工程电磁场课件 绪论

1、第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析第0章 矢量分析下 页返 回（Vector Analysis）本章内容本章内容0.1 矢量代数矢量代数0.2 三种常用的正交曲线坐标系三种常用的正交曲线坐标系0.3 标量场的梯度标量场的梯度0.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度0.5 矢量场的环流与旋度矢量场的环流与旋度0.6 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理0.7 0.7 电磁场的特殊形式电磁场的特殊形式第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析1. 1. 标量和矢量标量和矢量矢量的大小或模矢量的大小或模：AA矢量的单位矢量矢量的单位矢量：标量标量：一个只用大小描述的物理量。一个只用大小描述的物理量。AAeA

2、矢量的代数表示矢量的代数表示：AeAeAAA0.1 矢量代数矢量代数矢量矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字母或带箭头的字母表示。母或带箭头的字母表示。 矢量的几何表示矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示一个矢量可用一条有方向的线段来表示 注意：注意：单位矢量不一定是常矢量。单位矢量不一定是常矢量。 A矢量的几何表示矢量的几何表示常矢量常矢量：大小和方向均不变的矢量。大小和方向均不变的矢量。 第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析矢量用坐标分量表示矢量用坐标分量表示zAxAAyAzxyOzzyyxxAeAeAeAAAAAA

3、Axyzcoscoscos)coscoscos(zyxeeeAAcoscoscoszyxAeeee第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析（1）矢量的加减法）矢量的加减法 两矢量的加减在几何上是以这两矢量为两矢量的加减在几何上是以这两矢量为邻边的平行四边形的对角线邻边的平行四边形的对角线, ,如图所示。如图所示。矢量的加减符合交换律和结合律矢量的加减符合交换律和结合律2. 矢量的代数运算矢量的代数运算 矢量的加法矢量的加法BAAB矢量的减法矢量的减法BAABB两矢量的加法和减法运算：两矢量的加法和减法运算： 对应方向上的分量相加减对应方向上的分量相加减结合律：结合律：()()ABCABCABBA

4、交换律：交换律：)()()(zzzyyyxxxBAeBAeBAeBA第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析（2 2）标量乘矢量）标量乘矢量（3）矢量的标积（点积）矢量的标积（点积）xxyyzzkAe kAe kAe kAcosxxyyzzA BABA BA BA B A BB A矢量的标积符合交换律矢量的标积符合交换律1xxyyzzeeeeee0 xyyzzxeeeeeeAB矢量矢量 与与 的夹角的夹角ABAB0A B /ABA BAB 第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析/ /AB0AB 若若 ，则，则（4）矢量的矢积（叉积）矢量的矢积（叉积）sinABeBAn用坐标分量表示为用坐标分量表

5、示为)()()(xyyxzzxxzyyzzyxBABAeBABAeBABAeBA写成行列式形式为写成行列式形式为zyxzyxzyxBBBAAAeeeBAABBAABABAB 若若 ，则，则BABA矢量矢量 与与 的叉积的叉积ABsinAB第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析（5 5）矢量的混合运算）矢量的混合运算 分配律分配律 分配律分配律 标量三重积标量三重积 矢量三重积矢量三重积“BACK_CAB”法则（背靠背）CBCACBA)(CBCACBA)()()()(BACACBCBA()()()()()AB CA C BA B CC A BA B C 第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析 三

6、维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。确定。0.2 三种常用的正交曲线坐标系三种常用的正交曲线坐标系 在电磁场与波理论中，在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：三种常用的正交曲线坐标系为：直角直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。 三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正交曲线坐标系正交曲线坐标系；三条正交曲线称为；三条正交曲线称为坐标轴坐标轴；描述坐标轴的量称；描述坐标轴的量称为为坐标变量坐标变量。第第 零零 章章矢矢 量量

