平行线的特征m

1、精品资源平行线的特征【基础知识精讲】本单元主要学习与探索平行线的特征，在经历观察、操作、推理、交流等学习过程中， 要求掌握平行线的特征，并能解决一些问题.要求进一步发展空间观念，培养推理能力、有 条理表达的能力.重重点难点解析】本单元的重点是平行线的特征.我们知道，由两条直线平行，得到角相等或互补关系的结沦是特征；而由角的相等或互补关系，得到两条直线平行的结论是识别方法.所以要正确区分平行线的特征和识别方法是很重要的.1 .掌握平行线的特征（性质）；（这是重点，也是难点，要掌握好）2 .会用平行线的特征（性质）进行简单的推理或计算；3 .能正确区分平行线的判定和性质.B.考点指要平行线的特征（

2、性质）是平面几何的重要内容之一，也是中考的重要内容之一.平行线的特征（性质）： 1）两直线平行，同位角相等； 2）两直线平行，内错角相等； 3）两直线平行，同旁内角互补.（与平行线的判定相反，要注意辨别）几何中，图形之间的“位置关系”往往都与某种“数量关系”有着内在的联系，两者往 往相互确定.平行线的判定就是根据同位角、内错角的“相等”或同旁内角的“互补”这种“数量关系”，判定两条直线“平行”这种“位置关系”；而平行线的性质就是在两条直线平 行的“位置关系”下，得出两个角的“数量关系”，即同位角相等、内错角相等、同旁内角互补.在学习中要注意用“数量关系”来确定“位置关系”，用“位置关系”来确定

3、“数量关系”.平行线的判定与性质的内容刚好相反，学习时要正确区分判定和性质. 位置关系是从定性的角度研究，数量关系是从定量的关系研究，这两个角度是研究数学问题常见的两个方面） 难题巧拨解析】例 1 如图，AB / CD,求证：/ E = Z A+Z C.证法一：如下图，过点 E作EF / AB, AB/CD （已知），EF / CD （平行于同一条直线的两条直线互相平行），/AEF = /A, /CEF = /C （两直线平行，内错角相等），/AEC=/A+/ C （等式性质）.（作出辅助线研究几何问题的常用方法） 即/ E = Z A+Z C.证法二：如上右图，过点 E作EF / AB ,

4、AB/CD （已知），EF / CD （平行于同一条直线的两条直线互相平行），ZA+Z AEF= 180° ,ZC+Z CEF = 180° （两直线平行，同旁内角互补），ZA+Z AEF + Z C+Z CEF = 360° （等式性质），又. Z AEC+Z AEF + Z CEF=360° （已知）/AEC=/A+/ C （等量代换），即/ E = Z A+Z C.注以上两种证法都用到了平行线的性质，除此之外，请同学们作如下思考:（1）试设想其他不同的证明方法；（2）若变换图形或条件，你又会得到什么结论 ？例2如图，AB / CD, AD / BC

5、, / B和/ D相等吗？为什么？欢下载思路分析本题的已知条件“平行”与要说明的/B和/ D相等与否没有关系，因此首先要分析清楚/ B和/ D的位置关系.下面用两种方法说明/B和/ D相等.解法一：/ B和/ D相等.推理过程如下： AB / CD, AD / BC （已知）,ZA+ZD = 180° , ZA+ZB=180° （两直线平行，同旁内角互补），/B = /D （同角的补角相等）.解法二：/ B和/ D相等.推理过程如下：如图，连结BD. AB / CD, AD / BC （已知）,（作出辅助线创造条件使用平行线的性质）/ABD = /BDC, /CBD = /

6、ADB （两直线平行，内错角相等）， / ABD + / CBD = / BDC + / ADB （等式性质）,/B = /D.注在推理过程中，相同的推理步骤可以写在一起，如本例解法一和解法二中的第一步推理.例 3 如图，已知 AB/CD, Z BAE = 40° , / ECD = 62° , EF 平分/AEC.求/ AEF 的度数.思路分析要求/ AEF的度数，就要先求出/ AEC的度数.由于 AB / CD ,而/ AEC并不是与这 两条平行线有直接的联系.怎样才能使/AEC与已知条件之间架起一座桥呢 ？解：过E点作EG/ AB. AB / CD （已知），EG /

7、 CD （两条直线都平行于第三条直线，这两条直线也互相平行） /AEG = / BAE =40 ° ,ZCEG=Z ECD = 62° （两直线平行，内错角相等）， ZAEC=Z AEG + Z CEG = 40° +62° =102° . EF平分/ AEC （已知），ZAEF= 1 /AEC=51° （角平分线定义）. 2注 / AEF和/ BAE虽然也是一对内错角 （AB、EF被AE所截得的内错角），但是它们 是不相等的.因此要特别注意，内错角相等要在平行线的条件下才具备；解题中作EG /AB,这是利用平行线的性质，使问题得以转

