积卷积11( )*( )( )nnnnaba u nb u nu na

23、b41不存在微分、积分性质。不存在微分、积分性质。1交换律交换律)()()()(nxnhnhnx )()()()()()(2121nhnhnxnhnhnx )()()()()()()(2121nhnxnhnxnhnhnx nxnnx 2结合律结合律3分配律分配律4卷积和的性质卷积和的计算例：例：x(n)=anu(n) ， h(n)=bnu(n) ，求卷积和，求卷积和y(n)=x(n)*h(n).1利用定义计算利用定义计算 1）x(n)、h(n) x(m)、h(m)2） h(m) h(-m) （反折）（反折）3） h(n-m) （移位）（移位）4） x(m) h(n-m) （相乘）（相乘）5）

24、相加相加m -( )* ( )x(m)h(n-m)x nh n 43 。求卷积求卷积已知已知)()()(,10 nhnxnynunhnunxn nhnxny nmm , 0:宗量宗量0,0 nnm即：即：)()(0nunynmm mmmnumu)()( nun 111要点：要点：定上下限定上下限例（利用定义）)2()1()()( nnnnx )2(3)1(2)()( nnnnh 利用分配律利用分配律)2(3)1(2)()()( nnnnhnx )4(3)3(5)2(6)1(3)( nnnnn 。，求，求，已知已知)()(321)(,)(03nhnxnhnRnxn 例（利用性质）)3(3)2(2

25、)1( nnn )4(3)3(2)2( nnn 45y(n)的元素个数?Annx )(Bnnh )(1 )( BACnnnny若：若： ，序列序列21 )(nnnnx 43 )(nnnnh 序列序列例如：例如： 序列序列则则)(ny 4231nnnnn 个元素个元素：4 30 )( nnx个元素个元素：5 40 )( nnh个元素个元素： 8 70 )( nny 离散系统的离散系统的零状态响应零状态响应等于系统激励与系统单位抽样响应等于系统激励与系统单位抽样响应的卷积和。即的卷积和。即( )( )* ( )zsy nx nh n分析步骤：分析步骤：1）求单位抽样响应；）求单位抽样响应；2）计算

26、卷积和。）计算卷积和。离散系统的卷积和分析h(n)-3h(n-1)+ 2h(n-2)= (n)+ (n-1)h(-1)=0 h(-2)=0 （零状态）先求h(0)，取n=0：h(0)-3h(-1)+ 2h(-2)= (0)+ (-1)所以：h(0)=1再求h(1)，取n=1：h(1)-3h(0)+ 2h(-1)= (1)+ (0)所以：h(1)=4 于是把h(0)=1、 h(1)=4作为初值 (n)从n=0开始作用，零状态意味n1,输入就不起作用了。例：已知输入： ，差分方程为：y(n)-3 y(n-1)+ 2y(n-2)= x(n)+ x(n-1) ，求零状态响应。解：先求单位抽样响应单位抽

27、样响应。( )2( )nx nu n1212( )22,3( )( 23 2 ) ( )nnh ncccch nu n 差分方程：y(n)-3 y(n-1)+ 2y(n-2)= x(n)+ x(n-1)初值：h(0)=1、 h(1)=4 n1后：( )2( )nx nu n零状态响应=单位抽样响应与输入的卷积和。m0010( )( )* ( )() ()2()( 23 2) ()2 ( 23 2)( 223 22 )21( 223 2 )23 (1)221zsmn mmnnmn mmn mmmmnnmnnmynx nh nx m h nmu mu nmn ( )( 23 2 ) ( )nh n

28、u n ( )422323 2(31)22 ( )nnnzsnynnnu n 例 3122,( )2( )ny ny ny nx nx nu n10,20.5,( )?yyy n求解解:121,2 求零输入响应：求零输入响应：) 1 (12( )( 1)( 2)nnziynCC( 1)2( 2)nn (2)( )( )* ( )zsynx nh n求零状态响应：( ) ( 1)2( 2) ( )nnh nu n ( ) ( 1)2( 2) ( )* 2( )nnnzsynu nu n 11( 1)( 2)2 ( )33nnnu n 221(3)( )( 1)( 2)(2 ) ( )333nnn