7、 分分 析析1. 直角坐标系直角坐标系 xyzre xe ye z位置矢量：位置矢量：面元矢量：面元矢量：线元矢量：线元矢量：ddddxyzle xe ye zdd dd dxxyzxSe lle y zdd dd dzzxyzSe lle x y体积元体积元:dd d dVx y zdd dd dyyxzySellex z坐标变量：坐标变量：, ,x y z坐标单位矢量：坐标单位矢量：,xyze e e 点点P(x0,y0,z0)0y（平面）（平面） x y z0 x（平面）（平面）0zz（平面（平面） 直角坐标系直角坐标系 xezeyexyz直角坐标系的长度元、面积元、体积元直角坐标系的长

8、度元、面积元、体积元 od y dxzyeSxxdddyxeSzzdddzxeSyyddd dzxy第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析2. 圆柱坐标系圆柱坐标系dd dd ddd dd ddd dd dzzzzzSellezSellezSe lle , z 坐标变量坐标变量,zee e坐标单位矢量坐标单位矢量zree z位置矢量位置矢量ddddzleee z 线元矢量线元矢量dd d dVz 体积元体积元面元矢量面元矢量圆柱坐标系中的线元、面元和体积元圆柱坐标系中的线元、面元和体积元圆柱坐标系圆柱坐标系0（半平面半平面）0（圆柱面圆柱面）0zz （平面平面）),(000zP第第 零零 章章

9、矢矢 量量 分分 析析2dd dsin d drrrSe l le r dd dsin d drSelle rrdd dd drSelle r r3. 球坐标系球坐标系,r 坐标变量坐标变量,re e e 坐标单位矢量坐标单位矢量rre r位置矢量位置矢量dddsin drle re re r 线元矢量线元矢量2dsin d d dVrr 体积元体积元面元矢量面元矢量球坐标系中的线元、面元和体积元球坐标系中的线元、面元和体积元球坐标系球坐标系0（半平面半平面）0（圆锥面圆锥面）0rr （球面球面）),(000rP第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析4. 坐标单位矢量之间的关系坐标单位矢量之间

10、的关系xeyezeeezecossin0cossin0001直角坐标直角坐标与与圆柱坐标系圆柱坐标系eezereeesin0cossincos0001圆柱坐标圆柱坐标与与球坐标系球坐标系直角坐标直角坐标与与球坐标系球坐标系zereeecossincossincoscos0 xeyesinsinsincoscossinoxy单位圆单位圆 直角坐标系与柱坐标系之间直角坐标系与柱坐标系之间坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系xeyeeeoz单位圆单位圆 柱坐标系与球坐标系之间柱坐标系与球坐标系之间坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系zeeree第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析0.3 标量场的梯

11、度标量场的梯度u标量场：标量场：如果物理量是标量，称该场为如果物理量是标量，称该场为标量场标量场。 例如例如：温度场、电位场、高度场等。：温度场、电位场、高度场等。u矢量场：矢量场：如果物理量是矢量，称该场为如果物理量是矢量，称该场为矢量场矢量场。 例如例如：流速场、重力场、电场、磁场等。：流速场、重力场、电场、磁场等。u静态场：静态场：与时间无关的场。与时间无关的场。u动态场（时变场）：动态场（时变场）：与时间有关的与时间有关的场。场。u场的概念：场的概念：物理量的空间分布称为物理量的空间分布称为场场。 如果如果对于确定空间上的每一点都有确定的物理量与之对应，对于确定空间上的每一点都有确定的

12、物理量与之对应，则称在该区域上定义了一个则称在该区域上定义了一个场场。1 1、标量场和矢量场、标量场和矢量场第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析从数学上看，场是定义在空间区域上的函数从数学上看，场是定义在空间区域上的函数( , , )( )u x y zu r或( , , )( )F x y zF r或标量场可表示为：标量场可表示为： 、矢量场可表示为：矢量场可表示为： 、 ( , , , )( , )u x y z tu r t或( , , , )( , )F x y z tF r t或在直角坐标系下，矢量场在直角坐标系下，矢量场 可表示为：可表示为：F( , )( , , , )xxyy

