一元二次不等式

1、一元二次不等式及其解法1“三个二次”的关系判别式b24ac>00<0二次函数yax2bxc (a>0)的图象一元二次方程ax2bxc0 (a>0)的根有两相异实根x1，x2(x1<x2)有两相等实根x1x2没有实数根ax2bxc>0 (a>0)的解集x|x<x1或x>x2x|xx1x|xRax2bxc<0 (a>0)的解集x|x1< x<x22.(xa)(xb)>0或(xa)(xb)<0型不等式的解法不等式解集a<baba>b(xa)·(xb)>0x|x<a或x>b

2、x|xax|x<b或x>a(xa)·(xb)<0x|a<x<bx|b<x<a口诀：大于取两边，小于取中间【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)若axb>0，则x>.(×)(2)不等式x25x6<0的解集为x|x<6或x>1()(3)不等式0的解集是1,2(×)(4)若不等式ax2bxc>0的解集是(，x1)(x2，)，则方程ax2bxc0的两个根是x1和x2.()(5)若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc>0的解集为R.

3、(×)(6)不等式ax2bxc0在R上恒成立的条件是a<0且b24ac0.(×)1函数f(x)的定义域为()A0,3 B(0,3)C(，03，) D(，0)(3，)答案A解析由3xx20得x(x3)0，0x3，函数f(x)的定义域为0,32已知不等式ax2bx10的解集是，则不等式x2bxa<0的解集是()A(2,3) B(，2)(3，)C. D.答案A解析由题意知，是方程ax2bx10的根，所以由根与系数的关系得，×.解得a6，b5，不等式x2bxa<0即为x25x6<0，解集为(2,3)3不等式0的解集为()Ax|x<1或x3 B

4、x|1x3Cx|1<x3 Dx|1<x<3答案C解析原不等式可化为1<x3.故原不等式的解集为x|1<x34已知不等式x22xk21>0对一切实数x恒成立，则实数k的取值范围为_答案(，)(，)解析由题意，知44×1×(k21)<0，即k2>2，k>或k<.题型一一元二次不等式的解法例1求下列不等式的解集：(1)x28x3>0；(2)ax2(a1)x1<0.解(1)因为824×(1)×(3)52>0，所以方程x28x30有两个不相等的实根x14，x24.又二次函数yx28x3的

5、图象开口向下，所以原不等式的解集为x|4<x<4(2)若a0，原不等式等价于x1<0，解得x>1.若a<0，原不等式等价于(x)(x1)>0，解得x<或x>1.若a>0，原不等式等价于(x)(x1)<0.当a1时，1，(x)(x1)<0无解；当a>1时，<1，解(x)(x1)<0得<x<1；当0<a<1时，>1，解(x)(x1)<0得1<x<.综上所述：当a<0时，解集为x|x<或x>1；当a0时，解集为x|x>1；当0<a<1

6、时，解集为x|1<x<；当a1时，解集为；当a>1时，解集为x|<x<1思维升华含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集(1)若不等式ax2bx2>0的解为<x<，则不等式2x2bxa<0的解集是_(2)不等式

7、0的解集是_答案(1)(2,3)(2)(，1解析(1)由题意，知和是一元二次方程ax2bx20的两根且a<0，所以解得则不等式2x2bxa<0即2x22x12<0，其解集为x|2<x<3(2)原不等式等价于(*)由(*)解得<x1.题型二一元二次不等式的恒成立问题例2设函数f(x)mx2mx1.(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；(2)若对于x1,3，f(x)<m5恒成立，求m的取值范围解(1)要使mx2mx1<0恒成立，若m0，显然1<0；若m0，则4<m<0.所以4<m0.(2)要使f(x

8、)<m5在x1,3上恒成立，即m2m6<0在x1,3上恒成立有以下两种方法：方法一令g(x)m2m6，x1,3当m>0时，g(x)在1,3上是增函数，所以g(x)maxg(3)7m6<0，所以m<，所以0<m<；当m0时，6<0恒成立；当m<0时，g(x)在1,3上是减函数，所以g(x)maxg(1)m6<0，所以m<6，所以m<0.综上所述：m的取值范围是m|m<方法二因为x2x12>0，又因为m(x2x1)6<0，所以m<.因为函数y在1,3上的最小值为，所以只需m<即可所以，m的取值范围

9、是.思维升华(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数(1)若不等式x22x5a23a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为()A1,4 B(，25，)C(，14，) D2,5(2)已知a1,1时不等式x2(a4)x42a>0恒成立，则x的取值范围为()A(，2)(3，) B(，1)(2，)C(，1)(3，) D(1,3)

10、答案(1)A(2)C解析(1)x22x5(x1)24的最小值为4，所以x22x5a23a对任意实数x恒成立，只需a23a4，解得1a4.(2)把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)(x2)a(x24x4)，则由f(a)>0对于任意的a1,1恒成立，易知只需f(1)x25x6>0，且f(1)x23x2>0即可，联立方程解得x<1或x>3.题型三一元二次不等式的应用例3某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件若售价降低x成(1成10%)，售出商品数量就增加x成要求售价不能低于成本价(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式yf

