年中考数学专题复习卷《锐角三角函数》含解析

1、锐角三角函数一、挑选题1. 运算=（）a.b.1c.d.【答案】 b【解析】： tan 45° =1故答案为 :b ；【分析】依据特别锐角三角函数值即可得出答案；2. 以下运算结果正确选项a.3a3·2a 2=6a6b.-2a2=-4a 2c.tan45 °=d.cos30°=【答案】 d【解析】a 、原式 =6a5， 故不符合题意； b、原式 =4a2， 故不符合题意； c、原式 =1，故不符合题意；d、原式 =，故符合题意故答案为： d【分析】依据单项式乘以单项式，系数的积作为积的系数，对于相同的字母，底数不变，指数相加；积的乘方，等于把积中的每一个

2、因式分别乘方，再把所得的幂相乘；依据特别锐角三角函数值即可一一得出答案，再进行判定即可；3. 如图 , 在菱形 abcd中, 对角线 ac、bd相交于点0,bd=8,tan abd=, 就线段 ab的长为 .a. b.2c. 5d. 10【答案】 c【解析】：菱形abcd,bd=8 ac bd，在 rt abo中， ao=3故答案为： c【分析】依据菱形的对角线相互垂直平分，得出ac bd，求出 bo的长，再依据锐角三角函数的定义，求出 ao的长，然后依据勾股定理就可求出结果；4. 数学活动课，老师和同学一起去测量校内某处的大树的高度，如图，老师测得大树前斜坡的坡度 i=1:4 ，一同学站在离

3、斜坡顶端的水平距离df 为 8m处的 d点，测得大树顶端a 的仰角为，已知， be=1.6m，此同学身高cd=1.6m，就大树高度ab为（） m.a.7.4b.7.2 c.7 d.6.8【答案】 d【解析】如下列图 : 过点 c作延长线于点g,交 ef 于点 n,依据题意可得:,运算得出 :,设, 就,故, 即,运算得出 :,故,就,故答案为： d.【分析】将大树高度ab 放在直角三角形中，解直角三角形即可求解；即：过点c作c g a b延长线于点 g,交 ef 于点 n, 由于斜坡d e的坡度 i=1:4 ，所以, 解得 ef=2，而sin=，设 ag=3x,就 ac=5x , 所以 bc=

4、4x,即 8+1.6=4x,解得x = 2.4，所以ag=2.4×3=7.2m , 就ab=ag- bg=7.2- 0.4=6.8m ；5. 如图，电线杆cd的高度为h，两根拉线ac与 bc相互垂直，cab= ，就拉线bc的长度为（ a、d、 b在同一条直线上）（）a. b.c.d.h.cos 【答案】 b【解析】： cad+acd=9°0， acd+bcd=9°0， cad= bcd，在 rt bcd中， cos bcd=， bc=，应选： b【分析】依据同角的余角相等得cad=bcd，由 os bcd=知 bc=6. 如图， abc内接于 o，ad为 o的直径

5、， 交 bc于点 e，如de 2，oe 3，就（）a.4b.3c.2d.5【答案】 a【解析】：如图，连接bd，cd do=2， oe=3 oa=od=5 ae=oa+oe=8 abe=edc， aeb= dec abe dec同理可得：aec bed由×得 ad是直径 abd=acd=9°0 tan acb= adb= tan abc=tan adc=tan acb tan abc=4故答案为： a【分析】 依据 od和 oe的长，求出ae的长，再依据相像三角形的性质和判定，得出，利用锐角三角函数的定义，可证得tan acb tan abc=，代入求值即可；7. 在a.r

6、t abc中， c=90°，3ac=4， cosa 的值等于, 就ab 的长度是（）b.4c.5d.【答案】 d【解析】： rt abc中， c=90°， cosa 的值等于 cos a=解之： ab=故答案为： d【分析】依据锐角三角函数的定义，列出方程cos a=，求出 ab的值即可；8. 如图，一艘轮船在a 处测得灯塔p 位于其北偏东60°方向上， 轮船沿正东方向航行30 海里到达b 处后，此时测得灯塔p 位于其北偏东30°方向上，此时轮船与灯塔p 的距离是（）a. 15海里b.30 海里c.45 海里d.30海里【答案】 b【解析】：作 bdap

