材料力学 第05章 弯曲应力

1、5.1 纯弯曲的概念纯弯曲的概念5.2 弯曲正应力弯曲正应力5.3 弯曲切应力弯曲切应力第五章第五章 弯曲应力弯曲应力2/685.1 纯弯曲的概念纯弯曲的概念3/68剪力FS是相切于横截面的内力系的合力；弯矩M是垂直于横截面的内力系的合力。剪力FS只与横截面上的切应力t 有关；弯矩M只与横截面上的正应力 s 有关。4/68AC、DB段既有剪力又有弯矩，横截面上同时存在正应力和切应力，这种情况称为横力弯曲横力弯曲CD段只有弯矩，横截面上就只有正应力而无切应力，这种情况称为纯弯曲纯弯曲。5/685.2 弯曲正应力弯曲正应力6/685.2.1 纯弯曲梁横截面上的正应力纯弯曲梁横截面上的正应力1 变形

2、几何关系7/685.2.1 纯弯曲梁横截面上的正应力纯弯曲梁横截面上的正应力1 变形几何关系8/685.2.1 纯弯曲梁横截面上的正应力纯弯曲梁横截面上的正应力1 变形几何关系变形前变形前变形后变形后9/685.2.1 纯弯曲梁横截面上的正应力纯弯曲梁横截面上的正应力1 变形几何关系10/685.2.1 纯弯曲梁横截面上的正应力纯弯曲梁横截面上的正应力1 变形几何关系11/685.2.1 纯弯曲梁横截面上的正应力纯弯曲梁横截面上的正应力1 变形几何关系从纯弯曲梁中沿轴线取dx 的微段:中性层位于OOmm 变形前长度:dd xmmmm 变形后长度:d)(ymmmm 位置的线应变:yyyddd)(

3、)(表明: 距离中性层为y的任一纵向纤维的线应变与y 成正比，与 成反比12/685.2.1 纯弯曲梁横截面上的正应力纯弯曲梁横截面上的正应力2 物理关系纵向纤维之间无正应力，每一纤维都是单向拉伸或者压缩，小变形时纯弯曲情况下可假设梁的各纵向线之间无挤压，认为梁内各梁内各点均处于单轴应力状态点均处于单轴应力状态。sEyy )(得到syEy )( 梁的材料在线弹性范围内工作，且拉、压弹性模量相同时，有13/685.2.1 纯弯曲梁横截面上的正应力纯弯曲梁横截面上的正应力2 物理关系syEy )( 这表明，直梁的横截面上的正应力沿垂直于中性轴的方向按直线规律变化。14/685.2.1 纯弯曲梁横截

4、面上的正应力纯弯曲梁横截面上的正应力3 静力关系AAyFd)(NssyEy )(AAAyEAydd)(s纯弯曲情况下有：0NFAAAyEAyF0dd)(Ns0E而15/68d0zAy AS5.2.1 纯弯曲梁横截面上的正应力纯弯曲梁横截面上的正应力3 静力关系AyAyzMd)(ssyEy )(AyzyIEAyzEMd纯弯曲情况下有：0yM横截面对 z 轴和 y 轴的惯性积惯性积 Iyz (参见附录A)等于零0E而16/68d0yzAyz AI5.2.1 纯弯曲梁横截面上的正应力纯弯曲梁横截面上的正应力3 静力关系MAyyMAd)(zsAMAyEMd2zAzIAy d2横截面对 z 轴（中性轴）

5、的惯性矩惯性矩syEy )(17/685.2.1 纯弯曲梁横截面上的正应力纯弯曲梁横截面上的正应力3 静力关系MIEz1 / 为梁轴线变形后的曲率EI 越大 1 / 越小18/681zMEI5.2.1 纯弯曲梁横截面上的正应力纯弯曲梁横截面上的正应力MIEzsyEy )( 纯弯梁横截面内正应力s 随高度 y 呈线性分布线性分布，以中性层为界，以中性层为界，一侧受拉，另一侧受压一侧受拉，另一侧受压。19/681zMEI( )zMyyIs5.2.1 纯弯曲梁横截面上的正应力纯弯曲梁横截面上的正应力 由公式可知，某一截面的最大正应力最大正应力发生在距离中性轴最远处在距离中性轴最远处。maxmaxyI