13、zzFF r tF x y z te Fe Fe F ( )( , , )xxyyzzFF rF x y ze Fe Fe F （静态矢量场）（静态矢量场）（动态矢量场）（动态矢量场）静态矢量场：静态矢量场：( , , )( )( , , )( )( , , )( )xxxyyyzzzFFx y zFrFFx y zFrFFx y zF r动态矢量场：动态矢量场：( , , , )( , )( , , , )( , )( , , , )( , )xxxyyyzzzFFx y z tF r tFFx y z tFr tFF x y z tF r t第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析dddyx

14、zAAAxyz三维场：二维场：ddyxAAxy矢量线 矢量场-矢量线d0Al其方程为：在直角坐标下：下 页上 页返 回形象描绘场分布的工具场线 标量场标量场-等值面等值面( , )u x y zC等值面方程等值面方程： 等值面第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析2 2、标量场的等值面、标量场的等值面等值面等值面: : 标量场取得同一数值的点在空标量场取得同一数值的点在空 间形成的曲面。间形成的曲面。意义意义: : 形象直观地描述了物理量形象直观地描述了物理量（标量）（标量） 在空间的分布状态。在空间的分布状态。( , )u x y zC等值面方程等值面方程：等值面的特点等值面的特点：l 常数

15、常数C 取一系列不同的值，就得到一系列取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；不同的等值面，形成等值面族；l 标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面充满场所在的整个空间；l 标量场的等值面互不相交。标量场的等值面互不相交。 第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析3. 方向导数方向导数意义意义：方向导数表示方向导数表示标量标量场沿某方向对于距离的空间变化率场沿某方向对于距离的空间变化率。00|limMluull 概念概念：l0ul u(M)沿沿 方向增加；方向增加； l0ul u(M)沿沿 方向减小；方向减小； l0ul u(M)沿沿 方向无变化。方向无变化。 M0

16、lMl方向导数的概念方向导数的概念 l特点特点：方向导数既与点方向导数既与点M0有关，也与有关，也与 的方向有关的方向有关。故在定点故在定点M0处，沿不同的方向导数不同。处，沿不同的方向导数不同。 的方向余弦。的方向余弦。 l式中式中： coscoscos、思考：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？复合函数求导=coscoscosuxuyuzuuuxlylzlxyz第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析4. 标量场的梯度标量场的梯度 (gradient)（ 或或 ）graduu意义意义：描述标量描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方

17、向场在某点的最大变化率及其变化最大的方向概念概念： ，其中其中 取得最大值的方向。取得最大值的方向。max|lugraduuel luel推导：uuududxdydzxyzxyzdle dxe dye dz 显然，du可以表示为dl与某矢量的标量积，即：xyyuuuudueeedlxyz 位移矢量：第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析zueueueuz1圆柱坐标系：圆柱坐标系： ureurerueursin11球坐标系：球坐标系：zueyuexueuzyx直角坐标系：直角坐标系： 梯度的表达式：梯度的表达式：gradxyzuuuueeeuxyz上式括号内的矢量可以用哈密顿算子表示为：u标量场

18、 u 的梯度可以认为是哈密顿算子对标量函数 u 一种运算。xyzeeexyz 兼有矢量和微分的双重性质哈密顿算符：第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析l标量场的梯度是矢量场，它在空间标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的方向表示该点场的变化最大某点的方向表示该点场的变化最大（增大）的方向，其数值表示变化（增大）的方向，其数值表示变化最大方向上场的空间变化率。最大方向上场的空间变化率。l标量场在某个方向上的方向导数，标量场在某个方向上的方向导数，等于梯度在该方向上的投影。即：等于梯度在该方向上的投影。即：梯度的性质梯度的性质：梯度运算的基本公式梯度运算的基本公式： 0()()()( )( )CC

