高一数学同步辅导教材(第15讲)

1、高一数学同步辅导教材（第15讲） 一、本讲速度31 数列32 等差数列二、本讲主要内容1 数列的概念，数列的通项公式，由递推公式给出数列。2 等差数列的概念和通项公式，等差中项的概念。三、学习指导1 要正确理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并会根据递推公式写出数列的前若干项。 数列是按一定顺序排列起来的一列数。它可以看作是一个序号集合到另一个数集的映射;从映射函数的观点来看，数列是一个定义域为正整数集（或它的有限子集，n）的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一系列函数值。用函数观点看待数列，有助于加深对数列概念和性质的理解。数列的数是按一定顺序排列的。

2、如果组成两个数列的数相同而顺序不同，那么它们是不同的数列，如课本上堆放钢管的实例，自上而下的每层钢管数组成数列：，。与自下而上的每层钢管数组成的数列：，。是两个不同的数列。要把数列概念与数集概念区分开来。数列中的数不但有顺序，而且并没有规定必须不同，即同一个数在数列中是可以重复出现的，常数数列甚至都是由同一个数排成的数列，如，。而数集中的数是无序的，并且是互异的。数列的通项公式就是相应函数的解析式。如果已知一个数列的通项公式，那么只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的各项。根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是一个难点。克服这个难点的关键是根据各项的特点，它与序号的关系，找出各项共同的构

3、成规律得出通项公式。并不是每个数列都是有通项公式的，如精确到，.，.，.，的不足近似值构成的数列就没有通项公式。一个数列的通项公式可以有不同的形式，如数列，的通项公式可以写成an=(-1)n，也可以写成 1 (n=2k-1,kN+)an= -1 (n=2k,kN+)它们形式不同，但实质是一样的与表示函数有列表法、图象法一样，数列也可以列表表示或用图象表示。利用列表法表示的数列，内容具体，方法简单，缺点是难以表示项数较多的数列或无穷数列。图象法表示的数列直观但不精确。数列还可以用递推公式表示。虽然递推公式是表示数列的一种重要方法，但限于学习要求，只需了解这种方法，能够根据递推公式写出数列的前若干

4、项就可以了。要正确理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念，并能用于解决一些简单的问题。课本上通过归纳三个数列的共同特点给出了等差数列的定义及公差d 的概念。对于等差数列an有an+1-an=d(n)，这就是等差数列的递推公式由an-an-1=d，an-1-an-2=d，a2-a1=d，将这 n-1个式子相加，得an-a1=(n-1)d，即 an=a1+(n-1)d，这是等差数列的通项公式。这种求通项公式的方法叫迭加法，是解决数列问题的有效方法之一。等差数列的通项公式在课本上是由定义，通过不完全归纳法得出的，这种推导过程要引起重视，它是培养观察分析，归纳总结能力的重要途径。根

5、据等差数列的定义，一个等差数列至少有三项。如果a，b成等差数列，那么叫做a,b的等差中项，且，（也叫a,b的算术平均值）。容易知道，一个等差数列中，除首末（如果有末项的话）两项外，任何一项都是相邻两项的等差中项，并且进而可知，任何一项都是前后与它等距两项的等差中项，即，（n,k，且 nk）等差数列有如下一些性质：（） 设数列an是公差为d的等差数列，那么an=am+(n-m)d (m,n)（） 设数列an是等差数列，如果m,n,k,，且 m+n=k+，那么 am+ an=ak+（） 等差数列中，序号成等差数列的项也成等差数列（） 设数列an和bn都是等差数列，那么数列an+bn（，为常数），也

6、是等差数列以上性质不难用等差数列的定义和通项公式进行证明，读者不妨一试四典型例题分析例 分别写出下列数列的一个通项公式：（）（）（）,55,555,5555,（）解题思路分析：（） 数列各项的绝对值可以分成整数，分数的分子和分母三部分,再分别考察各部分，加上变换正负号的（）n得an=(-1)n(2n-1)+（） 将这数列前项改写成，可得通项公式an=(-1)n+1（） 由于，的通项公式是10n-1所以将题中数列各项改写后，可得通项公式an=(10n-1)（） 原数列可写成： 得通项公式为an=例 数列an中，a1=1, 对所有的n都有an=n2；（） 求a3+a5；（） 是这数列中的项吗？解题

7、思路分析：据题设an-1=(n-1)2,而 （n2）由此可以求得a3+a5=，令，可以判断是这数列中的第项例 在与之间顺次插入三个数a,b,c,使这五个数成等差数列，求此数列解题思路分析：设五个数组成等差数列an，则a=-1,a5=7,利用通项公式求出公差，得数列为，也可以利用等差中项来解，第三项是第一和第五项的等差中项，第二，第四项分别是其相邻两项的等差中项，从而求得数列例 已知an=an-1+(n2),a1=1（） 写出数列的前五项；（） 由（）中的前项推测数列的通项公式并进行证明解题思路分析：前五项为观察这五项的分子，分母，猜得，由此得，代入递推公式证明上述猜想正确例 在等差数列an中（