6、MzsmaxyIWzz单位 m320/68( )zMyyIsmaxzMWs5.2.1 纯弯曲梁横截面上的正应力纯弯曲梁横截面上的正应力maxyIWzz2123hbh62bhmaxyIWzz2644dd323d21/68maxzMWs5.2.2 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力 工程中实际的梁大多发生横力弯曲，横截面由于切应力的存在而发生翘曲翘曲。此外，横向力还使各纵向线之间发生挤压挤压。平面假设和纵向线之间无挤压的假设实际上都不成立。 但弹性力学的分析结果表明，受满布荷载的矩形截面简支梁，当但弹性力学的分析结果表明，受满布荷载的矩形截面简支梁，当其跨长与截面高度之比其跨长与截面高度之比 l

7、 / h大于大于5时，梁的跨中横截面上按纯弯曲理论时，梁的跨中横截面上按纯弯曲理论算得的最大正应力其误差不超过算得的最大正应力其误差不超过1%， 故在工程应用中就将纯弯曲时的正应力计算公式用于横力弯曲情况，WxMIyxMz)( ,)(maxss强度条件 ssWMmaxmax22/685.2.2 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力 对于变截面梁，最大弯曲正应力并不一定出现在弯矩最大的横截面上，其大小应为: 弯矩最大的截面并不一定是危险截面。 梁的最大正应力不仅和弯矩 M 有关，而且和截面的形状尺寸(几何性质)有关。23/68maxmaxzM yIs【例例5-1】 如图所示简支梁由56a号工字钢

8、制成，其截面简化后尺寸如图，F = 150 kN。求梁危险截面上的最大正应力smax和同一截面上翼缘与腹板交界处点 a 的正应力sa。24/68【例例5-1】解解(1) 作梁的弯矩图F = 150 kNmkN375m105m5mkN150maxM(2) 截面几何性质查型钢表(附录D) 56a工字钢:43cm60065cm3402zIW25/68【例例5-1】解解(3) 危险截面最大正应力WMmaxmaxsMPa160mm103402mmN10375336(4) 危险截面处点a的正应力zaaIyMmaxsMPa148mm1060065mm212560mmmmN1037544626/68【例例5-

9、1】讨论讨论MPa148 MPa1602m56. 0m021. 02m56. 0maxmaxssyyaa 点a处的正应力sa亦可根据直梁横截面上的正应力在与中性轴z 垂直的方向按直线变化的规律，利用已求得的该横截面上的smax=160 MPa来计算：27/68【例例5-1】讨论讨论显然，梁的自重引起的最大正应力仅为 而危险截面上的最大正应力变为MPa7 .165Pa107 .165m102342mN103886363maxsMPa7 . 5MPa1607 .165远小于外加荷载 F 所引起的最大正应力。mkN388mkN13mkN375842maxqlFlM 如果考虑梁的自重( q=1.041

10、 kN/m )则危险截面未变，但相应的最大弯矩值变为28/68【例例5-2】 如图所示圆轴AD，在BC段受均布载荷作用。 已知 q = 1kN/m，AB段直径 d1 = 280mm，BC段直径d2 = 320mm，轴的许用应力 s = 140MPa，试校核该轴的强度。29/68【例例5-2】解解(1) 计算简图(2) 求约束力并画弯矩图(略)mkN455maxMmkN210BM30/68【例例5-2】解解(3) 跨中危险截面3333322m1022. 332m0.3232dWmaxmax23336455 10 N m3.22 10 m141 10 Pa141MPaMWs 超过许用应力s = 1