19、uCuuvuvuvuvv uf ufuu l标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面），且指标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面），且指向标量场的数值增加的方向。向标量场的数值增加的方向。=luuel第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析例 0.3.1 三维高度场的梯度 三维高度场的梯度高度场的梯度与过该点的等高线垂直；数值等于该点位移的最大变化率；指向地势升高的方向。下 页上 页返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析例 0.3.2 电位场的梯度图0.2.2 电位场的梯度电位场的梯度与过该点的等位线垂直；数值等于该点的最大方向导数；指向电位增加的方向。下 页上 页返 回第第

20、零零 章章矢矢 量量 分分 析析 解解 (1)由梯度计算公式，可得由梯度计算公式，可得P点的梯度为：点的梯度为：22()()PxyzPeeexyzxyz(1,1,1)(22)22xyzxyzexeyeeee 例例0.3.4 设一标量函数设一标量函数 ( x, y, z ) = x2y2z 描述了空间标量场。描述了空间标量场。试求：试求： (1) 该函数该函数 在点在点 P(1,1,1) 处的梯度，以及表示该梯度方向的处的梯度，以及表示该梯度方向的单位矢量。单位矢量。 (2) 求该函数求该函数 沿单位矢量沿单位矢量方向的方向导数，并以点方向的方向导数，并以点 P(1,1,1) 处的方向导数值与该

21、点的梯度处的方向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。值作以比较，得出相应结论。ooocos60cos45cos60lxyzeeee例例0.3.3（见谢处方编（见谢处方编电磁场与电磁波电磁场与电磁波 P13P14） 第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析24表征其方向的单位矢量表征其方向的单位矢量 222(1,1,1)22221333(2 )(2 )( 1)xyzlxyzPPexeyeeeeexy (2) 由方向导数与梯度之间的关系式，则沿由方向导数与梯度之间的关系式，则沿el 方向的方向导数为：方向的方向导数为： 上述方向导数在上述方向导数在P P 点处的取值为：点处的取值为：(1,1

22、,1)1221222Pxylooo( 22) (cos60cos45cos60 )1211( 22) ()22222lxyzxyzxyzxyzeexeyeeeelexeyeeeexy 第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析u 显然，梯度显然，梯度 描述了描述了P P点处标量函数点处标量函数 的最大变化率，的最大变化率， 即最大的方向导数，故即最大的方向导数，故 恒成立。恒成立。PPPl 25P P点处的梯度值（大小）为：点处的梯度值（大小）为： 222(1,1,1)(2 )(2 )( 1)3Pxy 第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析0.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度 1. 矢量线

23、矢量线 意义意义：形象直观地描述了矢量场在空间的形象直观地描述了矢量场在空间的 分布状态。分布状态。dddxyzxyzFFF矢量线方程矢量线方程：概念：概念：对于矢量场，可用一些有向曲线来对于矢量场，可用一些有向曲线来描述其在空描述其在空 间的分布状态，这些有向曲线间的分布状态，这些有向曲线称为称为矢量线矢量线。l矢量线上任一点的切线方向都与该点处矢量线上任一点的切线方向都与该点处矢量场的方向相同。例矢量场的方向相同。例: :电场线，磁场线等。电场线，磁场线等。矢量线矢量线OMFdrrrdr/ /Fd rxyzxyzFe Fe Fe F假设假设 ，且，且MM点的位置矢量为：点的位置矢量为： x

24、yzdre dxe dye dz则：所以xyzre xe ye z第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析),(zyxFSdne面积元矢量面积元矢量2. 矢量场的通量和散度矢量场的通量和散度（Flux and Divergence of Vector） 问题问题：如何定量描述矢量场的大小？如何定量描述矢量场的大小？通量的概念：通量的概念：nddSSFSF eS闭合曲面时：闭合曲面时： 矢量场矢量场 穿过曲面穿过曲面 的通量为：的通量为：FSSndddSSFSF eSnddSe S其中：其中：面积元矢量；面积元矢量；ne面积元的法向单位矢量；面积元的法向单位矢量；dSnddF eS穿过面积元穿过面