8、） 已知a2=5,a6=17，求an（） 已知a6=5,a3+a8=5，求a5（） 已知a1+a2+a3+a4=26,a2a3=40，求a5解题思路分析： a1+d=5（） 利用等差数列通项公式有 a1+5d=17解出a1,d后得通项公式 an=3n-1；（） 利用等差数列性质，由a3+a8=a5+a6=5,得a5=0.（） 设 a1=a-3d,a2=a-d,a3=a+d,a4=a+3d, （a-3d）（a-d）（a+d）（a+3d）26则得 （a-d）（a+d）40解出a,b.得a5=14或-1.例 已知等差数列an满足a3×a7=12,a4+a6=4,求数列an的通项公式解题思路

9、分析：设公差为d ，首项为a1，可得方程组： a3×a7=(a1+2d)(a1+6d)=12 a4+a6=(a1+3d)+(a1+5d)=4解得a1,d后得通项公式an=2n12或an=2n+8例 为了测试某种金属的热膨胀性质，将这种金属的一根细棒加热，从100开始第一次量细棒长度，以后每升高50量一次，把依次量得的数据所成的数列n表示成图象，如图，根据图象回答下列问题：（1）第5次量得金属棒的长度是多少？此时金属棒的温度是多少？（2）求n的通项公式和金属棒长度（单位：m）关于温度t（单位：）的函数关系式； （3）在30的温度条件下，如果把两块这种矩形金属板平铺在一个平面上，这个平面

10、的最高温度可达到500，问铺设时两块金属板之间至少要留出多宽的空隙？ 解题思路分析： 本题是通过实验取得数据从而进行研究实际问题一个应用题。从图上不难看到第5次量得金属棒长度是2.005 m，这时温度为300。设n=dn+b，由待定系数法可得通项公式n=0.001n+2，由题意可得t=50(n-1)+100=50n+50。,代入通项公式得所求函数关系式为=0.00002t+1.999。设当t=30时,金属板在某个面上长度为m,当t=500时金属板在该个面的长度为”m,则”-=0.0094(m)。这就是至少要留出的空隙。五巩固练习（一）选择题：1如果无穷数列an的第n项与n之间的函数关系能用一个

11、公式an=f(n)来表示，则该函数的定义域为( ) （A）Z （B）N （C）N+ （D）N+的有限子集1,2,n2数列-1，6，-11，16，的一个通项公式为 （ ）（A）an= 5n-4 (B) an=-5n+4 (C) an= (-1)n×5n-4 (D) an=(-1)n(5n-4)3已知数列an的首项a1=1, 且an=2an-1+1（n2）,则a5为 ( ) （A）7 （B）15 （C）30 （D）314a,b,c都是实数，那么“2b=a+c”是“a,b,c成等差数列”的 （ ）（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件（C）充要条件 （D）既非充分又非必要条件5一个等差

12、数列的第五项a5=10，且a1+a2+a3=3，则有 （ ）（A）a1=-2,d=3 （B）a1= 2,d=-3 （C）a1= -3,d=2 （D）a1=3, d=-26在等差数列an中，am=n,an=m(m,nN+),则am+n= ( )（A）mn （B）m-n （C）m+n （D）07已知等差数列an中，a1=-5,d=7,an695,则这个等差数列至多有 ( )（A）98项 （B）99项 （C）100项 （D）101项 8已知等差数列bn中，d=-3,b7=10,则b1是 （ ）（A）-39 （B）28 （C）39 （D）329已知等差数列cn中，c10+c15=9,则c9+c16,c

13、n的值是 （ ）（A）不能确定 （B）9 （C）18 （D）10在等差数列40，37，34，中第一个负数项是 （ ）（A）第13项 （B）第14项 （C）第15项 （D）第16项（二）填空题11数列2，-4，6，-8，的一个通项公式是_。12已知数列：，则是这个数列的第_项。13数列a1=-1,an=(n2)的前四项依次是_。14等差数列an中，a15=33,a45=153,则217是这个数列的第_项。15若一个三角形的三内角成等差数列，且已知一个角为28°，则其它两角度数为_。16若an为等差数列，a2,a10是方程x2-3x-5=0的两根，则a5+a8=_。（三）解答题17求下列

