平面向量典型题型大全完美

1、高中数学讲义平面向童題型1.基本概念罚斷正误：1 iiQ*aMbt >饰uhl的区划匍iMtjnirmw耒空注tVftttASIftJiWmiA向可以平山OA（1RB “2）则把1砒I丽接向（-13>的佝 ?7： S,o»（2）9M：长腹为o的向加凹巧何応记作：0亡 #向的方剛任仙：3）«ttM K仪为个单心长度的AliW做甲皿曲（与儿线的单位向規2j：4）ffiVM KttflllLA&JHIInJ的为个刈虽叫刨弩向ht相尊向 平行向（也叫共II剛）：|相同或柿 ；、b»ltt平行iMlt记化 Hffli： -宀；用丄 但共线向不 定相？丄刈

2、卜剛»平行与簽立枚千行是不同的瀚个mt pi个平打包含苒个剑炖但两条玄线半行不包茂脚 杀a线咆合： 早行向无传进性！（凶为行0九©三0 a b、c共线u>雨、疋 nn： UM：长度釧符力向ib反的向”1傲栢反向；的相反向是一二9 FR*S：（1若卜卜怦則L ：2U«j个向量相等的充技汕2俞I件5 J（3）若苕SC 则2 足平行刃说形）廿2 ftffTN边形则忑EEhSMVH.U. Hiji-c . <«> na/Ab>/c . H|i/c .的於绦习1. 下畀命正的有（I） M线向滅足在耳*ft«上的向<2）I；诵

3、个向不«1.则它们的修点不虑（3）勺己如向共线的以位Attti*的.（4）1； AB=CDW|A. BC、DW点构做平行四边彤.<5）标竽而上的x轴.y轴是角量（«）郴等向一宅足共线向個典线何不£Mt<7）?；订与&共线.b 4共线.则丄与;共线.（8）Ti：ma =nb W|a =b （9）7 im =na fe'Jm= n <10> 4b不共线与EfiS不足母向< 11） Z a b =a| |b|. U（a /b .12 ：若a 5b均为曹冬向弟|a+b'冃a-b|. Mfalb .2. 的出命越hlbl

4、S354P30】向詢长度为方向是任念的.<2)幷；b柘足載位向 HU =b(3) 础:雨”打麻相筲 JMAft. A B C DPM共线.以上命趙屮.止命H8序I；址A <1>B <2)t <1) fa (3)D (1)和(4>3 < x S vj frtl、b、i和实数林9I用卜列命1S中M*»tA ZttW!未找引用亂则=0或b = 0 B未找引用Wl=0««a=0C Z««!未找引用浸=則 未找到别用標«Jt=b 或二b D ；帶课！来找到引 用瓠M1b=c4.(制：刖7芥葺零向量ob滿

5、足匕+列=|&卜R4(B. pa<pa+b高中数学讲义高中数学讲义C p6>p+2h|D p&|va+2fr|5 陕西希15)关于平面向量 b. c .仃卜列 个釧弘若0b = a t M'Jft = c 若a=(l k) b=(-26) a /b ,则k =-3.非满足|a冃b冃a-b|则“ ba+b的夹角为60*.的序巧为(写岀所仃真命牝的耶号繼型2向量的找性运算a>lMttott：利川“ FtrlH边彤法MT进伉ffl-ffifH边册法则”只ififfl f不共线的向畏此 之外何tfi. - 4W用油形法 »AB=BC=b 那么 M1S

6、叫ttU b力和即 a-H> = AB+0C = AC :刖t的法，用“三用畛法wn iiAB=i.=bt那么疋一疋二庶由域向秋的终点描向被M向城的络凤注愈】此处械向H与被的尽点HI冋. 2<1> 化简：G +_: ；* -AD-DC-:(忑一3)-(SE-至)Kl|a4b+c| =仃若止方彤ABCD恂边K为1AB = a.BC=b.(3) ffOAQABCJK在平面内A, JRft；L|0B-|-pS4-30X|刖 ABC(4) 77 D为AABC的边BC的中吃AABC W/F平面内冇 穴PPA+BP+CP=0设I竺L儿则2的值为_|PD|（S）杆点o址人朋c的外心.H6A

