傅立叶变换最新课件

1、频域分析从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析（频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函（频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函数或复指数函数的组合。数或复指数函数的组合。频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特

2、性之间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制和频分复用等重要概念。制和频分复用等重要概念。 发展历史1822年，法国数学家傅里叶年，法国数学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830)在研究热传导理在研究热传导理论时发表了论时发表了“热的分析理论热的分析理论”，提出并证明了将周期函数展开为，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。泊松泊松(Poisson)、高斯、高斯(Guass)等人把这一成果应用到电学中去，得等人把这一成果应用到电学中去，得到广泛应

3、用。到广泛应用。19世纪末，人们制造出用于工程实际的电容器。世纪末，人们制造出用于工程实际的电容器。进入进入20世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的前景。前景。在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法具有很多的优点。具有很多的优点。“FFT”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。 主要内容本章从傅

4、里叶级数正交函数展开问题开始讨论，引出本章从傅里叶级数正交函数展开问题开始讨论，引出傅里叶变换，建立信号频谱的概念。傅里叶变换，建立信号频谱的概念。通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，初步通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，初步掌握傅里叶分析方法的应用。掌握傅里叶分析方法的应用。对于周期信号而言，在进行频谱分析时，可以利用傅对于周期信号而言，在进行频谱分析时，可以利用傅里叶级数，也可以利用傅里叶变换，傅里叶级数相当于里叶级数，也可以利用傅里叶变换，傅里叶级数相当于傅里叶变换的一种特殊表达形式。傅里叶变换的一种特殊表达形式。本章最后研究抽样信号的傅里叶变换，引入抽样定理。本章最后研究

5、抽样信号的傅里叶变换，引入抽样定理。主要内容三角函数形式的傅氏级数三角函数形式的傅氏级数 指数函数形式的傅氏级数指数函数形式的傅氏级数两种傅氏级数的关系两种傅氏级数的关系 频谱图频谱图函数的对称性与傅里叶级数的关系函数的对称性与傅里叶级数的关系周期信号的功率周期信号的功率傅里叶有限级数与最小方均误差傅里叶有限级数与最小方均误差一三角函数形式的傅里叶级数 tntn11sin,cos 是一个完备的正交函数集是一个完备的正交函数集t在一个周期内，在一个周期内，n=0,1,. 2112cossin d0TTntmtt2112,coscos20,TTTmnntmt dtmn2112,sinsin20,T

6、TTmnntmt dtmn由积分可知由积分可知1.三角函数集 1112 , , TTtf 基基波波角角频频率率为为周周期期为为周周期期信信号号在满足在满足狄氏条件狄氏条件时，可展成时，可展成 1 sincos)(1110 nnntnbtnaatf 直流分量直流分量100d)(110TttttfTa余弦分量的幅度余弦分量的幅度100dcos)(211TttnttntfTa正弦分量的幅度正弦分量的幅度100dsin)(211TttnttntfTb称为三角形式的傅里叶级数，其系数称为三角形式的傅里叶级数，其系数2级数形式狄利克雷（Dirichlet）条件条件条件3:3:在一周期内，信号绝对可积。在一

7、周期内，信号绝对可积。条件条件2 2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个。限个。条件条件1 1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个。数目应是有限个。其他形式00ac 22nnnbac nnnabarctan nnnca cos nnncb sin 余弦形式余弦形式正弦形式正弦形式00ad nnnabarctan nnnda sin nnndb cos 110sin)(nnntnddtf 22nnnbad 2 cos)(110 nnntncctf 可画出可画出频谱图。频谱图。周期信号频谱具有

8、周期信号频谱具有离散性、谐波性、收敛性离散性、谐波性、收敛性 。 关系曲线称为幅度频谱图；幅度谱关系曲线称为幅度频谱图；幅度谱关系曲线称为相位频谱图。相位谱关系曲线称为相位频谱图。相位谱 nc n幅度频率特性和相位频率特性的线性组合。的线性组合。基波角频率的整数倍）基波角频率的整数倍）（）和各次谐波）和各次谐波，基波（，基波（周期信号可分解为直流周期信号可分解为直流:11 ncn01c2c3c1c031n1n0131n1二指数函数形式的傅里叶级数1 1复指数正交函数集复指数正交函数集 2, 1, 0 e1j ntn 2 2级数形式级数形式3 3系数系数 4 e)()(1j1tnnnFtf 5