14、各数列的一个通项公式：（1）（2）（3）18在矩形纸片内取n(nN+)个点，连同矩形的4个顶点共n+4个点，这n+4个点中无三点同在一直线上。以这些点作三角形的顶点，把矩形纸片剪成若干个三角形纸片，把这些纸片的个数记为an（1）求a1,a2。 （2）求数列an的递推公式；（） 根据递推公式写出数列an的前6项。19已知等差数列an中，a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求数列an的通项公式。20在等差数列an中，已知a4=70,a21=-100,（1）求首项a1与公差d，并写出通项公式；（2）an中有多少项属于区间-18，18？21已知等差数列an，求证：（1）若u+v=p+q，则au

15、+av=ap+aq； （2）若t=7n+2(nN+)，则当n依次取1，2，3，时，所得at组成的数列也是等差数列。六参考解答（一） 选择题：1C无穷数列从函数观点来看，定义域是N+。2D将n=1,2,3,4代入各通项公式，知D适合。3D逐项计算，a1=1,a2=2×1+1=3,a3=2×3+1=7,a4=2×7+1=15,a5=2×15+1=31.4C由2b=a+c得b-a=c-b，知a,b,c是等差数列；反之也真。 a1+4d=105A由 解得a1=-2,d=3。 3a1+3d=36D由am=n,an=m,得,am+n=am+nd=n-n=0.7D由-

16、5+7（n-1）695得n101.8Bb7=b1+(7-1)(-3)=10,b1=28.9Bc9+c16=c10+c15=9.10Ca1=40,d=-3,由an=40-3(n-1) 0解得n，nNn15.（二） 填空题11an=(-1)n+1·2n 各项符号正负相间，满足(-1)n+1；各项是序号 n的2倍。127 将数列写成则2=是数列中第7项。13-1，-1，-1，-1 逐项代入计算得到。1461 由a1+14d=33及a1+44d=153得d=4，a1=-23，从-23+4(n-1)=217解得n=61.1560°，92° 设三角形三个内角为x-d,x,x+

17、d,则（x-d）+x+(x+d)=180°,x-d= 28°,d=32°,x+d=92°。 163 a3+a10=3,a5+a8=a3+a10=3(三)解答题17解（1）所给数列前5项分子组成奇数数列，其通项公式为2n-1，而前5项分母所组成数列的通项公式为2×2n,所以已知数列an的通项公式为,(2)从所给数列的前5项可知，每一项分子都是1，而分母所组成的数列为3 ，8，15，24，35，可变形为1×3，2×4，3×5，4×6，5×7，其通项公式为n(n+2)；各项符号是奇数项为 负，偶数项为

18、正。因此所给数列的通项公式为an=(-1)n.(3)所给数列改写成：数列分子是1，0重复变化，且奇数项为1，偶数项为0，所以可表示为；分母通项为正整数n，所以数列的通项公式为。18解（1）a1=4,a2=6(2)因为这n+4个点中无三点共线，所以每增加1个点Ai（如图，点Ai必在某一个三角形内）剪成的三角形纸层新增3个（图中的，）但减少了原来的1个，实际增加2个，所以的递推公式是an=an-1+2(n2) 。(3) a1=4,a2=a1+2=4+2=6, a3=a2+2=6+2=8 a4=a3+2=8+2=10 a5=a4+2=10+2=12 a6=a5+2=12+2=1419解：a1+a7=

19、2a4 a1+a4+a7=3a4=15 a4=5 a2a4a6=45, a2a6=9设等差数列公差为d，则(a4-2d)(a4+2d)=9即(5-2d)(5+2d)=9 d=±2当d=2时an=a4+(n-4)d=5+(n-4)·2=2n-3当 d=-2 时，an=5+(-2)(n-4)=13-2n20解(1)由题意，得解得a1=100,d=-10所以通项公式是an=100-10(n-1)即an=-10n+110(2)由题意，得-18-10n+11018解得 12.8n9.2,nN+ 12n10.所以属于区间-18,18的共有3项,它们是a10,a11,a1221.解(1)

20、设an=a1+(n-1)d,则 au=a1+(u-1)d av=a1+(v-1)d, ap=a1+(p-1)d , aq=a1+(q-1)d +，得 au+av=2a1+(u+v-2)d+，得ap+aq=2a1+(p+q-2)du+v=p+q au+av=ap+aq(2)设at所组成的数列为，（mN+）则b1=a9,b2=a16,b3=a23,， bm-1=a7(m-1)+2,bm=a7m+2,， bm-bm-1=a7m+2-a7(m-1)+2 =a1+(7m+1)d-a1+7(m-1)+1d=7d所以是公差为 7d的等差数列。七附录例1的解（1）数列的各项的绝对值均有三部分组成，整数部分，分