8、化而添加的辅助线（为了解决问题的需要添加的线称为辅助线，一般用虚线表示）.但是不可以同时作 EG / AB, EG / CD,这里的EG / CD是 由推理的方法得到的.实际上由例1可得/ AEC = /A+/C=102° .当然由例1的证法二我们可以有另一种作辅助线的方法，也就有另一种计算/AEC的度数的方法.例4如下图，已知CBLAB,点E在AB上，且CE平分/ BCD, DE平分/ ADC, / EDC + Z DCE = 90° ,求证：DAAB.证法一：DE平分/ ADC （已知），ZADC = 2Z EDC （角平分线定义）， CE平分/ BCD （已知）， /

9、BCD = 2/ DCE （角平分线定义）./ADC + / BCD = 2Z EDC+2Z DCE = 2 （/ EDC + / DCE）. / EDC + / DCE = 90° （已知）,ZADC + Z BCD = 2X 90° =180° ,AD / BC （同旁内角互补，两直线平行）.又 ; CB± AB （已知），.二 DA XAB.证法二：:ZEDC + Z DCE + Z DEC = 180° （三角形的内角和为 180°）,又. Z EDC +Z DCE=90° （已知）, /DEC =90°

10、（等式性质）. CBXAB （已知），ZB=90° .Z BEC =90° -Z BCE =90° -Z DCE .ZAED = 90° -Z BEC=/DCE.同证法一，得/ EDC+ /DCE = 90° ,ZAED + Z EDA = 90° ,ZA=90° , DA LAB.注通过平行线的判定和性质，可以研究和解决两条直线互相垂直的位置关系，类似这样的问题会经常遇到.【典型热点考题】例1 如图2 37, AB/ CD直线EF分另I交 AR CD于正、F, £0¥分/ BEF,若/ 1=72

11、6; , 则/ 2=度.|?|2-37（2002年，河南）点悟：如何求/ 2?观察图形，分析条件，知道 AB/ CD,故/ 2=7 3,再联系角平 分线EG及已知/ 1的度数，故可求/ 2.解：AB / CD,/. / 2=7 3.又/ BEF+Z 1=180° , ZBEF=180° - Z 1=180° -72 ° =108° . EG 平分/ BEF,1 1%*3 = BEF =_ 108 =542 2故/ 2=54° .点拨：本题的解答，充分利用了平行线的特征：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补.如图2-38,A

12、B/ CD AD/ BC, / B与/ D相等吗？为什么？图 2-38点悟：如何寻求/ B与/D的关系？一一因为/ B与/ D不是同位角、内错角以及同旁内 角.所以不容易利用两对直线平行的条件.我们另辟蹊径：连结肋，把/B、/D各分成两个角，再想办法利用已知条件。解：连结BD. AB/ CD AD/ BC（已知）, /1 = /3, / 2=/4（两直线平行，内错角相等 ）./1 + /2=/3+/4（等式性质）,即 / B=Z D.点拨：本题属于结论开放性题目./B与/ D是什么关系？相等还是不相等？请你去探索、分析，得到结论并说明你所得结论成立的理由.请同学们细心琢磨呵！例3 已知：如图2

13、39,直线 MN的同侧有三个点 A B、C,且AB/ MN BC/ MN图 2-39求证：A B、C三点在同一直线上.点悟：合理的思维起点是过 B点作BE交MNT E,借助平行线的特征，想办法证明/1 +7 3=180° .即想办法证明/ 1 + /3是一个平角.如图 239.证明：过B点作BE交MN E. AB / MN（E知）,/1 = /2（两直线平行，内错角相等）. BC / MN（E知），/ 3=/4（两直线平行，内错角相等）.又2+/4=180° （平角的定义）71 + 7 3=180° （等量代换） A、B、C三点在同一直线上.点拨：本题提供的证明三

14、点共线的方法是一种典型方法，请同学认真体会。例4 已知：如图240, AB/ CDD图 2-40求证：/ D+Z E+Z B=360°点悟：如何充分而恰当的利用 AB/ CD证出/ D+Z E+Z B=360°是思维的关键.于是容易 联想过E点作EF/AB.此时有两条思维途径：一条是过 E点向右作EF/ AB; 一条是过E点 向左作EF/ AR于是得到两种证明方法.证法一：过E点作EF/ AB,如图241图 2-41ZB=Z BEF（两直线平行，内错角相等）.又 ,. AB/ CD（已知），EF / CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）.ZFED=Z D（两直线平行，