25、积元 的通量。的通量。ne面元方向面元方向 的选取：的选取： 如果曲面如果曲面 S 不闭合（开曲面），则面元方不闭合（开曲面），则面元方向与围绕曲面的闭合曲线成右手螺旋关系；如果曲面向与围绕曲面的闭合曲线成右手螺旋关系；如果曲面 S 闭合，则闭合，则面元方向由闭合曲面内指向外面元方向由闭合曲面内指向外(即曲面的外法线方向即曲面的外法线方向)。第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析0有净的矢量线穿出有净的矢量线穿出有源有源0有净的矢量线进入有净的矢量线进入有沟有沟0进入与穿出闭合曲进入与穿出闭合曲面的矢量线相等面的矢量线相等 无源无沟无源无沟矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果矢量场通过闭合曲面

26、通量的三种可能结果l 闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通量与闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源之间的关系。曲面内产生矢量场的源之间的关系。通量的物理意义通量的物理意义第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析293. 矢量场的散度矢量场的散度 为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间内的任意点为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间内的任意点（小体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。（小体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。利用极限方法得到这一关系：利用极限方法得到这一关系：称为矢量场的称为矢量场的散度散度

27、。 散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元体积之比的极限。元体积之比的极限。-( 通量元密度) 它表示某点处单位体积上的通量。它表示某点处单位体积上的通量。divFF或0( , , ) d( , , )limSVF x y zSdivFF x y zV 第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析散度的意义 在矢量场中，若 A= 0，称之为有源场， 称为 ( 通量 ) 源密度；若矢量场中处处 A=0 ，称之为无源场。矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；散度代表矢量场的通量源的分布特性。 (无源）0 A (正源) A (负源) A下

28、 页上 页返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析圆柱坐标系：圆柱坐标系：22111()(sin)()sinsinrFr FFFrrrr ()zFFFFz 球坐标系：球坐标系：yxzFFFFxyz 直角坐标系：直角坐标系：散度的表达式散度的表达式：散度的有关公式散度的有关公式：0 ()()()()()()CCCCfCfkFkF kf FfFFfFGFG 为常矢量为常数第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析直角坐标系下散度表达式的推导（自学）直角坐标系下散度表达式的推导（自学） 000000000,(,),22xxxx y zFxxF xy zF x y zx000000000,(,),22

29、xxxx y zFxxF xy zF x y zx000000(,)(,)22xxxFxxF xyzF xyzy zx y zx 由此可知，穿出前、后两侧面的净由此可知，穿出前、后两侧面的净通量值为通量值为 不失一般性，令包围不失一般性，令包围P点的微体积点的微体积 V 为一直平行六面体，如为一直平行六面体，如图所示。则根据泰勒定理展开：图所示。则根据泰勒定理展开：oxy在直角坐标系中计算在直角坐标系中计算zzxyPF第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析根据定义，则得到直角坐标系中的散度根据定义，则得到直角坐标系中的散度 表达式为表达式为 同理，分析穿出另两组侧面的净通量，并合成之，即得由点

30、同理，分析穿出另两组侧面的净通量，并合成之，即得由点P 穿出该六面体的净通量为穿出该六面体的净通量为0dlimSyxzVFSFFFFVxyz dyxzSFFFFSx y zx y zx y zxyz 第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析4. 散度定理（高斯定理）散度定理（高斯定理）ddSVFSF V 体积的剖分体积的剖分VS1S2en2en1S由散度的定义：由散度的定义：l 散度定理反映了闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系，散度定理反映了闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系， 它在电磁理论中有着广泛的应用。它在电磁理论中有着广泛的应用。0( , , ) dlimSVF x y zSdi