21、数的分子和分母部分，整数部分是奇数数列，分子部分是正整数数列，而分母部分是比分子大1的平分数数列，所以所求的一个通项公式为 (2) 这个数列的前四项可以改写成：这4项的分母都与序号相同，分子都恰好是分母加3；又因如奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为 （3）这个数列的前4项可以写成：其中9,99,999,9999则可表示成 101-1，102-1，103-1，104-1，这里10的正整数次幂恰好与数列中项的序号相等，所以它的一个通项公式是an=(4) 原数列可以写成：分子数列恰好为奇数数列，分母数列恰好为2n-1, 故所求的一个通项公式为评注：复杂的数列常常是由一些简单的基本数列构成

22、的，求这些数列的通项公式可以转化成基本数列的求解，在分析较复杂数列的构造时，有时把所给的前几项作适当的变形，将有助于我们找到项与序号之间的对应关系。例2的解由已知a1·a2an=n2,得a1a2an-1=(n-1)2,a1=1不适合此等式，故(1)(2)设，则解方程可得n=16,16N+，是这个数列的第16项。评注：求出了数列的通项公式就可以求得数列的任何一项。本题在求通项公式时，应用了a1a2an=n2 对一切n2都成立的条件，当 n-1项时理当也成立。要说明一个数是否是数列中的某一项，只要验证这个数是否满足通项公式。例3的解方法一，设这五个数组成的等差数列为，由已知a1=-1,a

23、5=7,7=-1+（5n-1）d,解得d=2,所求数列为-1，1，3，5，7方法二，利用等差数列的性质求解。-1,a,b,c,7成等差数列，b 是-1,7的等差中项，a是-1，b 的等差中项，c是b，7的等差中项，即 所求数列为-1,1,3,5,7,例4的解 (1)a1=1,a2=1+,(2)观察a1,a2,a3,a4,a5 的分子和分母，可以看到，分母就是序号，而分子是分母两倍减1，所以通项公式猜测为an=由此可知 故猜想成立。数列的通项公式为评注：由数列的前几项写出数列的通项公式是由特殊到一般的过程，往往使用不完全归纳法，它的正确性是需要进行证明的。例5的解（1）a2=5,a6=17 解得

24、 an=a1+(n-1)d=3n-1 即 an=3n-1（2）a3+a8=a5+a6=5,a6=5,a5=0（3）a1,a2,a3,a4成等差数列，依次设为a-3d,a-d,a+d,a+3d，由题设得由知a=,代入得d=±a1,a2,a3,a4依次为2，5，8，11或11，8。5，2故a5=14或 a5=-1.评注：求等差数列中的某些项时，常常是根据题意列出方程或方程组求解；利用等差数列的性质，结合各元素之间的特殊联系，可以更简便地获得解答。例6的解解：设公差为d，首项为a1，由题意可知，a3·a7=(a1+2d)(a1+6d)=-12 a4+a6=(a1+3d)+(a1+

25、5d)=-4 由，解得 d=±2，当d=2时，a1=-4d-2=-10;当d=-2时，a1=-4d-2=6的通项公式为an=-10+(n-1)×2=2n-12或an=6+(n-1)(-2)=-2n+8评注：通过列方程组求出等差数列公差d和首项a1是现在求解等差数列问题的基本方法。例7的解（1）由图知，L5=2.005(m)此时，金属棒的温度是t=100+(5-1)·50=300（）答：第5次量得金属棒的长度是2.005m，此时金属棒的温度是300（2）设Ln=dn+b,由L1=2.001,L2=2.002得解得通项公式为Ln=0.001n+2由题意可得t=50(n

26、-1)+100=50n+50，将它代入通项公式，得L=0.00002t+1.999由上式可知，L 也是t的一次函数，不过t不限于取正整数，可以取不致失去实际意义的任何实数，求L关于t的函数关系式也可以直接设L=kt+b，用待令函数法直接求得。（3）设当t=30时金属板在某方向的长度为L1m ,当 t=500时，金属板在该方向的长度是L2 m，则有L2-L1=0.0094（m）当金属板温度从30上升到500时，每块金属板的单向伸长为，所以铺设时两块金属板之间至少留出0.0094m宽的空隙。参考答案：（一）选择题1、A 求得集合B=1，2，3，4有4个元素。2、B 值域B中元素必有原象，B中命题为

27、真。3、B a2-a+1=(a-)2+ f()f(a2-a+1) f(x)是偶函数，f(-)=f(),有f(-)f(a2-a+1)4、C 作出图象后选择。5、D y= y1，反函数的定义域为x1，再求出表达式选D。6、C f(x) 的定义域是 f-1(x)的值域0，17、B 依题意，a2-1>1,即a2>2,|a|>8、A 利用指数函数图象特性，而1.10.01>1 a<1<b9、B 解出3x=0<y<110、B 由|loga4|=loga0知0<a<1；再由|logba|=logb0,0<a<1知b>111、C 易知0<a2-1<1, 即1<a2<2,等价于1<|a|<12、C 原方程为log2x=3-