9、de )(1110j11TtnttfTnF利用利用复变函数的正交特性复变函数的正交特性nF 也可写为也可写为说明 1()(4) (5)F nf t如给出，则惟一确定， 、 式是一对变换对。1j ,ent 周期信号可分解为区间上的指数信号的线性组合。 4 e)()(1j1tnnnFtf 5 de)(1110j11TtnttfTnF三两种系数之间的关系及频谱图110j11de )(1)(TtnttfTnF11011011dsin)(1jdcos)(1TTttntfTttntfT nnbaj21 110110111dsin)(1jdcos)(1)(TTttntfTttntfTnF nnbaj21 n

10、nFnF j11e)( 是是复复数数)(),(11 nFnF 1 13 nc0c1c3cO1 13 n O 频谱图幅度频谱幅度频谱相位频谱相位频谱离散谱，谱线离散谱，谱线曲线曲线或或 nnFc曲线曲线 n四总结（1）周期信号）周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式的傅里叶级数有两种形式（3）周期信号的频谱是离散谱，三个性质）周期信号的频谱是离散谱，三个性质（2）两种频谱图的关系）两种频谱图的关系（4）引入负频率）引入负频率(1)周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式= 110)cos(nnntncc 三角形式三角形式指数形式指数形式 1110sincos)(nnntnbtnaatf tnnnF

11、tf1j1e)()( 0001021)(acFncnFn (2)两种频谱图的关系)()( 11 nn 相相位位频频谱谱为为奇奇函函数数 nnc，三三角角函函数数形形式式：单边频谱单边频谱 nnF，指数函数形式：指数函数形式：双边频谱双边频谱关系关系)()( 11 nFnF 偶偶函函数数指指数数形形式式的的幅幅度度频频谱谱为为(3)三个性质11,nF nn收敛性：谐波性：频率只出现在处离散性：谱线离散(4)引入负频率对对于于双双边边频频谱谱，负负频频率率)(1 n，只只有有数数学学意意义义，而而无无物物理理意意义义。为为什什么么引引入入负负频频率率? ? 的实函数的性质不变。的实函数的性质不变。

12、，才能保证，才能保证和和数，必须有共轭对数，必须有共轭对是实函数，分解成虚指是实函数，分解成虚指)(ee11jjtftfnn 五函数的对称性与傅里叶级数的关系偶函数偶函数奇函数奇函数奇谐函数奇谐函数偶谐函数偶谐函数注：指交流分量注：指交流分量1偶函数为实函数。为实函数。项。项。项，只含直流项和余弦项，只含直流项和余弦傅里叶级数中不含正弦傅里叶级数中不含正弦)(1 nF信号波形相对于纵轴是对称的信号波形相对于纵轴是对称的)()(tftf )(tfOtTET 0 nb 2010dcos)(4TnttntfTa nnnnabanFF21j21)(1 0 n 2奇函数)()(tftf 对对称称的的：波

13、波形形相相对对于于纵纵坐坐标标是是反反)(tfOtTT 11 为虚函数。；量，只可能包含正弦项傅里叶级数中无余弦分)(1nF 0= d)(1 220 TTttfTa 0dcos)(2221 TTnttntfTa TnttntfTb01dsin)(2 nnnnbbanFFj21j21)(1 2010dsin)(4TttntfT 3奇谐函数)(tfOtTT 2T2)(1Ttftf若波形沿时间轴平移半个周若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转，期并相对于该轴上下反转，此时波形并不发生变化：此时波形并不发生变化：0 6 , 4 , 2 nnban时时 210114 531Ttdtncos)t

14、(fTa,nn 时 210114Ttdtnsin)t (fTbn f(t)的傅氏级数偶次谐波为零，即的傅氏级数偶次谐波为零，即00 a六周期信号的功率这是这是帕塞瓦尔定理帕塞瓦尔定理在傅里叶级数情况下的具体体现在傅里叶级数情况下的具体体现; ;表明：表明： 周期信号平均功率周期信号平均功率= =直流、基波及各次谐波分直流、基波及各次谐波分量有效值的平方和；量有效值的平方和； 也就是说，也就是说，时域和频域的能量是守恒时域和频域的能量是守恒的。的。 nnnnnnnFcabaa21220122202121 TttfTP02d)(1七傅里叶有限级数与最小方均误差 1110sincosnnntnbtn