15、内错角相等）./ DEB吆 BEF吆 FED=360 （周角定义）, / E+/ B+/ D=360° （等量代换）.证法二：过E点作EF/ AB.如图242图 2-42 /B+/ FEB=180° （两直线平行，同旁内角互补 ）.又. AB/ CD（已知）,EF/ CD（平行于同一条直线的两条直线相互平行）. /D+/ FED=180 （两直线平行，同旁内角互补 ）./ B+Z FEB+Z D+Z DEF=360 （等式性质）.即 / B+Z E+Z D=360°点拨：两种证法，反映了有效思维的两种途径.方法不同，但都可获得证明，这恰反映 了思维的灵活性和广阔性

16、.例5求证：三角形的内角和等于 180° .也就是点悟：在 ABC中，乙A / B、/C是三个内角.想要证明/ A+Z B+Z C=180° , 要想法证明/ A+/B+/Cj平角.也就是想法把三个角集中到一块，用什么方法好呢 一利用平行线特征，这就需要过A点作一条平行线，即可达到目的.证明：如图243,图 2-43过 A作 EF/ BCZB=Z 1, / C=/ 2.（两直线平行，内错角相等）./1 + /BAC吆 2=180° ,/B+/BAC吆 C=180° .（等量代换）点拨：（1）聪明的同学会问：过 A点作EF/ BC,可达到证明的目的；那么过

17、 B点或C点 作平行线是不是也可行 ？一一均可行.这就是思维的灵活性；（2）让思维飞扬起来：本题可以推广吗？一一可以.三边形（即三角形）的内角之和为180 ° ;四边形的内角和为 2X180° （如图244）;BC图 2-44五边形的内角和为3X180° ;；n边形的内角和为（n-2）180 ° （n边形可以分为（n-2）个小三角形的内角和）.【易错例题分析】例 如图 2 45, AB/ CD 若/ ABE=120 , / DCE=35 ,贝U/ BEC=:3图 2-45（2002年，广州）点悟：如何求/ BEC AB / CQ彳EF/ AB,把/ BE

18、C分成/ 1、/ 2,再分别求出/ 1、 Z2即可.解：过E点作EF/ AB, AB / C口EF / CD则/ 1=180° -/ABE=180 -120 ° =60° , /2=/DCE=35 .ZBEC 1+7 2=60° +35° =95° .警示：如果思维受阻，联想不到作EF/ AB,则会陷于束手无策的困境中.【同步达纲练习】一、选择题1 .如图246,两条直线被第三条直线所截，则 （）图 2-46A.同位角必相等 B .内错角必相等C.同旁内角必互补D .同位角不一定相等2 .下列说法正确的是（）A.两条平行线被第三条直线

19、所截，那么有 3对内错角相等B.平行于同一直线的两直线平行C.垂直于同一直线的两直线垂直D.两直线被第三条直线所截，同位角相等3 .如图247, DEE/ BG DF/ AC 在图中和/ C相等的角有（）图 2-47A. 1个 B . 2个C. 3个 D . 4个4 .两条平行线被第三条直线所截，其同位角的平分线可以组成（）A. 2条平行线，2个直角 B. 2 条平行线，4个直角C. 2组平行线，4个直角 D . 2组平行线，16个直角5.如图 2 48, AB± FF, CDL EF, / 1 = Z F=45° ,那么与/ FCD相等的角有 （）图 2-48A. 1个

20、B . 2个C. 3个 D . 4个6 .如果两个角的两条边分别平行，而其中一个角比另一个角的3倍少20。，那么这个角的度数是（）A. 50° 或 130°B.60° 或 120°C. 65°或115° D.以上都不是7 .如图 249 所示，如果 AD/ BC,贝U:/ 1 = /2;/ 3=/ 4;/ 1 + /3=/2+/4.上 述结论中一定正确的是（）图2-曲A.只有 B.只有C.和 D .、8 .如图250,直线a与b相交，直线c与d平行，图中内错角共有A.C.9.48对 B16对 D如图2-5124对8对所示，AB/ cq

21、图 2-50AC/ BD,下面推理不正确的是图 2*51A. AB/ CD（已知），5=/A（两直线平行，同位角相等 ）B. . AB/ CD（已知），3=/4（两直线平行，内错角相等 ）C.AB/ CD（已知），1 = /2（两直线平行,内错角相等 ）D. AC/ BD（已知），3=/4（两直线平行,内错角相等 ）10.如果两个角的一边在同一直线上，另一边互相平行，那么这两个角只能（）A.相等 B .互补 C 相等或互补 D .相等且互补二、填空题1.如图 252 所示，AB/ CQ Z 1=50° ,贝U/ 2=图 2-522.如图 253, / ABD=/ CBD DF/ AB