7、4-6B+C30則，.ABC的内佑c为嫁习"1 tta农航向务：4.8km , V &不时北Afikui -,划|；4卜AB-AC+BC=,2.化简(AB +Kffi) 4<B0 +BC) 4M =AB-AD-DC*=:- NQ4P+W-Nff> «3. dHi|OA|-5 J OT|-3>J| AB| (ftM 大值和小值分刃AD4dJjiAC>AB*jAD 的和向 bt H 疋=亠阪KjABSd刚点 C 任红段 AB 上.HAC=AB >1AC=_BC AB=_BC6. C向卜列好式中成立的足()A|a|-|bHa-b|B |；亠冃

8、；二|c.h|+|bMi-b|D. |a|+|bH*+b|7 计(1)3(a4b)-3(a-H)=<2) 2(2a+5b-3c)-3(-2a+3b-2O =t.dftU =(«2入求焉；垂门的总位闻量的+ *9.与向Sa= (125)平抒的单位向址为()（唱嘀A Qi 肩)（騙卜冷屈）6 （存蔔或备蔔BC+BA=2BP 則(10. taffl. D、E、F少别It AAK边AB、反CA卜的巾点.则卜兀弩式中成必的冇:a fp+7m-aa;=0莎+两-乔=o丿 7）li+7）A-BE=O 丽+辰-乔=o11 （2009山东&牛）：2P址AABC所在平面内的点.高中数学讲义

9、MblS354P30a pa+pb=oB PC+PA=OC PB+PC =6 D PA+PB+rc =6高中数学讲义高中数学讲义12(05 年体)L 知卢 A(損 1). B(0.0) C(tO). iQZBAC 的平分 ffcAE »；BC ff| 交于 E tE 么TiBC =aCE兀U"簣 f ()13. (2006 年山东设Kilt* -Shfc(-X4),cc(-L 一2)片衣示向从 1.讪一2©2(J d的 仔向线廉日促相接絵构成Bl追形.刈向*4为()A (2,6)B (-X6)C. (2, -6)D (2, -4)14 12009潮南眷文处阳2两欣

10、編边长極等的玄倉三角板拼秣 绘 r AD = x+yAC»J X嗨再高中数学讲义高中数学讲义15.己幻0 . ABC 亦平面内点.D 为BC 1/1 .II20A+OB>OC-0.A. =ODB. AO=2ODc.玄=355D 2AO=OD高中数学讲义高中数学讲义題塑3平面向量基本定理 孚向的to*r fne:CH 卩面内的两个不輛么对该平面內的仟 向*4冇 且只有对实©4, 昂使贰人釘+九的性质，向1： PAPRPC屮三络虑A BC典线o/任实救a、fl ttWPaTbhXjTdl a+/J-1.9!3<i)naRb(i,D£(-h2)则,<2

11、)卜刿向蛍组中能作为竽面内所育向基底的足A ® (0t0”：«i -(-1,2)： -(5t7)C ； QR息(6t10)D. ®-Q.-S)上：(亍<3)(2UlAD,ffi 分别足 AABC 的边BC,AC 上的ADJBC 叩卵为<4) LlteAABC «|>.点 D/BC 边 l: fl CD = 2D B CD=r AB+$ AC M§T+$ 的询兄(S)""紡"标筑中0为半标KA.(滾I脚点A(3J)，玖7可，廿点C満足6C = A OA+A; OB，耳中召.4 e RIU, +4 =

12、L RIjMC的轨进练习1.下列AttftPV.翌作为平面内所些向A e, «(PX).-(1,-2) B «!-(-1,2).-(5,7)C © (3亠竝.(6J0D © 2.-3>£： ($-2 (2011 全国一 5在ABC 中.AB=c 疋=b 若点D满iliBD = 2DC* Wl AD=<5.，: G i D 7 AK 一 AB )>： ' . ' . *! 1 CD =a -bc+1bab. -bc-1bac. bc-1bad. bc+Iba4. toffl nm 、 AB/CD. IIAB=XD

13、 H 分别 ft DC fn ABd =； AD=b 试i|a fnb I J；BC fl： W高中数学讲义高中数学讲义5、/EAABC 中mD： AB 边上 .U7 AD = 2DBD = jCA+aCBJA«J4 =高中数学讲义高中数学讲义6在¥匍"角华标系中.。址生杯僚点两定点AB满足网=西=2.呦点炊p/OPaOABI+lzlpWWKM 的山 i 枳乩<A) 2近BI 2苗（C）“高中数学讲义舛立波数学做仙 hlblS3547730題型4向量的坐标运算(1) A23)A5,4) C(7J0). K AP雨疋(久gR) M!14U=_m点 P 工第三絵