31、vFFV l 矢量场在空间任意闭合曲面的通量等于其散度在该闭合曲面矢量场在空间任意闭合曲面的通量等于其散度在该闭合曲面 所包含体积上的体积分。所包含体积上的体积分。第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析例如：已知真空中静电场的高斯定理（积分形式）：例如：已知真空中静电场的高斯定理（积分形式）：01ddSVESVvSEdVE dS 根据散度定理：根据散度定理：则有：则有：0E 上式即为高斯定理的微分形式，表明空间任意一点电场上式即为高斯定理的微分形式，表明空间任意一点电场强度的散度与该处的电荷密度有关，静电荷是静电场的通量强度的散度与该处的电荷密度有关，静电荷是静电场的通量源源第第 零零 章章矢

32、矢 量量 分分 析析0.5 矢量场的环流与旋度矢量场的环流与旋度 （Circulation and Rotation of Vector Field） 不是所有的矢量场都是由通量源所激发。还存在另一类矢量不是所有的矢量场都是由通量源所激发。还存在另一类矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合曲面源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量为零，但在场所定义的空间中闭合路径上的积分却不为的通量为零，但在场所定义的空间中闭合路径上的积分却不为零。零。水流沿平行于水管轴线方向流动水流沿平行于水管轴线方向流动 （无涡旋运动）（无涡旋运动） 流体做涡旋运动流体做涡旋运动 （

33、有产生涡旋的源）（有产生涡旋的源） 例：例：流速场流速场= 0 0第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析u环量的大小与闭合路径有关，它表示绕环线旋转趋势的大小。下 页上 页返 回环量的计算1 1、矢量场的环流（环量、矢量场的环流（环量）（Circulation ）定义：定义：该矢量场对有向闭合曲线该矢量场对有向闭合曲线C 的线积分，的线积分， 称为矢量场对于闭合曲线称为矢量场对于闭合曲线C 的环流：的环流：( , ) dCF x y zl u如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为无无旋场旋场，又称为，又称为保守场保守场。u如果矢量场

34、对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为有旋矢量场有旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源旋涡源。 例如：电流是产生磁场的旋涡源。例如：电流是产生磁场的旋涡源。第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析 矢量场的环流（环量）描述的是矢量场与积分回路所围曲矢量场的环流（环量）描述的是矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源之间的宏观联系。为了描述空间任意点处矢量场与面内旋涡源之间的宏观联系。为了描述空间任意点处矢量场与其旋涡源间的关系，引入矢量场的其旋涡源间的关系，引入矢量场的环流面密度和环流面密度和旋度的概念。旋度的概念

35、。 SCMFn2. 矢量场的旋度矢量场的旋度 ( Rotation ) （1）环流面密度）环流面密度n01rotldimdd =CSlSFFS 称为矢量场在点称为矢量场在点M 处沿处沿 方向的方向的环流面密度环流面密度。它表示某点处沿某方向单位面积上的环量。它表示某点处沿某方向单位面积上的环量。n特点特点：其值与点其值与点M 处的方向处的方向 有关。有关。 n 过点过点M 作一小面元作一小面元 S ，它的边界曲线记为，它的边界曲线记为C，曲面的法，曲面的法线方向线方向 与曲线的绕向成右手螺旋法则。当与曲线的绕向成右手螺旋法则。当 S0 时取极限得时取极限得n思考：在什么方向在什么方向环流面密度

36、值最大？最大值为多少？环流面密度值最大？最大值为多少？第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析概念概念：矢量场在矢量场在 M 点处的旋度为一矢量，其大小为点处的旋度为一矢量，其大小为M 点处的环点处的环 流面密度的最大值，其方向为环量密度取得最大值时面积元的流面密度的最大值，其方向为环量密度取得最大值时面积元的法线方向，即：法线方向，即：旋度的物理意义：旋度的物理意义：（2）矢量场的旋度）矢量场的旋度nnmaxrot =rotFFeFrot FF（或）u旋涡源密度矢量。旋涡源密度矢量。矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。u某点旋度的大小是该点环量密度的最大值，其方向是最大环量 密度的方向。u