11、40MPa，但仅相差1%不到，因此跨中满足梁的强度条件。31/68【例例5-2】解解(4) 校核AB段强度AB段最大弯矩发生在截面BmkN210BM3333311m1016. 232m0.2832dW97.4MPaPa104 .97m1016. 2mN1021063332maxWMBBs ssmaxBAB段强度符合要求，轴AD满足强度条件32/68【例例5-3】 如图所示一槽型截面铸铁梁的载荷和截面尺寸，铸铁的抗拉许用应力st=30MPa，抗压许用应力sc=120MPa。已知F1=32kN，F2=12kN。试校核该梁的强度。33/68【例例5-3】分析分析 对铸铁这样的抗压和抗拉强度不一样的材

12、料，截面中性轴又不在对称轴上，同一截面的最大拉应力和最大压应力不相等，计算最大应力时应分清抗拉和抗压强度校核。34/68【例例5-3】解解(1) 计算约束力，画弯矩图 0AM03122132BFkN34BF 0yF01232BAFFkN10AFF1=32kN，F2=12kN35/68【例例5-3】解解(2) 计算截面几何性质求形心C 的位置 （负面积法）iCiiCAyAy 202140202001402002180202021402020010014020082横截面的惯性矩 (注意平行移轴公式)23238290201801001218010082100200140200140121zI47m

13、m1097. 3zI36/68【例例5-3】解解(3) 对截面B弯矩负值，上侧受拉zCBBIyMtsMPa8 .24mm1097. 382mmmmN1012476zCBBIyhMcsMPa7 .35mm1097. 3mm82200mmN101247637/68【例例5-3】解解(4) 对截面C弯矩正值，下侧受拉zCCCIyhMtsMPa7 .29mm1097. 3mm82200mmN1010476zCCCIyMcsMPa7 .20mm1097. 3mm82mmN101047638/68【例例5-3】解解MPa7 .29tCsMPa7 .20cCsMPa8 .24tBsMPa7 .35cBs全梁

14、的最大拉应力位于截面C 下边缘 MPa30MPa7 .29tttmaxsssC全梁的最大压应力位于截面B 下边缘MPa120MPa7 .35cccmaxsssB该梁满足强度条件39/68讨论讨论截面 C 的弯矩不是最大对于铸铁这样的抗拉强度和抗压强度不一样的材料:但全梁的最大拉应力却发生在截面C的下边缘。 若中性轴不是对称轴，须确定梁的最大正弯矩和最大负弯矩，分别进行强度校核，而不是仅确定一个危险截面。40/685.2.3 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施 1 梁的合理截面 应使用较小的截面面积A获得较大的弯曲截面系数W 的截面 离中性轴较远的位置配置较多的材料以提高材料的利用率41/68

15、5.2.3 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施 1 梁的合理截面 对于抗拉强度低于抗压强度的脆性材料，宜采用中性轴偏于受拉一侧的截面。42/685.2.3 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施 2 变截面梁和等强度梁 变截面梁变截面梁 最理想的状态是变截面梁内所有横截面上的最大正应力均相等。 ssxWxMmax 满足上式设计出来的梁，各截面具有相同的强度，称为等强度梁等强度梁43/685.2.3 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施 3 梁的合理受力 a. 合理布置载荷44/685.2.3 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施 3 梁的合理受力 b、 合理布置支座。45/685.3 弯曲切应

16、力弯曲切应力46/685.3.1 矩形截面梁矩形截面梁矩形截面梁的切应力公式推导儒拉夫斯基假设1）截面上任意一点的切应力 t 的方向和该截面上的剪力FS的方向平行。2）切应力沿宽度均匀分布，即t 的大小只与距离中性轴的距离有关。47/685.3.1 矩形截面梁矩形截面梁取简支梁中dx的微段进行受力分析若所切微段上无横向外力作用，则两截面的剪力相等。弯矩不同，两侧截面上的正应力也不相同 按照儒拉夫斯基假设，切应力和剪力平行。48/685.3.1 矩形截面梁矩形截面梁 为了研究横截面上距离中性层 y 处的切应力t 的数值，可在该处用一个平行于中性层的纵截面pp1，将微段的下半部分截出。49/685