14、IU的介屮分线上 dta X23)»BQ3),h|(e心osy) yeC-py). «|x+y-(3) LlMMEjA(U)的 L丿耳(3,4瓦(2,-5)FQR 小 汗丘戸戸 h H仪A(23XB(-1,5)扌忑.-3AB.则C、Df“J坐祜分别址养习1. d>f7B=(4,5)川23)则点B的坐杯圧2. <201lN(i|fe5> »YifcWWa=(3；5hb=(-Zl) «>Ja-2b = ()(A) (7,3)(B) (7.7)(C) (1,7)( 0)(1»3|3 (2012 E 彳丈3】托向戢忑=42)丈=

15、。4)列疋=A. (4,6)B (YY)C. (-2-2)D. (22)4 (2012/ 731 rlfc:BA= (23>. CA= 則BC =A. <-2；i) B Qfi) C(640) D (-6<10)5.difra=(x+2.x-3y-2)，雨刖篤求 x.y 的<ft6点.A(2.-1),B(7,S) II +3=0戍疋的空标.7.己知样彬ABCD的应点坐标分别为川一刀B(3,4)D(il)llABDCAB=2CD的峑杯题型5.求敷量积¥IAll的数IIB它钉的交紡为&典心把ttJi |a|b|ca(?fc a兀的IHt枳：或内枳或点枳).

16、记怡i>b即；6=F|F|c8& «t£t 向与任一向IMftftKft 0- SJKRSM-MCR,不和tf 向高中数学讲义:几Ikflt帜：&尊干：的協|；|与&在；匕的投的枳向厳积的性JB卜0向：6我炎角为8.则，：丄b Oa®b «0：a b 问向冲 a b =卜|卜| R =a*a =|a|，冋二: 2 lb X向时.a *b-|a|b|：为tft角HAb=O Hi.b不列向i b>O*c为箴角的必JME尢分1件,汽小盹痢时；>b<0. Ha.b不反向a b<O*r为钝角的娜*充分1件：(1

17、) /.ABC «|>. | AB|=3> | AC |=4. |BC|=5 Hl AB BC=(2) dfaa-(l)ji-(0,-l)/-akb4-a-b ：与d 的夬外为彳则h 等_(3) 己如卜|冲卜5屈一3呻_:(4) 己知是两个暮爭向吓卜»卜|a-b IWldd的火和为(5) («ix cosx> » b mx snx» , c (】 0). <1> fi x=求向、c 的(2)nx=-X= b 的*人血为; 4U 的值S4 6 I- J(M8 中：i a (b-c)«i b-a ci(2 a

18、 (b c)=(a b) c ；(a-b) =| a | -2|a| |b|+|b|2i ® »a b = 0.则 a=0«b =0, ©|ji b=cb.«a=c : ©卜卜门 竽?：(； 6ym-2a b*b1E0I的itt 1己如|匸戶刃1>>4II a tjb的夹的为旳)R (1) a b .(2a (a4b).<3)(a-b)'.(4) Qa-b) (a+3b).2 己如召=(二-6).1；=(£10)求(1)|a|Jb|. (2) a b 3 (2012dfa 向二山一D b=(2,&#

19、163; 若鼻 b = 1, Wl x =(A) 一1 (B) 一, (O |(D)l 4. <2011北京枕11)已知向捷J"的夹角为EXT.且同= 4那么；代的值为MblS354P305. /.AK+. |AB| = Z|BC| = 3iZB=6(r.H-.AB<BC =6. 设Wb > W比敢付ftW.fla -b =0.则俺 Y)(tY)的J»小備为()<A' -2 'Bl 0-2<C)1Vi m /i=l+co$(A+B). 1C =c T7 ft AABC ifj 个內匍 A.B.C lk ,/n=(苗sinAiin

