年上海市高三数学一轮复习：立体几何练习题2

1、2021 年上海市高三数学一轮复习：立体几何练习题一、挑选题1一个几何体的三视图及其尺寸单位： cm 如 图所示，就该几何体的体积为a80cm3b 81cm3c 64cm3d 48cm3答案 c1解析 该几何体是一个正四棱锥，其高为h 3cm，所以其体积为v 3× 64×364cm3 理已知四棱锥pabcd的三视图如图，就四棱锥p abcd的全面积为 a35b 25c 5d 4答案 a解析 画出直观图如图其中pd 2，底面正方形边长为1，ba ad， pd平面 abcd， ba pa， 在 rt pad中， pa5，11四棱锥的全面积s 1×12× 2&

2、#215;1×2 2× 5× 1×235.2已知正四棱锥s abcd中， sa 23，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为a1b.3c 2d 3答案 解析 c如下列图，设正四棱锥高为h，底面边长为a，就22 a12h2，即 a2 212 h2，122v 3× a2×h3h12 h2 3h3 12h，令 fh h3 12h，就 fh3h2 120<h<23，由 fh0 得， h 2，此时 fh 有最小值， v 有最大值3在棱长为1 的正方体abcd a1b1c1d1 内任取一点p，就点 p 到点 a 的距离不大于1 的概率为

3、22a. 2b. 2 11c.6d.6答案 d.解析 由条件知， 点 p 所在区域是以a 为球心， 1 为半径的球的又正方体体积为1，所求概率p 611 48，故体积 v 8×3× 136 ，4 如某空间几何体的三视图如图所示，就该几何体的体积是a2b 121c.3d.3答案 b解析 由几何体的三视图可知，该几何体是直三棱柱，其直观图如下列图，其体积为1v2× 2× 1×2 1.理如某几何体的三视图单位： cm如下列图，就此几何体的体积是单位： cm3a9b 12c 18答案 cd 24解析 观看三视图可知，该几何体是由下、下两个长方体构成直观

4、图如图，上层长、宽、高分别为 3cm,3cm,1cm ，下层长方体长、宽、高分别为1cm,3cm,3cm ，故其体积为3×3×11× 3×318.5一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为这个三棱柱的体积是a963b 4 83c 243d 163答案 b323 ，那么解析 已知正三棱柱的高为球的直径，底面正三角形的内切圆是球的大圆设底面正三角4形的边长为a，球的半径为r，就 a 23r，又 3 r33233 ， r 2， a 43，于是 v4a2·2r483. 6如圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，就圆

5、锥侧面积与球面面积之比为 a.2 2b.3 2c.5 2d 3 2答案 cr14rr2解析 设圆锥底半径为r，高为 h ，就球半径r 2，由条件知， 3 r2h 3 2 3， h ，圆锥侧面积s1 rh2 r2 rr2 r2452 r2，球面面积s24r24rs152 r2，.×2s22理如图是某几何体的三视图，其中正主视图是斜边长为2a 的直角三角形，侧左视图是半径为 a 的半圆，就该几何体的体积是3a. 6 a3b.3 a33c. 4 a3d 23 a3答案 a解析 由侧 左视图半圆可知，该几何体与圆柱、圆锥、球有关，结合正主视图是一个直角三角形知该几何体是沿中心轴线切开的半个圆

6、锥将剖面放置在桌面上如图，由条件知，圆锥的母线长为2a，底面半径为a， 故高 h2a2 a23a，体积 v11× × ×a2 3a 2336 a3.7 文 已知某几何体由三个圆柱和大小相同的两个半球组成，它的三视图如图，依据图中标出的尺寸 单位： dm，可得这个几何体的表面积是25a. 2 dm2b 9 dm219c. 2 dm2d 11 dm2答案 a解析 由三视图可知该几何体左、右各是半球和两个圆柱，半球的直径为2，圆柱的高为 1，底面直径为2，中间圆柱的高为3，底面直径为1，故几何体的表面积由一个球的面积， 中间圆柱的侧面积，左右两个圆柱的侧面积和左右两个圆

