抛物线的性质归纳及证明

1、i抛物线的常见性质及证明概念焦半径：抛物线上一点与其焦点的连线段；焦点弦：两端点在抛物线上且经过抛物线的焦点线段称为焦点弦性质及证明过抛物线y2=2px (p>0)焦点F的弦两端点为A(x1，yj , Bd, y2),倾斜角为，中点为C(xo,y 0),分别过A、B、C作抛物线准线的垂线,垂足为 A'、B'、C'.1.求证:焦半径| AF | x1焦半径|BF | x2 2pi cos看|十六=：；弦长1 ab1 +尸患；特别地，当 xi=x2(=90 )2时，弦长|AB|最短，称为通径，长为 2p；4 AOE0勺面积S(aoab=2sin证明：根据抛物线的定义，

2、| AF |=| AD |=xi+2, | BF |=| BC |=*2+,| AB |= | AF |+| BF |=xi + X2+p如图2,过A、B引x轴的垂线AAi、BBi,垂足为Ai、Bi,那么 | RF |=| AD |-| FAi |= | AF |- | AF |cos | AF |= | RF | = -p i cos i cos同理，| BF |=| RF |i + cos i + cos| AB r AF |+|BF 尸'+1=S>iiip,Soab = SAOAF 十字obf = 2| of | yi |十5 OF | yi | =鼻 j -(| yi|+

3、| yi |),yiy2= p2,则yi、y2异号，因此，|yi|十| yi | = | yiy2|DA(x" yi)BiORB(x2, y2)C图2F Ai xSaoAB =p| yi y2 | = p>/(yi +y2)2 4y1y2 = 4j4m2p2+ 4p2=p/i + m2=22.求证：济2；y1y2 Pl帚十由j.当AB± x轴时，有AF BF p,成立；当AB与x轴不垂直时，设焦点弦 AB的方程为：y k x 卫.代入抛物线方程: 22k2 x -p2 px.化简彳导:k2x22 pk22x ?k2方程（1）之二根为 xi, x2, . . xi x2

4、1_ _1_ _1_ _1AF BFAA, BB111x1x2pp_Ppp2x1x2x#2Xx22224x1x2px1x2p 222一匹卫 x1x2包! x1x2p P4212423.求证:AC'B A'FB' RtZ .先证明：/AMB=Rt/【证法一】延长 AM交BC的延长线于E,如图 ADMA ECM ,| AM |= | EM |, | EC |= | AD | BE |= | BC |+ | CE |=| BC |+ | AD |=| BF |+ | AF |= | AB |. .ABE为等腰三角形，又 M是AE的中点, BMXAE,即/ AMB=RtZ1|

5、MN |=2(|【证法二】取 AB的中点N,连结MN,则AD |+| BC |)=2(| AF |+| BF |)=5 AB |, . | MN |= | AN |=|BN |. .ABM为直角三角形，AB为斜边,故/AMB = RtZ .【证法三】由已知得 C(-2, y2)、D(-p,yi),由此得M(-p,y1+y22 ).y1 + y2y 2Kam =y1 y2p(y1 y2)X1 + ppKam , Kbm =y12 y1 2p2+p- y2+p2/ 3 p(y1- y1y2+p22卫y'同理Kbm = »y2 BMXAE,即/y2yiy2上=-12-p2AMB=

6、RtZ .【证法四】由已知得 C(-2, y2)、D( p, y1),由此得M (-p y+y22'2 ).，帝A =(x1+p y1 2 y2),蔬=(x3+p,y2 y12 )DMORC图4. 赢踊=(X1 + 2)(x2+p) +(y1 y2)(y2y1)p= X1X2 +，X1 + X2) +p2 (y1 y2)211十172 2- p "2十2八-py- 2/kp 2十4p2 yi + y2 2yiy2 一44=p_蜂=*二E2222MA，Kb ,故/ AMB= RtZ .【证法五】由下面证得/ DFC = 90 ,连结FM ,则FM = DM .又 AD=AF,故

7、 ADMA AFM ,如图 4./ 1 = / 2,同理/ 3=/ 4，一，12+Z 3 = 2* 180 =90AMB= RtZ.接着证明：/DFC=Rt/【证法一】如图 5,由于| AD |= | AF |, AD / RF, 故可设/ AFD = / ADF = / DFR =, 同理，设/ BFC=Z BCF = Z CFR=,而/AFD + / DFR + Z BFC+Z CFR= 180 .2( + )= 180，即 + =90 ,故/ DFC = 90【证法二】取CD的中点M,即M(-2,%H)由前知kAM=D, y1kcF =一 y2y2_ p p y1l kAM = kcF,

8、 AM/CF,同理， BM / DF ./ DFC =Z AMB = 90 .【证法三】. "Df =(p, y1)，-Cf =(p,一玲,DF , CF =p2+y1y2 = 0图6"Df 1-CF ,故/ DFC = 90 .【证法四】由于| RF F= p2= y1y2= | DR | | RC |,即| RF 114，且/ DRF = Z FRC = 90 | RC 1ADRFA FRC，/DFR = / RCF,而/ RCF+Z RFC = 90 ./ DFR + Z RFC =90 ./ DFC = 904. C' A、C' B是抛物线的切线2【

