第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第7课时 正弦定理和余弦定理

1、第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第7课时正弦定理和余弦定理考情分析考点新知正余弦定理及三角形面积公式掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.1. (必修5P10习题1.1第1(2)题改编)在ABC中，若A60°，B45°，BC3，则AC_答案：2解析：在ABC中， AC2.2. (必修5P24复习题第1(2)题改编)在ABC中，a，b1，c2，则A_答案：60°解析：由余弦定理，得cosA， 0A， A60°.3. (必修5P17习题1.2第6题改编)在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，若a2bcosC，则此三角形一定是_三

2、角形答案：等腰解析：因为a2bcosC，所以由余弦定理得a2b·，整理得b2c2，故此三角形一定是等腰三角形4. (必修5P17习题6改编)已知ABC的三边长分别为a、b、c，且a2b2c2ab，则C_答案：60°解析：cosC. 0°C180°， C60°.5. (必修5P11习题1.1第6(1)题改编)在ABC中，a3，b2，cosC，则ABC的面积为_答案：4解析： cosC， sinC， SABCabsinC×3×2×4.1. 正弦定理：2R(其中R为ABC外接圆的半径)2. 余弦定理a2b2c22bcco

3、sA，b2a2c22accosB；c2a2b22abcosC或cosA，cosB，cosC.3. 三角形中的常见结论(1) ABC.(2) 在三角形中大边对大角，大角对大边：A>Ba>bsinA>sinB.(3) 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边(4) ABC的面积公式 Sa·h(h表示a边上的高)； SabsinCacsinBbcsinA； Sr(abc)(r为内切圆半径)； S，其中P(abc)备课札记题型1正弦定理解三角形例1在ABC中，a，b，B45°.求角A、C和边c.解：由正弦定理，得，即， sinA. a>b， A60&#

4、176;或A120°.当A60°时，C180°45°60°75°，c；当A120°时，C180°45°120°15°，c.在ABC中，(1) 若a4，B30°，C105°，则b_(2) 若b3，c，C45°，则a_(3) 若AB，BC，C30°，则A_答案：(1) 2(2) 无解(3) 45°或135°解析：(1) 已知两角和一边只有一解，由B30°，C105°，得A45°.由正弦定理，得b2.(

5、2) 由正弦定理得sinB>1， 无解(3) 由正弦定理，得， sinA. BC>AB， A>C， A45°或135°.题型2余弦定理解三角形例2在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且.(1) 求角B的大小；(2) 若b，ac4，求ABC的面积解：(1) 由余弦定理知：cosB，cosC.将上式代入，得·，整理得a2c2b2ac. cosB. B为三角形的内角， B.(2) 将b，ac4，B代入b2a2c22accosB，得b2(ac)22ac2accosB， 13162ac， ac3. SABCacsinB.(2014·南

6、京期末)在ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知c2，C.(1) 若ABC的面积等于，求a、b；(2) 若sinCsin(BA)2sin2A，求ABC的面积解：(1) 由余弦定理及已知条件，得a2b2ab4.因为ABC的面积等于，所以absinC，得ab4.联立方程组解得a2，b2.(2) 由题意得sin(BA)sin(BA)4sinAcosA，所以sinBcosA2sinAcosA.当cosA0时，A，所以B，所以a，b.当cosA0时，得sinB2sinA，由正弦定理得b2a，联立方程组解得a，b.所以ABC的面积SabsinC.题型3三角形形状的判定例3在ABC中，a、b、

7、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，判断三角形的形状解：已知等式可化为a2sin(AB)sin(AB)b2sin(AB)sin(AB)， 2a2cosAsinB2b2cosBsinA.由正弦定理得sin2AcosAsinBsin2BcosBsinA， sinAsinB(sinAcosAsinBcosB)0， sin2Asin2B.由0<2A<2，0<2B<2得2A2B或2A2B，即ABC为等腰或直角三角形已知ABC中，试判断ABC的形状解：由已知，得， .由正弦定理知， . sinCcosCsinBcosB，即s

