某企业主要生产一种手工产品产销问题数学模型

1、一、问题重述产销问题某企业主要生产一种手工产品，在现有的营销策略下，年初对上半年6个月的产品需 求预测如表1所示。表1.产品需求预测估计值（件）月份1月2月3月4月5月6月1300预计需求量100011001150130014001月初工人数为10人，工人每月工作21天，每天工作8小时，按规定，工人每个月加 班时间不得超过10个小时。1月初的库存量为200台。产品的销售价格为240元/件。该产 品的销售特点是，如果当月的需求不能得到满足，顾客愿意等待该需求在后续的某个月内得 到满足，但公司需要对产品的价格进行打折，可以用缺货损失来表示。6月末的库存为0（不 允许缺货）。各种成本费用如表2所示。

2、表2.产品各项成本费用原材料成本 * 库存成本缺货损失1外包成本培训费用100元/件10元/件/月20元/件/月200元/件50元/人解聘费用产品加工时间工人正常工资工人加班工资1100元/人11.6小时/件L .12元/小时/人18元/小时/人（1）若你是公司决策人员，请建立数学模型并制定出一个成本最低、利润最大的最优产销方案;（2）公司销售部门预测：在计划期内的某个月进行降价促销，当产品价格卜降为220 元/件时，则接下来的两个月中6%的需求会提前到促销月发生。试就一月份（淡季）促销和 四月份（旺季）促销两种方案以及不促销最优方案（1）进行对比分析，进而选取最优的产 销规划方案。二、问题分

3、析这是一个关于企业产销的非线性规划问题，我们可以结合该题目给出的条件和变量，综 合考虑各个变最之间的关系，列出目标函数，将该题目转化为一个数学方面的问题进行定量 的分析和讨论。在充分理解题意的基础上，针对题目中的数据和具体要求，以运筹学知识为 基础，建议了一个针对多变量求解目标函数最大利润的非线性规划模型。对于这个关于产销的定量分析问题，我们结合相关数据，可以构造出一个在一定合理性 假设的情况卜能很好的反应各因素对利润影响的函数关系式，则应用Imgo软件对该问题进 行相关的分析及求解。三、符号说明Max：可获得最大利润m:：最小总成本f0： 6个月总非人力成本r0： 6个月人力总成本/：第n个

4、月非人力成本rn:第n个月人力成本儿：第n个月实际发货量IV,：第n个月的外包量p该企业在第n个月的生产量/,：第n个月的缺货量5n：第n个月的库存量x；f：第11个月的工作人数。“：第11个月的招聘人数：第11个月的解雇人数第n个月的加班时间（单位：小时）四、模型假设1、不考虑手工产品的售价、预计需求以及各种成本因索（如：员工的工资、培训成本、 解雇费、库存费、缺货损失、外包费用等闪索）会随市场供需或其他因素的影响而 出现相应波动。2、对产量做离散处理，即认为生产值在月底一次性产生，当月的产品不产生库存费。3、为简单起见，咐于招聘人员做出规定，对重要招聘同一人时产生的培训费也要重新 加入计算

5、，即可认为各个月的招聘人和解聘人之间是相互无关的变量，各自独立。 且在月初招聘人员和解聘人员，培训时间不影响员工正常的工作和加班时间。4、从实际出发，对缺货量和库存量作出以卜.规定，规定上月的库存量说先满足本月的 需求，本月的生产首先满足前一个月的缺货，这样库存和缺货的成本可以当做不会 因时间上的长短而受到影响。五、模型的建立1、用图示分析各变量之间关系2、对该题目中的外包因素做出相应的预测性分析。考虑到在该问题中外包成本为200 元/件，该成本相对来说过高，于是我们对该成本因素灼利润的作用产生怀疑，分析 得知，计算以工人方式生产模式生产一件产品的最大产品成本价为：工人生产一件产品最大成本=原

6、料成本+缺货损失+生产一件产品的人力花费针对这个问题，我们要得到工人生产该产品的最高成本，故按照可能的最大成本进 行计算，缺货同库存不可能同时发生，由于缺货损失大于库存费用，取缺货损失计 算：生产一件产品的人力花费计算中：认为该工人在月初被招聘月末解雇（即加 入培训费和解雇费）总的月工作时间为正常工作时间，不考虑加班时间。（计入 加班时间会使工人生产更多的产品从而降低生产一件产品时的培训和解雇的成本） 工资按加班时的工资来算。可得以下算式：工人生产一件产品最大成本=100+20+ （50+100） X1.6+ （21X8） +18X1.6=150 （单位：元）由以上分析可知，外包成本远远大于该