7、，垂足为d依据题意，得 bad=30°，bd=15海里， pbd=60°，就 dpb=30°， bp=15×2=30（海里），应选： b【分析】作cd ab，垂足为d构建直角三角形后，依据30°的角对的直角边是斜边的一半，求出bp9. 如图，在中，就等于（）a.b.c.d.【答案】 a【解析】：在 rt abc中， ab=10、ac=8， bc=， sina=.故答案为： a【分析】第一依据勾股定理算出bc的长，再依据正弦函数的定义即可得出答案；10. 一艘在南北航线上的测量船，于 a 点处测得海岛b 在点 a 的南偏东30°方向，

8、连续向南航行30 海里到达 c 点时，测得海岛b 在 c 点的北偏东15°方向， 那么海岛b 离此航线的最近距离是（结果保留小数点后两位）（参考数据：）（）a.4.64 海里b.5.49 海里c.6.12 海里d.6.21 海里【答案】 b【解析】：依据题意画出图如下列图：作bdac，取 be=ce， ac=30， cab=30° acb=15°， abc=13°5 ，又 be=ce， acb=ebc=15°， abe=120°，又 cab=30° ba=be， ad=de，设 bd=x，在 rt abd中， ad=de=x

9、 ， ab=be=ce=2，x ac=ad+de+ec=2x+2x=30 ， x=5.49 ，故答案为： b.【分析】依据题意画出图如下列图：作bd ac，取 be=ce，依据三角形内角和和等腰三角形的性质得出ba=be， ad=de，设 bd=x， rt abd中，依据勾股定理得ad=de=x ， ab=be=ce=2，x 由 ac=ad+de+ec=2 x+2x=30 ，解之即可得出答案.二、填空题11. 在 abc中， c=90°，如tana=，就 sinb=【答案】【解析】：如下列图： c=90°， tana=，设 bc=x，就 ac=2x，故 ab=x， 就 si

10、nb=.故答案为：【分析】依据正切函数的定义由tana=， 设 bc=x，就 ac=2x，依据勾股定理表示出ab的长，再依据正弦函数的定义即可得出答案；12. 如图，在菱形纸片abcd中，将菱形纸片翻折，使点a 落在 cd的中点 e 处，折痕为 fg，点分别在边上，就的值为 【答案】【解析】如图，作eh ad于 h，连接 be， bd、ae交 fg于 o，由于四边形abcd是菱形， a=60°，所以 adc是等边三角形， adc=12°0 ，点 e 是 cd的中点，所以 ed=ec=，be cd，rt bce中， be=ce=，由于 ab cd，所以 be ab，22设 a

11、f=x，就 bf=3-x， ef=af=x，2在 rt ebf中，就勾股定理得，x=3-x+，解得 x=，rt deh中， dh=de=， he=dh=，rt aeh中， ae=， 所以 ao=，rt aof中， of=，所以 tan efg=，故答案为. 【分析】作eh ad于 h，连接 be，bd、ae交 fg于 o，依据菱形的性质及等边三角形的判定方法得出adc是等边三角形， adc=12°0 ，依据等边三角形的三线合一得出ed=ec=， be cd， rt bce中， 依据勾股定理得出be,ce 的长， 依据平行线的性质得出be ab，设 af=x，就 bf=3-x ，ef=

12、af=x，在 rt ebf中，就勾股定理得出方程求解得出x 的值， rt deh中， dh=de=， he=dh=，rt aeh中，利用勾股定理得出ae的长，进而得出ao的长， rt aof中，利用勾股定理算出of的长，依据正切函数的定义得出答案；13. 如图，在 rt abc中， b=90°， c=30°， bc=，以点 b 为圆心， ab为半径作弧交ac于点 e，就图中阴影部分面积是 【答案】【解析】：连接 be b=90°， c=30°，bc=， a=60°， ab=1 ab=eb， abe是等边三角形， abe=60°， s

13、弓形 =s 扇形 abe s abe=故答案为：【分析】连接 be由于 b=90°，c=30°，bc=， 由 c 的正切可得tan c=, 所以 ab=1， 由题意以点b 为圆心， ab 为半径作弧交ac于点 e 可得 ab=eb，所以 abe是等边三角形，就 abe=60°， 图中阴影部分面积=扇形 abe的面积 - 三角形 abe的面积 =-×1×=-.14. 如图， 某高速大路建设中需要测量某条江的宽度ab，飞机上的测量人员在c 处测得 a，b 两点的俯角分别为 45°和 30°如飞机离地面的高度ch为 1200 米，