22、, DE/ BC,则/ 1 与/ 2 的大小关系是3,若两条平行线被第三条直线所截，则同旁内角的平分线相交所成的角的度数是 4.如图 2 54,若 AB/ EF, BCZ DE 贝U/ E+/ B=Fl图 2-545.如图 2 55,已知/ 1=7 2,图 2-556 .如图 256 所示，C-分 / ACB DE/ BG Z AED=70 ,则/ EDC=图 2-567 .若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角 .8 .如图257, DH/ EG/ BC, DC/ EF,则与/ 1相等的角有 个.图 2-579 .如图 258, AB/ CQ 则/ 1+Z A+Z B=图 2-5

23、810 .完成下列推理：如图 2 59,已知/ 1=36° , Z 0=74° , Z B=36° ,求/ 4 的度数.图 2-5971=36 ° , /()/ 4=()三、解答题1 .已知：如图 2 60, /1 = /2, Z C=Z D.求证：/ A=Z F.A B C图 2-602 .如图261所示，已知直线 MN分别与直线 AR CD相交于E、F, AB/ CD EG平分/BEF, FH 平分/ CFE求证：EG/ FH.图 2-613 .已知：如图 2 62, AC/ DE, DC/ EF, CD平分/ BCA 求证：EF平分/ BED图 2

24、-624 .如图 263, BE/ DF, AB± MN CD! MN 垂足分别为 B、D.问：/ ABE和 / CDF相等 吗？为什么？2-635 .如图264所示，已知 MNL AB,垂足为 G, MNL CQ垂足为H,直线EF分别交ARCD于 G Q / GQC=120 .求/ EG由口 / HGQ勺度数.图 2 -64【综合能力训练】1 .若两条平行线被第三条直线所截，则一对同位角的平分线的位置关系是（）A.相交B.平行C.垂直D.不能确定2 .若两条平行线与第三条直线相交，那么一组内错角的平分线互相（）A.平行B.相交C.垂直D.重合3 .如下图，DH / EG/ BC,且

25、 DC/ EF ,那么图中与/ BFE相等的角（不包括/ BFE 本身）的个数应是（）A. 2个B. 4个C. 5个D. 6个4 .如下图，已知 AB/CD, AD/BC, / B=50°，/EDA=60° ，贝U/CDO =JB C 05 .如下图，已知 CD平分/ ACB, DE/BC, / AED = 50° ,求/ EDC的度数.6 .如下图，已知 AB/DF、DE/BC, /B=65° ,求/ BOE、/ D 的度数.7 .如下图，已知 DE/ BC, EF 平分 / AED, EFXAB, CDXAB,求证：CD 平分/ ACB. （由本题，

26、你可以得到什么结论？）请旅胃但此后再冒答察!参考答案【同步达纲练习】一、1.D 2,B 3.C 4.D 5.D 6.A 7.A 8.C 9.B 10.C二、1.130 ° ; 2. /1 = /2; 3.90 ° ; 4.180 ° ; 5.123 ° ; 6.35 ° ; 7. 补；8.5; 9.180 ° ; 10. /B, BG EF;同位角相等，再直线平行；/ C, 74° 平行，同位角相等.三、1. .一/ 2=7 3（对顶角相等），/1 = /2（已知），BD/ CE（同位角相等，两直线平行）. / ABDh C

27、（两直线平行，同位角相等）.又C=Z D （已知），丁/ABDhD （等量代换），DF/ AC（内错角相等，两直线平行）./ A=Z F（两直线平行，内错角相等）.2.AB/ CD （已知），/ BEF=/ CFE（两直线平行，内错角相等 ）.£0¥分/ BEF FH 平分/ CFE（已知），/1 = l/BEF, / 2=1/CFE（角平分线定义），2 21=7 2 （等量代换）EG/ FH（内错角相等，两直线平行）.3 .如图，AC/DE, DC EF（已知），相等或互;两直线第3题.1. /1 = /2, Z BED=/ BCA网直线平行，同位角相等 ）。一1又/2= /ACB （角平分线定义），21 N1= NBED （等量代换）.2EF 平分/ BED4 .如题中图，/ ABE=/CDF理由：因为AB± MN CDL MN根据垂直的定义，得/ ABDhCDN=90 .因为 BE/DF ,根据两直线平行，同位角相等，得/ EBDh FDN根据等式的性质