8、in2Csin2B，因为B、C均为ABC的内角所以2C2B或2C2B180°，所以BC或BC90°，故三角形为等腰或直角三角形题型4正弦定理、余弦定理的综合应用例4在ABC中，A、B、C所对的边分别是a、b、c，且bcosB是acosC、ccosA的等差中项(1) 求B的大小；(2) 若ac，b2，求ABC的面积解：(1) 由题意，得acosCccosA2bcosB.由正弦定理，得sinAcosCcosAsinC2sinBcosB，即sin(AC)2sinBcosB. ACB，0B， sin(AC)sinB0. cosB， B.(2) 由B，得，即， ac2. SABCac

9、sinB.已知a、b、c分别为ABC三个内角A、B、C的对边，acosCasinCbc0.(1) 求A；(2) 若a2，ABC的面积为，求b、c.解：(1) 由acosCasinCbc0及正弦定理得sinAcosCsinAsinCsinBsinC0.因为BAC，所以sinAsinCcosAsinCsinC0.由于sinC0，所以sin.又0<A<，故A.(2) ABC的面积SbcsinA，故bc4.而a2b2c22bccosA，故b2c28.解得bc2.1. (2013·安徽)设ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，若bc2a，3sinA5sinB，则角C_答

10、案：解析：根据正弦定理，3sinA5sinB可化为3a5b，又bc2a，解得b，c.令a5t(t>0)，则b3t，c7t，在ABC中，由余弦定理得cosC，所以C.2. (2013·贵州)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b2，B，C，则ABC的面积为_答案：1解析： b2，B，C， 由正弦定理得，解得c2.又A(BC)，SABCbcsinA×2×2×1.3. (2013·盐城期末)在ABC中，若9cos2A4cos2B5，则_答案：解析：由9cos2A4cos2B5，得9(12sin2A)54(12sin2B)，得9si

11、n2A4sin2B，即3sinA2sinB.由正弦定理得.4. 已知ABC中，B45°，AC4，则ABC面积的最大值为_答案：44解析：AC2AB2BC22AB·BC·cos45°，即16c2a22ac·cos45°，则有2ac2ac·cos45°16，即ac8(2)Smaxacsin45°×8(2)44.1. (2014·南通一模)在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且c3bcosA，tanC.(1) 求tanB的值；(2) 若c2，求ABC的面积解：(1) 由正弦定理

12、，得sinC3sinBcosA，即sin(AB)3sinBcosA.所以sinAcosBcosAsinB3sinBcosA.从而sinAcosB4sinBcosA.因为cosAcosB0，所以4.又tanCtan(AB)，由(1)知，解得tanB.(2) 由(1)，得sinA，sinB，sinC.由正弦定理，得a.所以ABC的面积为acsinB××2×.2. (2014·苏州期末)在ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，且acosCcb.(1) 求角A的大小；(2) 若a，b4，求边c的大小解：(1) 用正弦定理，由acosCcb，得sinAc

13、osCsinCsinB. sinBsin(AC)sinAcosCcosAsinC， sinCcosAsinC. sinC0， cosA. 0<A<， A.(2) 用余弦定理，得a2b2c22bccosA. a，b4， 1516c22×4×c×.即c24c10.则c2±.3. 在ABC中，A、B、C所对的边长分别是a、b、c.(1) 若c2，C，且ABC的面积为，求a、b的值；(2) 若sinCsin(BA)sin2A，试判断ABC的形状解：(1) c2，C， 由余弦定理c2a2b22abcosC，得a2b2ab4.又ABC的面积为， absi

14、nC，即ab4.联立方程组解得a2，b2.(2) 由sinCsin(BA)sin2A，得sin(AB)sin(BA)2sinAcosA，即2sinBcosA2sinAcosA， cosA·(sinAsinB)0， cosA0或sinAsinB0.当cosA0时， 0A， A，ABC为直角三角形；当sinAsinB0时，得sinBsinA，由正弦定理得ab，即ABC为等腰三角形 ABC为等腰三角形或直角三角形4. 在ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a1，b2，cosC.求：(1) ABC的周长；(2) cos(AC)的值解：(1) 因为c2a2b22abcosC144×4.所以c2.所以ABC的周长为abc1225.(2) 因为cosC，所以sinC.所以sinA.因为ac，所以AC，故A为锐角，所以cosA.所以cos(AC)cosAcosCsinAsinC××.1. (1) 已知