37、矢量场在点矢量场在点M处沿某方向的环流面密度等于旋度在该方向上的处沿某方向的环流面密度等于旋度在该方向上的 投影。即：投影。即：nnrot FeFu若矢量场处处 ，称之为无旋场。0Fu在矢量场中，若 称之为旋度场（或涡旋场) ， 称为旋度源（或涡旋源）。FJJ第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析下 页上 页返 回u矢量场的旋度是一个矢量，它在矢量场的旋度是一个矢量，它在直角坐标系中直角坐标系中可以分解为可以分解为三个分量：三个分量：rot rotrotrotxyzxyzyyxxzzxyzFFeFeFeFFFFFFFeeeyzzxxy xyzxyzeeexyzFFF第第 零零 章章矢矢 量量

38、分分 析析而而 oyz yCMzx1234计算计算 的示意图的示意图 rotxF12134dddddCllllFlFlFlFlFl1234( )( )yzyzFyFzFyFz2()2zzzMFyFFMy3()2yyyMFzFFMz1()2yyyMFzFFMz4()2zzzMFyFFMy推导推导 的示意图如下图所示的示意图如下图所示。rotxF第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析于是：于是： 同理可得：同理可得：故得：故得：d()yzCFFFly zyz 0drotlimCyzxSFlFFFSyz rotxzyFFFzxrotyxzFFFxyyyxxzzxyzFFFFFFFeeeyzzxxyx

39、yzxyzeeexyzFFF第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析yyxxzzxyzFFFFFFFeeeyzzxxy旋度的计算公式旋度的计算公式: :1zzeeeFzFFF2sin1sinsinrrerereFrrFrFrF 直角坐标系：直角坐标系： 圆柱坐标系：圆柱坐标系： 球坐标系：球坐标系：xyzxyzeeexyzFFF第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析44旋度的有关公式旋度的有关公式：两个恒等式两个恒等式标量场的梯度标量场的梯度的旋度恒为零的旋度恒为零（梯无旋）（梯无旋）()fFfFfF ()fCfC 0C()FGFG ()FGGFFG()0F ()0u 矢量场的旋度矢量场的旋度的

40、散度恒为零的散度恒为零（旋无散）（旋无散）第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析()()()xyzyyxxzzxyzeeexyzFFFFFFeeeyzzxxy证明：左边=(+)222222()()()0yyxxzzFFFFFFx yx zy zx yx zy z 任意矢量场旋度的散度等于零，任意矢量场旋度的散度等于零，“旋无散旋无散” 。()0F 第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析0u 标量场的梯度的旋度恒等于零，标量场的梯度的旋度恒等于零，“梯无旋梯无旋”。xyzxyzuuueeeeeexyzxyz证明： 左边=(+)222222()()()0 xyzuuuuuueeey zz yz x

41、x zx yy x 第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析曲面的曲面的剖分剖分方向相反大小方向相反大小相等结果抵消相等结果抵消3. 斯托克斯定理斯托克斯定理( Stockes Theorem )由由旋度的定义：旋度的定义：ndrot()dnFS Fend()d() dFS eFSddCSFlFS则：则：l 斯托克斯定理是矢量函数在闭合曲线斯托克斯定理是矢量函数在闭合曲线积分与曲面积分之间的相互转换。积分与曲面积分之间的相互转换。l 它在电磁理论中有着广泛的应用。它在电磁理论中有着广泛的应用。l 矢量场沿任意闭合曲线的环量等于其矢量场沿任意闭合曲线的环量等于其 旋度在该闭合曲线所围曲面的面积分。