15、aatf )()12(tfN项项来来逼逼近近取取前前 NnnnNtnbtnaaS1110sincos 误差函数误差函数 NNStft )( 方均误差方均误差 100d)(1)(212TttNNNttTtE NnnnNNbaatftE122202221)( 主要内容本节以周期矩形脉冲信号为例进行分析本节以周期矩形脉冲信号为例进行分析主要讨论：频谱的特点，主要讨论：频谱的特点，频谱结构，频谱结构， 频带宽度，能量分布。频带宽度，能量分布。其他信号，如其他信号，如周期锯齿周期锯齿脉冲信号脉冲信号 周期三角周期三角脉冲信号脉冲信号 周期半波余弦周期半波余弦信号信号 周期全波余弦周期全波余弦信号信号请请

16、自学。自学。一频谱结构)(tf2 t1T1T E2 O1TE周周期期为为脉脉冲冲高高度度为为脉脉宽宽为为 三角函数形式的谱系数三角函数形式的谱系数指数函数形式的谱系数指数函数形式的谱系数频谱特点频谱特点1三角形式的谱系数 是个偶函数 tfnna ,a,b00 只有 )(tf2 t1T1T E2 O 122122101111TEdtETdttfTaTT 2 222 222111111111221221111 nSaETnSaTETnTnsinTETnsinnEdttTncosETdttncostfTaTTn112T tncosnSaETEtftncosTnSaTETEtfnn1111111111

17、22 或三角形式傅里叶级数为22j1122j111ej1de1 =tntnnTEtET 2j2j1111eej nnTnE 2sin2111 nTnE22sin111 nnTE 2指数形式的谱系数 2Sa11 nTE 22j11111de )(1)(TTtnttfTnF tn1j )(1 nF O 2Sa111 nTEnF3频谱及其特点(1)(1)包络线形状：包络线形状：抽样函数抽样函数(3)(3)离散谱（谐波性）离散谱（谐波性） 1时时取取值值当当 n 。处，为处，为其最大值在其最大值在10 )2(TEn 相相位位数数），幅幅度度函函是是复复函函数数（此此处处为为实实）（/)(51 nF 2

18、)4 第一个零点坐标：第一个零点坐标：（1 12 1TE 2 22令令 。相位为相位为，相位为，相位为, 000 nnFF 5 T图图中中4总结 非非周周期期信信号号。由由周周期期信信号号为为无无限限小小，时时，当当 tfTET1110 1112TT 谱线间隔谱线间隔幅度幅度 矩形脉冲的频谱说明了周期信号频谱的特点：矩形脉冲的频谱说明了周期信号频谱的特点： 离散性、谐波性、收敛性。离散性、谐波性、收敛性。说明说明1.问题提出二频带宽度)(1 nF O1 12 1TE 2第一个零点集中了信号绝大部分能量（平均功率）第一个零点集中了信号绝大部分能量（平均功率）由频谱的由频谱的收敛性收敛性可知，信号

19、的功率集中在低频段。可知，信号的功率集中在低频段。 而总功率而总功率周期矩形脉冲信号的功率二者比值二者比值 21212121432 FFFF2181. 0E 21212121254320 FFFFFPn nTnFttfTP2102d)(1 20212 . 0d)(11EttfTT %5 .905 PPn次谐波次谐波为例，取前为例，取前以以 5 s41, s2011 T 在满足一定失真条件下，信号可以用某段频率范围在满足一定失真条件下，信号可以用某段频率范围的的信号来表示，此频率范围称为信号来表示，此频率范围称为频带宽度频带宽度。2频带宽度对于一般周期信号，将幅度下降为对于一般周期信号，将幅度下

20、降为 的的频率区间定义为频带宽度。频率区间定义为频带宽度。 max1101 nF一般把第一个零点作为信号的频带宽度。记为：一般把第一个零点作为信号的频带宽度。记为： ，带宽与脉宽成反比。，带宽与脉宽成反比。或或 12 fBB语音信号语音信号 频率大约为频率大约为 3003400Hz，音乐信号音乐信号 5015,000Hz，扩音器与扬声器扩音器与扬声器 有效带宽约为有效带宽约为 1520,000Hz。3系统的通频带信号的带宽，才能不失真3.4 傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换的表示傅里叶变换的表示傅里叶变换的物理意义傅里叶变换的物理意义傅里叶变换存在的条件傅里叶变换存在的条件一傅里叶变换