7、企业自己生产的成本，故预计外包不会产生, 但由于眶目要求6月份的缺货为零，考虑到由于生产能力有限而引起的最终的缺 货，我们在求解时也加入了外包成本进行求解。3、产销模型的建立问题一：目标函数及其子函数的建立目标函数为：Max=7250X240-m即最大利润减去最小成本，由于每月的预计值已经固定不变，并且题目要求六月份 的缺货量为零，故6个月销田的产品个数总和是固定的7250件，售价不变，其销售 总金额也不变，所以该问题转化为求解成本最小的问题。又有m=%6人=£入6个月非人力成本等于各个月非人力成本之和/|«14 = t心6个月人力成本等于各个月人力成本之和/1=1根据变最

8、之间的关系分析人力成本故可列出算式：人力成本正常工人工资+当月招聘人员的培训费+当月解雇人员的遣散费+加班 费rt=xn X21X8X12+J, X100+«M X504- 7 X18 （其中 lWnW6）对于某个月的员工人数等于本来就有的员工人数，加上本月的新聘人数或者减去本 月的解聘人数，可列出算式：员工人数=已有员工+新聘员工一解雇员工Xi=10+ a一人+ %-4（2<n<6）根据变量之间的关系分析非人力成本可以列出下面同非人力成本有关的算式：非人力成本=当月生产成本+当月库存费用+上月缺货费用+本月外包成本£ 100X a +10X S、+200X %

9、/=100X p“ +10X sn +20X /“t +200X 卬“（其中 2WnW6）（6）该企业每月的生产量可以根据总的工作时间同生产效率得出，可列出算式：某月生产量=（员工人数X工作天数X每天工作时间+加班时间）+生产一件产品所 需时间p（X“ X8X21+ Jn） 4-1.6 （其中 1W11W6）该企业每月的库存量等于本来就有的库存量加上本月的生产量和外包量减去本月 的实际销售量可列出算式：某月库存量=已有库存+本月生产量+本月外包量一本月实际发货量*=200+ P + /一4sst + P + % 一儿（2W6）该企业每月的缺货量等于本月的预期需求量加上上个月的缺货量减去本月的实

10、际 销售量可列出算式：某月缺货量本月预期需求量+已有缺货量一本月实际发货量/=100。一九L =iioo+ /,一力，/. =1150+ h./4 =1300+ /3 h4Z5=1400+ /4 h5/6-13004- /5 h6根据题意该企业的6个月销件产品的总量不变，所以实际销辔量总和为7250,儿 + h2 + 力 3 + hj + h5 + h6 =7250而6个月的生产量和外包量的总和是不变的，所以66$>” +£% +200=7250 /r»ln«l该模型的约束条件为：所有变量都为非负的数，井旦人数、手工产品件数必须为整数。最后一个月的缺货量（为

11、零。缺货同库存不可能同时发生。问题二：考虑第一种方案：淡季促销，即一月份促销，二月份同三月份的预计需求后的6% 将会提前到一月份，所以根据题目提供的数据，经计算可列表淡季促销时各个月的预期需求量：月份1月2月3月4月5月6月预计需1 求量113510341081130014001300只需对不促销时的方案（即问题一）的方程做出适当的改变，将1月至3月的预计需求量按照上表作出相应的改变分别变为1135、1034、1081。对于促销当月销售价格调整为220元 每件，则将该损失加入到非人力成本中。由以上分析可以得出修改后的相关算式：，i=U35儿'T034+L 加/.=1081 + /, h.4 =13004-13 h4/5=1400+/4 h5/6-13OO+/5 /l66=100。P1+10X '+200X 吗+20九其他变量关系式不变。考虑第二种方案：旺季促销，即四月份促销，五月份同六月份的预计需求量的6%将会提前 到四月份，所以根据题目提供的数据，经计算可列表旺季促销时各个月的预期需求量：月份11月2月3月4月5月6月预计需求量100011001150146213161222同样只需对不施丽而于案（即问题一）而标破由适当的改变，将4月至6月初领5系录 量按照上表作出相应的改变分别变为1462、1316、1222。对于促销当