（人教B版必修5）2.2.2等差数列的前n项和（2）学案（含答案）

1、2.2.2等差数列的前n项和(二)自主学习 知识梳理1前n项和Sn与an之间的关系对任意数列an，Sn是前n项和，Sn与an的关系可以表示为an2等差数列前n项和公式Sn_.3等差数列前n项和的最值(1)在等差数列an中当a1>0，d<0时，Sn有_值，使Sn取到最值的n可由不等式组_确定；当a1<0，d>0时，Sn有_值，使Sn取到最值的n可由不等式组_确定(2)因为Snn2n，若d0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有_值；当d<0时，Sn有_值；且n取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值4一个有用的结论若Snan2bn，则数列an是等差数列反之亦

2、然 自主探究在等差数列an中，an2n14，试用两种方法求该数列前n项和Sn的最值对点讲练知识点一已知前n项和Sn，求an例1已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2n23n，求通项公式an.总结已知前n项和Sn求通项an，先由n1时，a1S1求得a1，再由n2时，anSnSn1求an，最后验证a1是否符合an，若符合则统一用一个解析式表示变式训练1已知数列an的前n项和Sn3nb，求an.1 / 8知识点二等差数列前n项和最值问题例2在等差数列an中，a125，S17S9，求Sn的最大值总结在等差数列中，求Sn的最大(小)值，其思路是找出某一项，使这项及它前面的项皆取正(负)值或零，而它后面的

3、各项皆取负(正)值，则从第1项起到该项的各项的和为最大(小)由于Sn为关于n的二次函数，也可借助二次函数的图象或性质求解变式训练2等差数列an中，a1<0，S9S12，该数列前多少项的和最小？知识点三已知an为等差数列，求|an|的前n项和例3已知等差数列an中，记Sn是它的前n项和，若S216，S424，求数列|an|的前n项和Tn.总结等差数列an前n项的绝对值之和，由绝对值的意义，应首先分清这个数列的哪些项是负的，哪些项是非负的，然后再分段求出前n项的绝对值之和变式训练3数列an中，a18，a42，且满足an22an1an0 (nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)设Sn|a1

4、|a2|an|，求Sn.1公式anSnSn1并非对所有的nN*都成立，而只对n2的正整数才成立由Sn求通项公式anf(n)时，要分n1和n2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示2求等差数列前n项和的最值(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意nN*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观(2)通项法：当a1>0，d<0，时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，时，Sn取得最小值3求等差数列an前n项的绝对值之和，关键是找到数列an的正负项的分界点. 课时作业一、选择题1设数列an是等

5、差数列，且a28，a155，Sn是数列an的前n项和，则()AS9<S10 BS9S10CS11<S10 DS11S102已知数列an的前n项和Snn29n，第k项满足5<ak<8，则k为()A9 B8 C7 D63设Sn是等差数列an的前n项和，若，则等于()A. B. C. D.4数列an的前n项和Sn3n2n2 (nN*)，则当n2时，下列不等式成立的是()ASn>na1>nanBSn>nan>na1Cna1>Sn>nanDnan>Sn>na1 5设an是等差数列，Sn是其前n项和，且S5<S6，S6S7>

6、;S8，则下列结论错误的是()Ad<0Ba70CS9>S5DS6与S7均为Sn的最大值二、填空题6数列an的前n项和为Sn，且Snn2n(nN*)，则通项an_.7等差数列an中，|a3|a9|，公差d<0，则使前n项和Sn取得最大值的自然数n是_8在等差数列an中，已知前三项和为15，最后三项和为78，所有项和为155，则项数n_.三、解答题9已知f(x)x22(n1)xn25n7.(1)设f(x)的图象的顶点的纵坐标构成数列an，求证：an为等差数列；(2)设f(x)的图象的顶点到x轴的距离构成bn，求bn的前n项和10设等差数列an的前n项和为Sn，已知a312，且S1