7、柱与中间圆柱形成的两个圆环面积 s 球 422 4，中间圆柱侧面积s1 × 1×33，左右两个圆柱的侧面积s2×22132× × 2×41， 圆环面积s3 2××2 2 ×2 2 2 ，几何体的表面积s 4 3 4325 2 2 dm2.点评 解决这类问题的关键是由三视图探求该几何体的外形此题中的几何体两端是相同大小的半球，仍有两个大小相同的圆柱，中间有一个圆柱值得留意的是：通过观看三视图知道，三个圆柱的底面是和半球的圆面重合或平行的，并且中间圆柱的底面与两端圆柱的底面有一部分重合只有明白了几何体的结构外

8、形才能保证运算精确理如图 1 所示，一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为 1cm 和半径为 3cm 的两个圆柱组成的简洁几何体当这个几何体如图 2水平放置时，液面高度为 20cm，当这个几何体如图 3水平放置时，液面高度为 28cm，就这个简洁几何体的总高度为 a29cmb 30cmc 32cmd 48cm答案 a解析 如图 2，设下面圆柱高度为h，就上面小圆柱内液面高度20 h，又设余下部分为 h，就图 3 中，下面圆柱高度为h 20 h，故上面圆柱液面高度为28 h 20 h h 8 h，由两圆柱内液体体积相等得9h 20 h h 20 h 9 h 8 h，h 9， 几何体总高度

9、为20 9 29cm.点评 抓住问题的关键环节可以有效的提高解题的速度，此题中如设几何体的总高度为h， 由几何体的总容积肯定，内装液体的体积肯定可得闲暇部分的体积相等，× 32×h28× 12×h20， h 29cm ，解题过程就简捷多了8如图，正方体abcda1b1c1d1 的棱长为2.动点 e， f 在棱 a1b1 上，点 q 是棱 cd 的中点，动点 p 在棱 ad 上如 ef 1，dp x，a1eyx，y 大于零 ，就三棱锥p efq的体积a与 x， y 都有关b与 x， y 都无关c与 x 有关，与y 无关 d与 y 有关，与x 无关答案 c1

10、解析 设 p 到平面 efq的距离为h，就 vp efq 3×s efq·h ，由于 q 为 cd 的中点，点 q 到直线 ef的距离为定值2，又 ef 1， s efq为定值，而p 点到平面 efq的距离，即 p 点到平面 a1b1cd 的距离，明显与x 有关、与y 无关，应选c.理如图，正方体 abcda1b1c1d1 的棱长为 2，动点 e， f 在棱 a1b1 上，动点 p， q 分别在棱 ad、cd 上，如 ef1， a1e x， dq y， dp zx， y， z 大于零 ，就四周体 pefq的体积 a 与 x， y， z 都 有 关 b与 x 有关，与y， z

11、 无关c 与 y 有关，与x， z 无关 d与 z 有关，与x， y 无关答案 d 解析 这道题目连续了北京近年高考的风格，即在变化中查找不变，从图中可以分析出，1efq 的面积永久不变，为矩形a1b1cd 面积的 4与 x， y 的值无关 ，而当 p 点变化 即 z 变化时，它到平面a1b1cd的距离是变化的，因此会导致四周体体积的变化 二、填空题9有一个底面半径为1、高为 2 的圆柱，点o 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点 p，就点 p 到点 o 的距离大于1 的概率为 2答案 31 42解析 到点 o 的距离小于等于1 的点组成以o 为球心的半球，v 半球2× &

12、#215; 12， v 2 332 32圆柱 × 12×22，故所求概率p23.10文球 o 与棱长为2 的正方体abcd a1b1c1d1各面都相切， 就球 o 的体积为 4答案 3解析 球 o 的直径等于正方体的棱长2，r 1， v44 3 r3 3 .理如下列图，在abc中， c 90°， a30°，bc 1.在三角形内挖去半圆圆心 o 在边ac 上，半圆分别与bc、ab 相切于点c、m ，与 ac 交于点n，就图中阴影部分绕直线ac旋转一周所得旋转体的体积为 答案 53271解析 阴影部分绕ac旋转一周所得旋转体为圆锥中挖去一个球，圆锥的体积 v