21、)(tf：周期信号：周期信号非周期信号非周期信号 22j11111de )(1)(TTtnttfTnF 谱谱系系数数连续谱，幅度无限小；连续谱，幅度无限小；离散谱离散谱. 引出 1T0再用再用 表示频谱就不合适了，虽然各表示频谱就不合适了，虽然各频谱幅度无限小，但相对大小仍有区别，频谱幅度无限小，但相对大小仍有区别，引入引入频谱密度函数频谱密度函数。 1 nF11 2 T 谱线间隔谱线间隔0 0 02111 )n(F,T 22j11111de )(1)(TTtnttfTnF 11lim1 nFTFT 22j1111de )(limTTtnTttf 连续， 11ndn 11111121 nFTn

22、FnFT 时时，当当 1T（1） 有界函数11 nF频谱密度函数频谱密度函数简称频谱函数简称频谱函数1T 1T 单位频带上的频单位频带上的频谱值谱值1n j)(tdtetf 1T 21T21T 频谱密度函数的表示)(je| )(|)( FF )(称为傅里叶变换。称为傅里叶变换。求求由由 Ftf ,故可表示为故可表示为一般为复信号一般为复信号 F 幅度频谱幅度频谱: F 相相位位频频谱谱: )(de )()(jtfFttfFt 2反变换 ntnnFtf1j111e)()( 2)(11lim1 nFT )(11lim1 nFTFT 11)(lim1 nFT 2 F ,d1 1n,1时时当当 T d

23、e21jtFtf )(的的反反变变换换？应应是是 Ftf由复指数形式的傅里叶级数由复指数形式的傅里叶级数11 ，再乘以，再乘以除以除以tnnnFtf1j1e )()( 3傅里叶变换对 )(de )()(jtfFttfFt FFeFtft1jd21)( Ftf 简简写写欧拉公式欧拉公式 ttfFtde )(j ttttftfdsinjcos)()(oe 二傅里叶变换的表示 0o0edsin)(2jdcos)(2tttftttf 实部实部虚部虚部 XRFFjej 实部实部虚部虚部模模相位相位实信号实信号 偶分量偶分量 奇分量奇分量 tftftfoe)( 偶偶函数函数（奇奇分量为分量为零零） tf

24、F R 为为实实函数，只有函数，只有 ，相位，相位 0edcos)(2tttfR 的的偶偶函函数数关关于于 0odsin)(2tttfX 22 XRF RXarctan F 奇奇函数函数（偶偶分量为分量为零零） tf X2 为为虚虚函数，只有函数，只有 ，相位，相位的的偶偶函函数数关关于于 的的奇奇函函数数关关于于 的的奇奇函函数数关关于于 de21)(jtFtf 三傅里叶变换的物理意义 dee21j)(jtF dsin21j dcos21 tFtF dcos10 tF tFcosd0实函数实函数 jeFF 欧拉公式欧拉公式积分为积分为0 tFtfcosd0 0 :, d1 频频域域范范围围之

25、之和和的的连连续续余余弦弦信信号号无无穷穷多多个个振振幅幅为为无无穷穷小小 F 求和求和 振幅振幅 正弦信号正弦信号 。域域信信号号之之和和，占占据据整整个个频频的的连连续续指指数数无无穷穷多多个个幅幅度度为为无无穷穷小小 : , d21 F解释 ttFFtf jjed2de21)( 四傅里叶变换存在的条件所有能量信号均满足此条件。所有能量信号均满足此条件。 绝对可积绝对可积即即tf )( d充充分分条条件件有有限限值值 ttf 函函数数类类型型大大大大扩扩展展了了。傅傅里里叶叶变变换换的的函函数数的的概概念念后后，允允许许作作当当引引入入 矩形脉冲矩形脉冲单边指数信号单边指数信号直流信号直流

26、信号符号函数符号函数升余弦脉冲信号升余弦脉冲信号一矩形脉冲信号 22jde tEFt22jej tEj2ee.22j2j E22sin E 2Sa E 2Sa EF幅度频谱：幅度频谱：相位频谱：相位频谱： 2 21 4 00,1,2,2 21 2 22 nnnnn EO tft2 2 12241222 nnnn 1412222212 nnnnt tSa123O 12 fBB或或频谱图 2Sa EF幅度频谱幅度频谱相位频谱相位频谱频宽：频宽： F E 2O 4 2 F E 2O 4 2 2 SaEF ttuE)t (fFFtjtdee 0 000ettEtft 二单边指数信号 jde0 j EtEt tfOtE频谱图 22 EF 0, 0 FEF arctan 2,2,0, 0 幅度频谱：幅度频谱：相位频谱：相位频谱： FO E O 2 2 jEF tEtf,)(三直流信号不满足绝对可积不满足绝对可积条件，不能直接条件，不能直接用定义求用定义