29、y nu n全响应为11-( )*( )( )nnnnaba u nb u nu nab绕开特解绕开特解离散时间系统的系统框图描述方法离散时间系统的系统框图描述方法基本单元：加法器加法器系数乘法器系数乘法器延迟器延迟器a0 y(n)+a1 y(n-1) +a2 y(n-2) =b.0 x(n)+ b.1 x(n-1)+ b.2 x(n-2)y(n) =1/a0 b.0 x(n)+ b.1 x(n-1)+ b.2 x(n-2) -a1 y(n-1) -a2 y(n-2)首先用差分方程描述的离散时间系统首先用差分方程描述的离散时间系统y(n) =1/a0 b.0 x(n)+ b.1 x(n-1)+

30、 b.2 x(n-2) -a1 y(n-1) -a2 y(n-2)D+( )x n0b1b2b( )y n+01a1a2a直接I型DDD+( )x n2b1b0b( )y n 交换、共用延迟器交换、共用延迟器+01a1a2a直接II型 正准型正准型DD合并加法器合并加法器+2b1b0b+2a1a01aDD( )x n( )y n+2b1b0b+2a1a01aDD( )y n( )x n由系统框图到差分方程由系统框图到差分方程 Z变换变换另一种画法另一种画法差分方程求解例题abcefdg例112358132134差分方程？差分方程？(2)(1)( )y ny ny n起始条件(1)1(2)1yy

31、特征方程210 特征根12151522121515( )()()22nny ncc115115( )()()12255nny nn零输入，只求齐次解( )y n表示第n个正方形的边长若用如何解？如何解？最佳比例(2)(1)( )y ny ny n(2)( )1(1)(1)y ny ny ny n (1)( )( )y nr ny n记1(1)1( )r nr n 1( )1( )rr 2( )( )10rr 15( )()1.6182r 取正根10.618( )r? ? ? 分割分割例 某人向银行贷款某人向银行贷款60万元，万元，20年还清，从当月开始，每月月底还年还清，从当月开始，每月月底还

32、d元，利息按月结算，年利元，利息按月结算，年利率为未还余额的率为未还余额的5.5%，试求每个月还贷款数目，试求每个月还贷款数目d？（等额还款，本金差额）？（等额还款，本金差额）( ( )ddy npu nn） ( -)(1+ )y(n)=y(n-1)+ y(n-1)-du(n-1)y(0)=600000=py(n)-(1+)y(n-1)=-du(n-1)y(0)=600000=py齐齐(n)=C(1+)n用用y(0)=p代入，确定系数代入，确定系数C=p-d/240）(p -d)(1+ )1(2400yd240240(1)(1)1(1)4127.32(1)1nnpdp记：记： 600000=p

33、， 月利率月利率=5.5% / 12= 20年年=240月月记：第记：第n个月月底未还款余额为个月月底未还款余额为y(n)差分方程？差分方程？怎么解？怎么解？y特特(n)=B 代入差分方程确定：代入差分方程确定：B=d/y(n)= y齐齐(n)+ y特特(n)=C(1+)n+d/记记n2i=1y(n） =i差分方程？差分方程？2y(n）(1)y nn特征根：特征根：1齐( )1nyncc特2210( )()ynn D nD nD输入为221nnn与特征根相重：与特征根相重：例x(n)=n2， 系统第n时刻输出为：对所有过去输入的求和。其差分方程可以表示为：y(n)-y(n-1)= x(n)23

34、4.nnn怎么解？怎么解？2n2210()B nBnB n(含有含有1重等于重等于1的特征根的特征根)2y(n）(1)y nn代入差分方程，确定系数：代入差分方程，确定系数：222210210()(1)(1)(1)n D nD nDnD nD nDn210111,326DDD2111y(n） ()326nnncy(0） 0 0c21111y(n） ()(1)(21) ( )3266nnnn nnu n特2210( )()ynn D nD nD65因果性、稳定性对于线性时不变系统是对于线性时不变系统是因果因果系统的系统的充要条件：充要条件： 稳定性的充要条件：稳定性的充要条件： nPnh 00 nhn单位样值响应绝对可和（为有限值、收敛）。单位样值响应绝对可和（为有限值、收敛）。因果系统因果系统：输出变化不领先于输入变化的系统。：输出变化不领先于输入变化的系统。一个非因果系统的示例一个非因果系统的示例稳定系统稳定系统：BIBO,若输入有界则输出必有界的系统。若输入有界则输出必有界的系统。66例 nuanhn n0( )0h n时， 收敛，即收敛，即时，时，只有当只有当nha1 (1)讨论因果性：讨论因果性：(2)讨论稳定性：讨论稳定性： nnh)(所以系统是因果的。所以系统是因果的。1,a 即系统是稳定的。 1 111aaa 0nn