14、且点h， a， b 在同一水平直线上，就这条江的宽 度 ab 为 米（结果保留根号）【答案】【解析】：依题可得： acd=4°5, bcd=3°0,ch=1200, cd ab， cah=acd=4°5 , cbh=bcd=3°0 , ah=ch=1200,设 ab=x 米 ， 在 rt chb中， tan cbh=,即=， 解得： x=1200-1200.故答案为： 1200-1200.【分析】 依据平行线的性质结合已知条件得cah=acd=4°5, cbh=bcd=3°0, 设ab=x 米，在 rt chb中，依据正切三角函数定义

15、建立等式，代入数值解方程即可得ab长 .15. 如图， 在菱形 abcd中，ab=2， b 是锐角， ae bc于点 e，m是 ab 的中点， 连结 md，me如 emd=9°0 ，就 cosb 的值为 ；【答案】【解析】：延长 dm交 cb的延长线于h，四边形abcd为菱形， ab=ad=bc=2,ad bc， adm=h，又 m是 ab的中点， am=bm=，1在 adm和 bhm中， adm bhm（ aas）， dm=hm， ad=bh=2, em dm， eh=ed,设 be=x， eh=ed=2+，x ae bc， aeb=ead=90°,22222 ae=ab

16、-be =ed-ad ,即 22-x 2=（ 2+x） 2-2 2,化简得： x 2+2x-2=0 ， 解得： x=-1 ，在 rt abe中， cosb=.故答案为：.【分析】延长dm交 cb的延长线于h，由菱形的性质和平行线的性质可得：ab=ad=bc=2, adm=h；由全等三角形的判定aas得 adm bhm，再依据全等三角形的性质得dm=hm，ad=bh=2,依据等腰三角形三线合一的性质可得eh=ed设,be=x，就 eh=ed=2+x，依据勾股定理得ae2=ab2-be2=ed2-ad2, 代入数值解这个方程即可得出be的长 .16. 如图，在边长为1 的小正方形网格中，点a、b、

17、c、d 都在这些小正方形的顶点上，ab、cd相交于点o， 就 tan aod= .【答案】 2【解析】：连接 be交 cf 于点 g（如图），四边形bcef是边长为1 的正方形， be=cf=， be cf， bg=eg=cg=fg=,又 bf ac， bfo aco，, co=3fo， fo=og=cg=，在 rt bgo中， tan bog=2,又 aod= bog, tan aod=2.故答案为 :2.【分析】连接be交 cf于点 g（如图），依据勾股定理得be=cf=，再由正方形的性质得becf， bg=eg=cg=fg=, 又依据相像三角形的判定得bfo aco，由相像三角形的性质得

18、,从而得 fo=og=cg=，在 rt bgo中依据正切的定义得tan bog=2, 依据对顶角相等从而得出答案 .17. 如图；在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点.的顶点都在格点上, 就的正弦值是 【答案】222222222222【解析】 ab=3 +4 =25， ac=2 +4 =20，bc=1 +2 =5， ac+bc=ab， abc为直角三角形，且2，2，acb=90°，就sin bac=故答案为：2，【分析】 第一依据方格纸的特点，算出 abac bc然后依据勾股定理的逆定理判定出abc为直角三角形，且 acb=90°，依据正弦函数的定义即可得出答案；1

19、8. 一副含 30°和 45°角的三角板abc和 def叠合在一起，边bc与 ef 重合， bc=ef=12cm（如图 1），点 g为边 bc（ ef）的中点，边fd 与 ab相交于点h，此时线段bh的长是 现将三角板def绕点 g按顺时针方向旋转 （如图 2），在 cgf从 0°到 60°的变化过程中， 点 h 相应移动的路径长共为 （结果保留根号）【答案】；【解析】：如图如图 1 中，作 hm bc于 m，hn ac于 n，就四边形hmcn是正方形，设边长为a.在 rt abc中 , abc=30°， bc=12， ab=8，在 rt bh

20、m中， bh=2hm=2，a在 rt ahn中 ,ah=a， 2a+=8， a=6- 6， bh=2a=12- 12.如图 2 中, 当 dg ab时, 易证 gh1 df，bh1 的值最小 , 就 bh1=bk+kh1=3+3， hh1=bh- bh1=9- 15，当旋转角为60°时， f 与 h2重合，易知bh2=6，观看图象可知, 在 cgf从 0°到 60°的变化过程中，点 h 相应移动的路径长=2hh1+hh2=18- 30+6- 12- 12=12- 18，故答案为： 12- 12,12- 18. 【分析】 如图 1 中，作 hm bc于 m，hn a