20、B) ”=(cq5B,血cos A)* i B yJR壁求向的夹兔"向央介&的计算公氏C80爲：|a*b|<|；|b| HM例6(1) dtala=(A24)b =(3,2)的火殖为说伦.则2的取血范憎址(2) dfclAOFQirj 向枳为 S 11OF FQ 】 Z；<S< MiJOF,FQ的収(ft 范潮址(3) a -(cosx.sii-Ccosyxty) *；b cMfj 关系兀卜i+6卜少卜-kb|,氏忸>QJflJk(bi«i b的Jrf小ffl井求此时f応的夫的“的大小績习Id如|F|=SJb=3 a b =12 4ia ;V

21、的夬#fi2, dtaa=(73>l)>b =(-22)求 S bb 的火角.3.己知旳向|；,异足匚一.(£花)=71 |a| = 2| = 4IL航M的灿为5>ca=(m3) b =(2,-1) lab 角为钝俺.求mMffHi<2)ra »jb的夬角为仮角求m的范憎高中数学讲义6. r. It IIttftiRid(i-2b) 1 a (b-2i)丄B WJa Sb 的夬角足 CABD.7. 冋、6涌足Y-F X2*b >=-4. ILRI：2. |b 1=4.'疋灭用的余獗(H即十82009 f.庆卷課)己知：问丸卜卜6ae-o

22、) = 2则向*a与向量b的夬的t«A 6 B 4° 3° 29.(个国祐I文)讼卄爭剛 6 b.；満足；SM<a,fr>-<A)1«* B)120-(C) 60(DSO-10. 5 I匕丈9) tta庄b卜的投影为»«xM±的投形为2川M<1隔b为 AQM)Ba y)ce |)DQQir n向荻e峙不共ft"b*on<*M“一(舒b.wi向<>峙t的灭角为()的帳向fiW® 21=少 +yS H>r=x +/ 对点傅的E«： ?;a(x.).b(

23、w) wjiAB|=-7+<y：-y?» 7凶丰均为单也向仏它们3山么|：+3；|二:1 己如 |W|=3|b|=4 HGjb'的艾角为 60* 求 <1)|a-H>|. <2) |2a-3b|.2 (2C126 :. xeR .)va=(x>lXb=(l,-2)t -a 丄 b 刈恒*高中数学讲义itkfrii MblS3547730<*<C)25(D)3. <2011卜海卷5)若向亦B满足|a = l.|b| = 2fti hjb的夹角为? 那畐卜-4 iA(2.3X B(4,-3) .</?AD iUKttt.HI

24、AP|=|PB|.?5. dfcia=(2J)>7b =(k2)耍使|a+fcithh则实lit的值为6. 己知向JU=(2,1) a>b=10Ja-«)|=5l«|b| =<A» &(B) >/IU (C)5 (D)257. 己丽fcmgd.md)向nA(苗T)则戸一b的巌大伯足_8J200¥iTi诜文平面向* 9b的夬角为60：= (2,0), I b 1=1.则I+2b I(A) yf3 <B) 23<C> 4<D) 129.(金H命I W) «a b ,Hab =0.剧伍-c)(b

25、c)的赧小值为(D )(D)l“高中数学讲义高中数学讲义10 （江iS«）己知向b=Q.co5）. 呻|的戢皿为.11 (全 n) LlfalMf tf7 (si- !) >(! costf). -y<<y.< I >若<r_b或0：<ll> *1 十bl的般人«!12、讼（，云为总位向乂.II Tli. ib +ye2»x,yeR. i ee2 的氏和为? HI6Ix|的屢人ffl寻I13. C)J2,b足小位自jft.八0若向fltc满足|cf T)卜h则R的取值畑鼻A. VT.lsVTHBQhQ2C1S1D 卜

26、心题型8投影问题B在a上的授够s|B|cq58它圧 个实敦祖不 足犬t OM： d*nh>3. |b|-5 fla b-12/EA«V 卜的履为1.己知F卜吓卜工的山=斗WlMlilb在向乂； I:的检影为3.关Tab=ic lia#O冇下列儿种说法$F丄（60：b ±c ： 3）a6-c） = 06在；方向卜的投彤彎于：在；方向卜的段形:®b = ai： ©b=c其中1E确的个数E <>（A> 4 个（B） S 个（C） 2 个 <D）1 个5. 片；二（23）b=（-4t7）则；东6 I：的投話为.6、己知J&A