42、旋度在该闭合曲线所围曲面的面积分。第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析4. 散度和旋度的区别散度和旋度的区别 0,0FF0.0FF0,0FF0,0FF第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析1. 矢量场的源矢量场的源散度源散度源：是标量，其产生的矢量场在包围源的封闭曲面上是标量，其产生的矢量场在包围源的封闭曲面上 通量等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的通量等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的 总和，源在一给定点处的（体）密度等于（或正总和，源在一给定点处的（体）密度等于（或正 比于）矢量场在该点处的散度。比于）矢量场在该点处的散度。 旋度源旋度源：是矢量，其产生的矢量场具有涡旋性质，穿过

43、一曲是矢量，其产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲 面的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭面的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭 合回合回 路的环量，在给定点上，这种源的（面）密路的环量，在给定点上，这种源的（面）密 度等于（或正比于）矢量场在该点处的旋度。度等于（或正比于）矢量场在该点处的旋度。0.6 无旋场与无散场无旋场与无散场第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析2. 矢量场按源的分类矢量场按源的分类（1）无旋场）无旋场d0CFl性质性质： 线积分与路径无关是保守场。线积分与路径无关是保守场。仅有散度源而无旋度源的矢量场，即：仅有散度源而无旋度源的矢量场，即：0F无旋场可以用标量场

44、的梯度表示为无旋场可以用标量场的梯度表示为例如：静电场例如：静电场0EE Fu ()0Fu 由斯托克斯定理得：由斯托克斯定理得：第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析（2）无散场）无散场 仅有旋度源而无散度源的矢量场仅有旋度源而无散度源的矢量场，即，即性质性质：d0SFS0F无散场可以表示为另一个矢量场的旋度无散场可以表示为另一个矢量场的旋度例如，恒定磁场例如，恒定磁场BA 0BFA ()0FA ddv0SvFSF第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析（3）无旋、无散场无旋、无散场（源在所讨论的区域之外）（源在所讨论的区域之外）0F （4）有散、有旋场）有散、有旋场这样的场可分解为两部分：无旋

45、场部分和无散场部分这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分( )( )( )( )( )lCF rF rF ru rA r 无旋场部分无旋场部分无散场部分无散场部分()0u Fu 20u0F 第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析例 0.6.1 试判断下列各图中矢量场的性质。FF00FF00FF00下 页上 页返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析 若矢量场在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，源分若矢量场在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，源分布在有限区域中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场可布在有限区域中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场可表示为：表示为： (

46、 )( )( )F ru rA r 式中：式中：0.7 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理（Hymherze Theorem）VrrrFruVd)(41)(VVrrrFrAd)(41)(l 亥姆霍兹定理表明：亥姆霍兹定理表明： 在在无界空间区域无界空间区域，矢量场可由其散度及旋度确定。，矢量场可由其散度及旋度确定。第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析 有界区域有界区域l 在在有界区域有界区域，矢量场不但与该区域中的散度和旋度有关，矢量场不但与该区域中的散度和旋度有关， 还与区域边界上矢量场的切向分量和法向分量有关。还与区域边界上矢量场的切向分量和法向分量有关。SVrrSrFVrrrFrud)(41 d

47、)(41)(SVrrSrFVrrrFrAd)(41d)(41)(u亥姆霍兹定理：亥姆霍兹定理： 矢量场的散度产生矢量场的一种源，而旋度是产生矢量矢量场的散度产生矢量场的一种源，而旋度是产生矢量场的另外一种源，当着两种源在空间的分布确定时，则矢量场的另外一种源，当着两种源在空间的分布确定时，则矢量场本身也就唯一确定了。场本身也就唯一确定了。u亥姆霍兹定理总结了矢量场的基本性质，意义很重要。亥姆霍兹定理总结了矢量场的基本性质，意义很重要。第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析 在无界空间中，散度和旋度都为零的矢量场是不存在的，在无界空间中，散度和旋度都为零的矢量场是不存在的，因为任何一个物理量都必须有源，源是激发场的起因，场是同源因为任何一个物理量都必须有源，源是激发场的起因，场是同源一起出现的。所以，产生矢量场的源要么为散度源，要么为旋度一起出现的。所以，产生矢量场的源要么为散度源，要么为旋度