11、(x)，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围解(1)由题意得，y100·100.因为售价不能低于成本价，所以100800.所以yf(x)40(10x)(254x)，定义域为x0,2(2)由题意得40(10x)(254x)10 260，化简得8x230x130.解得x.所以x的取值范围是.思维升华求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义(4)回归实际问题

12、，将数学结论还原为实际问题的结果某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是_答案20解析由题意得，3 860500500(1x%)500(1x%)2×27 000，化简得(x%)23·x%0.640，解得x%0.2，或x%3.2(舍去)x20，即x的最小值为20.转化与化归思想在不等式中的应用典例：(1)已知函数f(x)x2axb(a，bR)的值域为0，)，若关于x的不等式f(

13、x)<c的解集为(m，m6)，则实数c的值为_(2)已知函数f(x)，若对任意x1，)，f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围是_思维点拨(1)考虑“三个二次”间的关系；(2)将恒成立问题转化为最值问题求解解析(1)由题意知f(x)x2axb2b.f(x)的值域为0，)，b0，即b.f(x)2.又f(x)<c.2<c，即<x<.，得26，c9.(2)x1，)时，f(x)>0恒成立，即x22xa>0恒成立即当x1时，a>(x22x)g(x)恒成立而g(x)(x22x)(x1)21在1，)上单调递减，g(x)maxg(1)3，故a>3.实

14、数a的取值范围是a|a>3答案(1)9(2)a|a>3温馨提醒(1)本题的解法充分体现了转化与化归思想：函数的值域和不等式的解集转化为a，b满足的条件；不等式恒成立可以分离常数，转化为函数值域问题(2)注意函数f(x)的值域为0，)与f(x)0的区别.方法与技巧1“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a<0的情形转化为a>0时的情形2f(x)>0的解集即为函数yf(x)的图象在x轴上方的点的横坐标的集合，充分利用数形结合思想3简单的分式不等式可以等价转化，利用一元二次不等式解法进行求解失误与防范1对于不等式ax2bxc>0，求解时不要忘记讨

15、论a0时的情形2当<0时，ax2bxc>0 (a0)的解集为R还是，要注意区别3含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.A组专项基础训练(时间：45分钟)1函数f(x) 的定义域为()A2,1 B(2,1C2,1) D(，21，)答案B解析002<x1.2设函数f(x)则不等式f(x)>f(1)的解集是()A(3,1)(3，) B(3,1)(2，)C(1,1)(3，) D(，3)(1,3)答案A解析由题意得或解得3<x<1或x>3.3设a>0，不等式c<axb<c的解集是x|2<x<1，则abc等于()A123 B

16、213C312 D321答案B解析c<axb<c，又a>0，<x<.不等式的解集为x|2<x<1，abca213.4若不等式mx22mx4<2x24x对任意x都成立，则实数m的取值范围是()A(2,2 B(2,2)C(，2)2，) D(，2答案A解析原不等式等价于(m2)x22(m2)x4<0，当m2时，对任意x不等式都成立；当m2<0时，4(m2)216(m2)<0，2<m<2，综合，得m(2,25若集合Ax|ax2ax1<0，则实数a的值的集合是()Aa|0<a<4 Ba|0a<4Ca|0

17、<a4 Da|0a4答案D解析由题意知a0时，满足条件a0时，由得0<a4，所以0a4.6已知一元二次不等式f(x)<0的解集为，则f(10x)>0的解集为_答案x|x<lg 2解析由已知条件0<10x<，解得x<lglg 2.7若0<a<1，则不等式(ax)(x)>0的解集是_答案x|a<x<解析原不等式即(xa)(x)<0，由0<a<1得a<，a<x<.8(2013·江苏)已知f(x)是定义在R上的奇函数当x>0时，f(x)x24x，则不等式f(x)>x的

18、解集用区间表示为_答案(5,0)(5，)解析由已知得f(0)0，当x<0时，f(x)f(x)x24x，因此f(x)不等式f(x)>x等价于或解得：x>5，或5<x<0.9已知f(x)3x2a(6a)x6.(1)解关于a的不等式f(1)>0；(2)若不等式f(x)>b的解集为(1,3)，求实数a、b的值解(1)f(x)3x2a(6a)x6，f(1)3a(6a)6a26a3>0，即a26a3<0，解得32<a<32.不等式的解集为a|32<a<32(2)f(x)>b的解集为(1,3)，方程3x2a(6a)x6b0的

19、两根为1,3，解得10某农贸公司按每担200元收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征锐率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点(1)写出降税后税收y(万元)与x的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围解(1)降低税率后的税率为(10x)%，农产品的收购量为a(12x%)万担，收购总金额为200a(12x%)万元依题意得y200a(12x%)(10x)%a(1002x)(10x)(0<x<10)(2)原计划税收为200a·10%20a(万元)依题意得a(1002x)(10x)20a×83.2%，化简得x240x840，解得42x2.又0<x<10，0<x2.即x的取值范围为(0,2B组专项能力提升(时间：20分钟)11已知函数f(x)(ax1)(xb)，如果不等式f(x)>0的解集是(1,3)，则不等式f(2x)<0的解集是()A(，)(，)B(，)C(，)(，)D(，)答案A解析f(x)0的两个解是x11，x23且a<0，由f(2x)<0得2x>3或2x<1，x<