27、（-1. 1）. B <p）, C （一"） D T$）则向»AB6：CDZrft h的枚；題型9向:的平行与垂直向平行(共11)的充JHfr#： a/A)«>a -b «( b);-(|a |b D； «y.-y=0向的充要时：ilVoi V=0c；-H；Hi-V| 0齐兀+yy：o«9<i)r. A*i-(x»lX-(4,x) l,x-mi > r.*fcn/；i4«H(2) dtaa uq+2bi v-2a -f-b .丨 u/Av 則x=(3) 设巔Qc2)丽(4亠元(10“)则k=

28、时.AB.C共线(4) (AtlOA-C-l.OB-OrtJ K0A丄而.Hm-(5) WKiAO fOA(42)«个頂点作等義“的佝形 OAB ZB-KT. NjSBKftf(6>己知5(J>).向F«JL云11卜卜冋N云的甲W E；栋习1 己如W=(2) b=(-3lnd .半m为何仪时 <1) a/b ? (2) alb ?hlb 1835477302. (广东卷 3)已知平面向*>=(12) b =(-2,1x0. U/b . Wj2i+3b=(A(-5,-10) B. (Y-S) C叭(-2Y)3. (2011 海南卷 5)已如平面ftfi

29、ta= (1. -3>. b=(4. 一2). 4a+b 与；喉F(则2 足<) A -1 B 1C. -2 D 24. (2知；a2),B(3>3)k 为何ft»t(1)ka-rt /a-Jb “？(2ka+b ja-Sb f b? ¥荷时它们圧I训向妊也反向？5. dirX0.-2)B(22)C(14)歩证：AB.C三点共线6taStBC = >+S. CD-3(r-). A B. D三成共线.7设乙:兄两个不共找的何AB->+kr.CB-+3r,CD->-i7拧A、B、D三点共线求卜的«L2知向*“(屈一1) b=(l,)

30、 (1) 匚丄B 2)ft否(T在不为0 的实敕k 和t ffx-i+(t3-3>b, y-ka+tb fl；丄 y? 在.试碑定 k 的关系：刨宋不仔任.请说明越由10 (20E ：门设向 fta= 1 co5 'jb= -b 2coi 垂口. WJcos 2r； A B：COD-l11. Wi»(5ina) b =(co5 0,|). Ra/b .(A 30H B 60* C. 75° D 45*12. <2Uir ) CtaAWa »(5in-2) */b »aco5)K«1e(0,)<1> 求sin&am

31、p;和85& 的tfh<2>若罂,0"丐.和8则曲13、I面向|；b皈的充宴条钥<A aS方向相同B ；向中至少有 个为爭向C 34 eRb-AaD.仔任不金为*的实救人4人；+人5。14. « t+b-0- ft -i/b* 的【A 】A.允分平必心朕件D平允分義ftC.充分昼要糸件D规不充分也不必*条件15 (宁1；QM«文)己钏鼻(72),b(T0)向，“-2b砸白則实®M的(fl为<A)$<B) |(C) -ID；7766W(n.P«itt)c知刈蜀匚(3J) b-a3) c-(K2)片(；5)丄B

32、 Wk«17 (O.P«ittft) dlflAtta-(il) b-(l,3) c-(k,7) £(；-0b'则 k=18 ( 皮税)己知向*«(140(2力，為 +平行則实故*的他足A 2 B. 0C. 1D. 219、隹四边形ABCD中.7£-(1；) 丽(-42),则谟四血彤的血枳为(h j B 2卫 CS D1020、已如点O|Q0),A(ab),B|.dn；AABC为了(角三角彤，则必fj豐型10平面向量与三角形四心 西心的霞倉介绍(1)0心中线的交点：甲心林中线K度分成2： 1；<2)垂心高线的交廉$高线勺苛厳边噸M

33、<3)内心角平分统的交点内可側的M<G)：用平分线匕的仟怠点到紡斷边的片离郴舒* <4)外心中李线的交点外按阔的PK0：外心列三角彤农顶点的孙离相等.ttie 1PA+PB +K =OOP A MBC 的川:Z高中数学讲义g电心的蚓初G(±二今乜)teieiPA pb=pb rc=rc paop aaabc 的结论Stta,bc的三屡边长.OftAAK的内心aOA-Mi6R4-cOC =CoC%AABC 的内心|- :(U(2-+X*O)«V ：注：MBC的内心(兄/BAG的角平分越廉在n线卄 |AB| |AC|姑论 4p|=pB| = |0C|o 0 为