7、2>0，S13<0.(1)求公差d的范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由22.2等差数列的前n项和(二)知识梳理1S1SnSn12.na1d3(1)最大最小(2)最小最大自主探究解方法一an2n14，a112，d2.a1<a2<<a6<a70<a8<a9<.当n6或n7时，Sn取到最小值易求S742，Sn最小，(Sn)min42.方法二an2n14，a112.Snn213n2.当n6或n7时，Sn最小，且(Sn)min42.对点讲练例1解当n1时，a1S11，当n2时，anSnSn14n5.又a11，适合an4n5，an4n5 (nN*

8、)变式训练1解当n1时，a1S13b.n2时，anSnSn12·3n1因此，当b1时，a12适合an2·3n1，an2·3n1.当b1时，a13b不适合an2·3n1，an.综上可知，当b1时，an2·3n1；当b1时，an.例2解方法一利用前n项和公式和二次函数性质由S17S9，得25×17×(171)d25×9×(91)d，解得d2，所以Sn25n(n1)(2)(n13)2169，由二次函数性质可知，当n13时，Sn有最大值169.方法二先求出d2，因为a125>0，由得所以当n13时，Sn有最

9、大值S1325×13×(2)169.因此Sn的最大值为169.方法三由S17S9，得a10a11a170，而a10a17a11a16a12a15a13a14，故a13a140.由方法一知d2<0，又因为a1>0，所以a13>0，a14<0，故当n13时，Sn有最大值S1325×13×(2)169.因此Sn的最大值为169.变式训练2解方法一由S9S12，得da1，由，得，解得10n11.当n为10或11时，Sn取最小值，该数列前10项或前11项的和最小方法二由S9S12，得da1，由Snna1dn2n，得Sn·n2

10、83;n2a1 (a1<0)，由二次函数性质可知n10.5时，Sn最小但nN*，故n10或11时Sn取得最小值例3解由S216，S424，得即解得所以等差数列an的通项公式为an112n (nN*)(1)当n5时，Tn|a1|a2|an|a1a2anSnn210n.(2)当n6时，Tn|a1|a2|an|a1a2a5a6a7an2S5Sn2×(5210×5)(n210n)n210n50，故Tn变式训练3解(1)an22an1an0.an2an1an1ana2a1.an是等差数列且a18，a42，d2，ana1(n1)d102n.(2)an102n，令an0，得n5.当

11、n>5时，an<0；当n5时，an0；当n<5时，an>0.当n>5时，Sn|a1|a2|an|a1a2a5(a6a7an)T5(TnT5)2T5Tn2×(9×525)9nn2n29n40，当n5时，Sn|a1|a2|an|a1a2anTn9nn2.Sn.课时作业1B由已知得d1，a19，a10a19d0，S10S9a10S9.2B由an，an2n10.由5<2k10<8，得：7.5<k<9，k8.3A方法一a12d，.方法二由，得S63S3.S3，S6S3，S9S6，S12S9仍然是等差数列，公差为(S6S3)S3S3

12、，从而S9S6S32S33S3S96S3，S12S9S33S34S3S1210S3，所以.4C由an，解得an54n.a154×11，na1n，nan5n4n2，na1Snn(3n2n2)2n22n2n(n1)>0.Snnan3n2n2(5n4n2)2n22n>0.na1>Sn>nan.5C由S5<S6，得a6S6S5>0.又S6S7a70.由S7>S8a8<0，因此，S9S5a6a7a8a92(a7a8)<0.62n275或6解析d<0，|a3|a9|，a3>0，a9<0且a3a90，a60，a1>a2>>a5>0，a60,0>a7>a8>.当n5或6时，Sn取到最大值810解析由已知，a1a2a315，anan1an278，两式相加，得(a1an)(a2an1)(a3an2)93，即a1an31.由Sn155，得n10.9(1)证明f(x)x(n1)23n8，an3n8，an1an3，an为等差数列(2)解bn|3n8|.当1n2时，bn83n，