13、 3× 12×33 3 ，×球体积 v1433334 327，故所求体积为3 433275 327.11 一个几何体的三视图如下列图，其中俯视图为正三角形，就该几何体的表面积为 答案 24 23解析 由三视图可知，该几何体是一个正三棱柱，底面边长为2，高为4，故其表面积s2× 3× 2242× 3×424 23.12已知一个空间几何体的三视图如下列图，依据图中标出的尺寸单位： cm，可得这个几何体的体积为 答案 4cm3解析 由三视图可知，此几何体为底面是直角梯形的四棱锥p abcd，其中侧棱pa 与底面 abcd垂直，其直

14、观图如图，底面的面积为6cm2，此四棱锥的高为h 2cm，所以此四棱锥的体积为13× 6×24cm3.理某几何体的三视图如图尺寸的长度单位为m 就该几何体的体积为 m3.答案 4解析 由三视图知，三棱锥的高为侧视图中直角三角形的竖直边，底面三角形一边上的高恰为左视图中直角三角形的水平边，其直观图如下列图pf 2， ce 3， ab4，11v 3× 22×3×44m3三、解答题13 文如图，在底面是矩形的四棱锥pabcd中， pa平面 abcd，pa ab 2，bc4，e 是 pd 的中点求三棱锥c ade的体积解析 pa平面 abcdcd. 平

15、面 abcd cdadad pa a. cdpa. cd平面 pad.cd 为三棱锥c ade的高，在rt pad中，11 1s aed 2s pad2×2× 2×42.114vc ades aed·cd × 2×2 .333理在如下列图的几何体中，四边形abcd是正方形， ma 平面 abcd， pd ma ， e、g、f分别为 mb 、pb、pc 的中点，且ad pd 2ma.1求证：平面efg平面 pdc；2求三棱锥 p mab 与四棱锥p abcd的体积之比解析 1证明： ma 平面 abcd， pd ma ，pd平面 abc

16、d，又 bc. 平面 abcd， pdbc，abcd为正方形，bc dc.pddc d， bc平面 pdc.在 pbc中，由于g、f 分别为 pb、pc的中点，gf bc， g f平面 pdc.又 gf. 平面 efg，平面efg平面 pdc.2不妨设 ma 1， abcd为正方形，pd ad2，又 pd平面 abcd，所以 vp abcd1s正方形 abcd·pd 833.由于 da平面 mab，且 pd ma ， 所以 da 即为点 p 到平面 mab 的距离，1122三棱锥 vp mab × × 1×2×2 . 33所以 vp mab v

17、p abcd 1 4.14如图，四棱锥s abcd的底面是矩形，sa底面 abcd，p 为 bc边的中点， ad 2， saab 1.1求证： pd平面 sap；2求三棱锥 s apd 的体积解析 1 sa平面 abcd， pd. 平面 abcd，sapd，在矩形abcd中， ad 2， ab 1， p 为 bc中点，appd， saap a， pd平面 sap.11 112易求 ap2， pd2， vs apd3sapd·sa3×2× 2× 2×1 3.理如下列图，矩形abcd中， ad平面 abe，ae eb bc2， f 为 ce上的点，

18、且bf平面 ace.1求证： ae平面 bce；2求三棱锥 c bgf的体积解析 1 ad平面 abe， ad bc，bc平面 abe， ae bc， 又 bf平面 ace， ae bf，又 bfbc b， ae平面 bce.2由题意可得， g 是 ac 的中点，连接fg，bf 平面 ace， ce bf，又 bc be，f 是 ec的中点，1在 aec中， fg ae， fg2ae 1，ae平面 bce， fg平面 bcfce cf2，在 rt bec中， bf 121sbcf2× 2× 2 1，11vcbgf vg bcf 3·s bcf·fg 3.15已知 p 在矩形 abcd的边 dc 上， ab 2， bc 1， f 在 ab 上且 df ap，垂足为e，将adp 沿 ap 折起，使点d 位于 d位置，连接db、dc得四棱锥d abcp.1求证： dfap；2如 pd