17、.3.1 矩形截面梁矩形截面梁研究 x 方向的平衡1dN2AAFsAIyMMAzd)d(11AyIMMAzd)d(11 距中性轴为 y 处的横线以下部分面积A1对中性轴的静矩。*N2)d(zzSIMMF*N1zzSIMF50/681*1dzASy A5.3.1 矩形截面梁矩形截面梁顶边分布的切应力的合力 dF的大小*N2)d(zzSIMMF*N1zzSIMFxbxbFdddtt由 0 xFxbSIMSIMMzzzzd)d(*txbIMSzzdd*txMFddSbISFzz*St51/685.3.1 矩形截面梁矩形截面梁SFzI*zSb52/68*SzzF SI bt5.3.1 矩形截面梁矩形截

18、面梁对于矩形截面梁，取ddbA 11)4(2dd22*zAAyhbAbAS公式改写为)4(2)(22syhIFyzt在截面的两端，y = h/20t在中性层，y =053/68*SzzF SI bt22SSSmax33122482zFF hFhIbhbht5.3.2 工字形截面梁工字形截面梁工字形截面由翼缘和腹板组成上翼缘下翼缘腹板 由于腹板截面是狭长矩形，因此儒拉夫斯基假设仍然适用，若要计算腹板上距中性轴y处的切应力，Sz*是图中黄色部分面积对中性轴的静矩。)4(2)(8)(2222SyhbhHBbIFyzt翼缘上的平行于y轴的切应力分量很小，通常不进行计算。热轧工字钢，其 查附录D*max

19、zzSI54/68*SmaxmaxzzF SI bt5.3.3 切应力强度条件切应力强度条件对于横力弯曲下的等直梁，其横截面上既有弯矩又有剪力。梁除了保证正应力强度条件外，还需要满足切应力强度条件。一般来说，梁的最大切应力发生在最大剪力所在截面的中性轴上S*zmax 中性轴以下部分截面对中性轴的静矩中性轴上各点的正应力为0，所以都是处于纯剪切状态弯曲切应力强度条件：55/68*S maxmaxmaxzzFSI bt maxtt【例例5-4】 如图所示矩形截面悬臂梁，承受集度为q的均布载荷作用，求梁内最大正应力和最大切应力之比。56/68【例例5-4】解解 由内力分析，梁的最大剪力和最大弯矩位于

20、固定端截面maxSFqlmaxM22ql梁最大弯曲正应力WMmaxmaxs6222bhql223bhql57/68【例例5-4】解解梁最大弯曲切应力bhF23Smaxtbhql23梁内最大正应力和最大切应力之比hlqlbhbhql232322maxmaxts 由此可见，当梁的跨度 l 远大于其截面高度 h 时，梁的最大弯曲正应力远大于最大弯曲切应力。58/68【例例5-4】讨论讨论 一般细长非薄壁截面梁中，最大弯曲正应力与最大弯曲切应力之比都很大，因此，对一般细长梁的控制因素通常是弯曲正应力对一般细长梁的控制因素通常是弯曲正应力。 以下情况要进行梁的切应力强度校核： (1) 梁的最大弯矩较小而

21、最大剪力很大时； (2) 焊接或铆接的组合截面(例如工字形)梁，当其横截面腹板部分的厚度与梁高之比小于型钢的相应比值时； (3) 经焊接、铆接或胶合而成的梁，其焊缝、铆钉或胶合面等。59/68【例例5-5】 若例5-3中的梁由3块板焊接而成，其焊缝a-a，b-b如图所示，已知材料的许用切应力 t =20MPa，焊缝的许用切应t =10MPa。已知F1=32kN，F2=12kN。其余条件不变，校核梁的切应力强度。60/68【例例5-5】此类梁称为 薄壁截面梁薄壁截面梁壁厚很薄，故可近似认为切应力沿壁厚均匀分布，且方向沿薄壁截面的边线。因此，可参照矩形截面的做法，计算某一横线以外的部分对中性轴的静矩S*z由例5-3 BC段剪力最大kN22SmaxF(1) 校核中性轴处切应力强度362333*maxm1048.278m1082m10200m1020212zSbISFzz*maxSmaxmaxt