9、证法一】: kAM = p, AM的直线方程为y-y1 = (x-y1)图8y1yr 2p，与抛物线方程y2=2px联立消去x得y丫1=£，yp),整理得 y22yiy+y2=0可见= (2yi)24y2 = 0,故直线AM与抛物线y2=2px相切，同理BM也是抛物线的切线，如图 8.【证法二】由抛物线方程y2=2px,两边对x求导，(y2)x= (2px)x,得2y-yx=2p, yx = p,故抛物线y2= 2px在点A(xi, yi)处的切线的斜率为 k切=丫*| y “一艮 =yi 一 .yi又kAM = y",，ks=kAM,即AM是抛物线在点 A处的切线，同理

10、BM也是抛物线的 切线.【证法三】:过点 A(Xi, yi)的切线方程为yiy=p(x+xi),把M(-2, y1 ； y2)代入左边=yi -2 ,yi+ y2 y+ yiy2 2pxi 2=2=2p2=pxi-pf2，A的切线经过点M ,图9右边=p(2+x1)=J2+pxi,左边=右边，可见，过点即AM是抛物线的切线，同理 BM也是抛物线的切线.5. C'A、C'B分别是/ A'AB和/ B'BA的平分线. 【证法一】延长AM交BC的延长线于E,如图9,贝ADMA ECM，有 AD / BC, AB= BE, ./ DAM = Z AEB = Z BAM

11、,即AM平分/ DAB,同理 BM平分/ CBA.【证法二】由图 9可知只须证明直线 AB的倾斜角是直线AM的倾斜角的2倍即可，即=2且 M( %2yi + y22 ).tan =kAB=J =Ar =且X2 xiy2 y1 yi + y2p 2Ptanyi+ y2xi + 2yi y2p(yi y2)y2 y2+ p22 - -+P2Pp(yi -谭)=py2 + p2 yi.2tanyi2pyi2pyi2P .-tan 2 =i=K=yft2=y2=yfy2=tan i ()vyr=2，即AM平分/ DAB,同理 BM平分/ CBA.6. AC'、A'F、y轴三线共点，BC

12、'、B'F、y轴三线共点【证法一】如图i0,设AM与DF相交于点Gi,由以上证明知| AD |=| AF |, AM平分/ DAF,故AGi也是DF边上的中线,，Gi是DF的中点.设AD与y轴交于点Di, DF与y轴相交于点G2,易知，| DDi |= | OF |, DDi/ OF,故4 DDiG2A FOG2| DG2 |=| FG2 |,则 G2也是 DF 的中点.，Gi与G2重合（设为点 G）,则AM、DF、y轴三 线共点，同理BM、CF、y轴也三线共点. 2【证法二】am的直线方程为y-yi=p（x-2yp）,令x=0得AM与y轴交于点Gi（0,号），又DF的直线方程

13、为丫一 ；（x2）,令x = 0得DF与y轴交于点G2（0,1）.AM、DF与y轴的相交同一点 G（0,2），则AM、DF、y轴三线共点，同理BM、CF、y轴也三线共点 H.由以上证明还可以得四边形MHFG是矩形.7. A、O、B'三点共线，B、O、A'三点共线.【证法一】如图11, koA=yi上一空-2 一 ,xiyiyi2pkOC=p22y22py2P22py22 Pyiy2 yikoA = koc,则A、O、C三点共线,同理D、O、B三点也共线.【证法二】设 AC与x轴交于点 O，: AD / RF/ BC.| RO |_| CO |_| BF | | OF |_ |

14、CB |'| AD| CA| AB| AFr| AB |'又| AD |=| AF |, | BC |=| BF |,|RO_LJ|OJ1_| RO | = | O F |,则 O 与 O 重合，即 C、O、A三点共线，同理D、O、B三点也共线.【证法三】设 AC与x轴交于点O , RF / BC,!_O_u=g | CB | | AB r| CB | | AF | | BF | | AF | AB | AF |十|BF |i i i =2【见证】 由"|十讲|.O与O重合，则即C、O、A三点共线，同理 D、O、B三点也共线.叱十&=02 2p【证法四】= O

15、C = (2, y2), OA=(xi, yi),ppyipyi yiy2yi2 yi - xi y2=_ 2 yi _ 2p y2 = _ 2 _ 2p =OC /OA,且都以O为端点A、O、C三点共线，同理 B、O、D三点共线.【推广】过定点P(m,0)的直线与抛物线y2=2px(p>0)相交于点A、B,过A、B两点分别作直线l: x=m的垂线，垂足分别为 M、N,则A、O、N三点共线，B、O、M 三点也共线，如下图：8. 若| AF|:| BF|=m：n,点A在第一象限，为直线AB的倾斜角.则cos=m；m+ n【证明】如图14,过A、B分别作准线l的垂线，垂足分别为 D, C,过

16、B作BEXAD于 E,设 | AF |=mt, | AF |=nt,则| AD |=| AF |, | BC |=| BF |, | AE |= | AD |-| BC | = (mn)t. A ,| AE | (m n)t m n在 RtAABE 中，cos/ BAE = J|= 3-| AB | (m+ n)t m+ n/da匚 m-n . cos = cos/ BAE=.m+ n【例6】设经过抛物线 y2=2px的焦点F的直线与抛物线相交于两点A、B,且| AF |: | BF |=3: 1,则直线AB的倾斜角的大小为【答案】60或120 .9. 以AF为直径的圆与y轴相切，以BF为直径的圆与y轴相切；以AB为直径的圆与准线相切；A' B'为直径的圆与焦点弦 AB相切.【说明】如图15,设E是AF的中点,Xi则E的坐标为（一2一,则点E到y轴的距离为故以AF为直径的圆与y轴相切,同理以BF为直径的圆与y轴相切.N,则【说明】如图15,设M是AB的中点，作 MN，准线l于I MN |=2(| AD |+| BC |)=1(| AF |+|