21、c于 n，就四边形hmcn是正方形，设边长为a，利用解直角三角形求出ab的长，用含a 的代数式分别表示bh、ah的长，再依据ab=ah+b，h就可求出a 的值，从而求出bh的值即可；如图2 中, 当 dg ab时, 易证 gh1 df，得出此时bh1 的值最小，求出 bh1 的值，再求出bh2 的值，然后求值在cgf从 0°到 60°的变化过程中，点h 相应移动的路径长即可；三、解答题题19.先化简，再求值：（）÷，其中 a=2sin60 ° tan45 °【答案】 解：原式 =. （ a 1）=.（ a 1）=当 a=2sin60 °

22、; tan45 °=2×1= 1 时，原式 =【解析】 【分析】将原式括号内通分、将除法转化为乘法，再运算减法，最终约分即可化简原式，依据特别锐角三角函数值求得a 的值，代入即可20. 为了运算湖中小岛上凉亭p 到岸边大路l 的距离，某数学爱好小组在大路l 上的点 a 处，测得凉亭p在北偏东60°的方向上； 从 a 处向正东方向行走200 米，到达大路l 上的点 b 处， 再次测得凉亭p 在北偏东 45°的方向上，如下列图求凉亭p 到大路 l 的距离（结果保留整数，参考数据：，）【答案】 解：依题可得：ab=200米， pac=60°， pbd

23、=45°，令pg=x米，作 pgl ， pag=3°0 ， pbg=45°， pbg为等腰直角三角形， bg=pg=x,在 rt pag中，tan30 °=,即， x=100 （+1） 273答：凉亭p到大路 l 的距离是273 米【解析】 【分析】令pg=x米，作 pg l ，依据题意可得pbg为等腰直角三角形，即bg=pg=x在,rt pag中，依据锐角三角函数正切定义可得tan30 °=, 代入数值解方程即可.21. 如图，湛河两岸 ab与 ef平行，小亮同学假期在湛河边 a 点处，测得对岸河边 c处视线与湛河岸的夹角 cab=37

24、76;，沿河岸前行 140 米到点 b 处，测得对岸 c 处的视线与湛河岸夹角 cba=45°. 问湛河的宽度约多少米 . 参考数据： sin37 ° 0.60 ，cos37°=0.80 ，tan37 °=0.75【答案】 解：过 c作 cd ab于点 d，设 cd=x米在 rt bdc中， cdb=9°0， cbd=4°5，bd=cd=x在 rt adc中， adc=9°0， cad=3°7，ad= ab=ad+db=14，0 ， x=60答：湛河的宽度约60 米【解析】 【分析】过c 作 cd ab于点 d，设

25、 cd=x米，在 rt bdc中， cdb=9°0， cbd=4°5，依据等腰三角形的性质可得bd=cd=x，在 rt adc中， adc=9°0， cad=3°7，由tan cad=tan37°=,所以 ad=, 而由题意得ab=ad+db=14，0 所以+ x = 140，解得 x=6022. 已知 : 在平面直角坐标系中, 点 0 为坐标原点 , 点 a 在 x 轴的负半轴上, 直线与 x 轴、y 轴分别交于b、c两点 , 四边形 abcd为菱形 .（ 1）如图 1，求点 a 的坐标；（ 2）如图 2, 连接 ac,点 p 为 acd内一

26、点 , 连接 ap、bp,bp 与 ac交于点 g,且 apb=60°, 点e 在线段 ap上, 点 f 在线投 bp 上, 且 bf=ae.连接 af、ef, 如 afe=30°, 求af+ef的值 ;（ 3）如图 3 在2 的条件下 , 当 pe=ae时, 求点 p 的坐标 .【答案】 （1）解：如图1:bo=， co=在 r bco中四边形abcd为菱形 ab=bc=7 ao=ab-bo=（ 2）解：如图2 ao=bo， co ab ac=bc=7ab=ac=bc abc为等边三角形acb=60°, apb=60° apb= acb pag+apb

27、= agb= cbg+ acb pag=cbg连接 ce、cf ae=bf ace bcf ce=cf ace= bcf ecf=acf+ ace= acf+ bcf=acb=60° cef为等边三角形 cfe=60°ef=fc afe=30°afc= afe+cfe=90°在 rt acf中 af2+cf2=ac2=72=49 af2+ef2=49（ 3）解：如图由2 知 cef为等边三角形 cef=60°ec=ef延长 ce、fa 交于点 h afe=30° cef= h+ efh h= cef-efh=30° h=efh eh=efec=eh连接 cp pe=ae cep= hea cpe hae pce= h:cp fh hfp= cpf在 bp上截取 tb=ap连接 tc 由2 知 cap= cbt ac=bc, acp