34、 AABC 的外心M 10. K JABC的边的中点分别为2. 1)< CS4h (-1. -1).则/ABC的里心的生标为讪 11： Oftffl上一定点 A、B、C 1： I 1 . .< *« P Ju OP=OA+4( AB+AC).Ae0.4co)刚点P的软述定通过厶的()A外心B内心C电心D.臺心例12：4) 0址平面上亠定点.ABC ttfB上不共红的三个点.动点P満址 一 AB AC OPOA+Ktt+tT) a e fo,-K©) «|JAP 的紈i# 定通ii AABC ifi ( B ) 阿I IACIA外心B.内心C电心D.量心

35、例13 I 0址平面上定点.A、BC足平面上不共线的三个虑.动点P需足 _adOP » 0A+A( + ) . Aela.-Kni .则点 P 的轨 ifi 圮通 ilAABCM( |AB|coB |AC|c oGA.外心B内心C.电心D.重心高中数学讲义高中数学讲义SJ9t1. dtaAABCH个頂点A、B、C及平面内 点p.満足PA+PB+PC=0杆实&2満足,AB+AC = 4AP A. 2C. 3D. 6高中数学讲义高中数学讲义2. r aabc ifi外按的冏心为ooa+ob+oc=6则）高中数学讲义A yB OC. 1D. -yJ点0在AABC內满足0入+血+贡

36、=0則MBC面WJim边形ABOC而別z比 足()A. 0 B,斗C扌D可4. ZiABU m外桜H的网心为D Z7OH=UAWB+OC WJH ttAABC ITJ (A.外心B.内心C.重心D.笔心5. Oftr«上 定点.A. B C ttfflll-.不共线的三个点.rdA* +BC' -OB：4A* -OC2+AB HjO«AABC 的()A.外心B.内心C.塑心D垂心6 MBC的外按M的IW-GO.序条边卜.的高的交点为HOH - ix(OkOBOC)則实数血二7- ：06 如USI hlL ABSAtJU * ) -5t=0 II巫 竺=| . M.A

37、ABOX )|X6| 必I应I |Afc|A 三边均不松尊的三角形B玄角三用形C.尊骏非尊边三外彩D警边三角形8 LlfeAABC 三个顶<4 B CAC+AB CB+BC CA WIAABC 枷A茅慢三角形B.三用滋C口他三角影D. BMI乌IB乂鼻宜角三角形9 4um.匚ABCD中.E,F分别兄BC,DC的申点.G为交戍? A0 = ；. AD=b .试以"b H10 I丄知 0 N P a AABC l?r /£ 7 fi 内.fl |OA|=pB| = pC|.NA+NB+NC =0 . IIPC" P4T Ft则点0NP依次址AABC的（）<

38、A）«</外心垂心 «B）电心外心内心<C）外心毫心曜心 （D）外心咽心内心则厶ABC为<B. W IIA静边三舟彩D形,十久e©8虑化时，动点P的轶进定i!AA3C的.12 >'. P.R足西 OA+1(| + 筒)13 <2009浜两税文)fl AABC申M fi BC的中穴.AM=l/( P ffi AM上II満足AP=2PM则ap(ra+rc)f高中数学讲义高中数学讲义14 tffllffllJ)A、B. C >yiSIMMthHZ>?*. jW+FB+FC»«.KGFArirerFcr

39、 (A)P(B) 6高中数学讲义题型11建系法1230文)SE竽IfBUZl杉4KD中.E "IF 分别於边CDftIBC 的中戍 J#局=人 ASfAF .其中久卩5 則久"二2.(广东卷8)住平行仙边ft； ABCD中AC与BD交十点OE是线段OD的中氣 AE的 延长线与CD殳于点F.若ICaBD=A則AF=()A扌B.寸a+£bCD £0+6S. ZAABC的必久为2J5半勻内 AM足阪西+£芒1 则o 3MA*NB =4. 己知摘个敏位向lilb的"仙r-to+(l-t>KcO.5. 己如匸方形ABCD的边长为2I UC

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