高三数学文二轮复习通用版教师用书：题型专题二　平面向量 Word版含答案

1、高考数学精品复习资料2019.5题型专题(二)平面向量平面向量的概念及线性运算(1)在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化(2)在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量的终点所在的向量； 在用三角形减法法则时要保证“同起点”， 结果向量的方向是指向被减向量题组练透1 (20 xx河北三市联考)已知 e1， e2是不共线向量， ame12e2， bne1e2， 且 mn0，若 ab，则mn等于()a12b.12c2d2解析：选 cab，ab，即 me12e2(ne1e2)，则nm，2，解得mn2.2(20 xx

2、唐山模拟)在等腰梯形 abcd 中，m 为 bc 的中点，则()解析：选 b因为，所以.又 m 是 bc 的中点，所以，故选 b.3(20 xx广州综合测试)在梯形 abcd 中，adbc，已知 ad4，bc6，若(m，nr)，则mn()a3b13c.13d3解 析 ： 选 a过 点 a 作 aecd ， 交 bc 于 点 e ， 则 be 2 ， ce 4 ， mn1133.4(20 xx杭州综合测试)设 p 是abc 所在平面内的一点，且，则pab与pbc 的面积的比值是()a.13b.12c.23d.34解析：选 b，又pab 在边 pa 上的高与pbc 在边pc 上的高相等，spabs

3、pbc12.技法融会1平面向量线性运算的 2 种技巧(1)对于平面向量的线性运算问题，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，灵活运用三角形法则、平行四边形法则，紧密结合图形的几何性质进行运算(2)在证明两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断；若两向量不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理(当 b0 时，ab存在唯一实数，使得 ab)来判断2(易错提醒)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线平面向量的数量积(1)两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两个向量的模与两向量夹角的余弦的乘积

4、，其符号由夹角的余弦值确定(2)求非零向量 a，b 的夹角，一般利用公式 cosa，bab|a|b|先求出夹角的余弦值，然后求夹角(3)向量 a 在向量 b 方向上的投影为ab|b|a|cos(为两向量的夹角)题组练透1(20 xx全国丙卷)已知向量12，32 ，32，12 ，则abc()a30b45c60d120解析：选 a因为12，32 ，32，12 ，所以343432.又因为|cosabc11cosabc32，所以 cosabc32.又 0abc180，所以abc30.2(20 xx合肥质检)已知不共线的两个向量 a，b 满足|ab|2 且 a(a2b)，则|b|()a. 2b2c2 2

5、d4解析：选 b由 a(a2b)得，a(a2b)|a|22ab0，则|ab|（ab）2|a|22ab|b|2|b|2，选项 b 正确3(20 xx重庆二测)设单位向量 e1，e2的夹角为23，ae12e2，b2e13e2，则 b 在a 方向上的投影为()a3 32b 3c. 3d.3 32解 析 ： 选 a依 题 意 得 e1 e2 11cos23 12， |a| （e12e2）2e214e224e1e2 3，ab(e12e2)(2e13e2)2e216e22e1e292，因此 b 在 a 方向上的投影为ab|a|9233 32，选 a.4(20 xx天津高考)已知abc 是边长为 1 的等边

6、三角形，点 d，e 分别是边 ab，bc的中点，连接 de 并延长到点 f，使得 de2ef，则的值为()a58b.18c.14d.118解析：选 b如图所示，又 d，e 分别为 ab，bc 的中点，且 de2ef，所以，所以.又，则.又1，bac60，故341214111218.故选 b.5(20 xx长春质检)已知向量 a(1， 3)，b(0，t21)，则当 t 3，2时，|atb|b|的取值范围是_解析：由题意，b|b|(0，1)，根据向量的差的几何意义，|atb|b|表示同起点的向量 tb|b|的终点到 a 的终点的距离，当 t 3时，该距离取得最小值 1，当 t 3时，该距离取得最大

7、值 13，即|atb|b|的取值范围是1， 13 答案：1， 13 技法融会1平面向量数量积运算的 2 种形式(1)依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择求夹角和模的基底进行转化；(2)利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题数量化2(易错提醒)两个向量夹角的范围是0，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是 0 或的情况， 如已知两个向量的夹角为钝角时， 不仅要求其数量积小于零，还要求不能反向共线一、平面向量与其他知识的交汇平面向量具有代数形式与几何形式的“双重身份”，常与

8、三角函数、解三角形、平面解析几何、 函数、 不等式等知识交汇命题， 平面向量的“位置”为： 一是作为解决问题的工具，二是通过运算作为命题条件新题速递1已知向量 a，b 满足|a|2|b|0，且关于 x 的函数 f(x)2x33|a|x26abx5 在 r上单调递减，则向量 a，b 夹角的取值范围是()a.0，6b.0，3c.0，6d.23，解析：选 d设向量 a，b 的夹角为，因为 f(x)2x33|a|x26abx5，所以 f(x)6x26|a|x6ab， 又函数 f(x)在 r 上单调递减， 所以 f(x)0 在 r 上恒成立， 所以36|a|24(6)(6ab)0， 解得 ab14|a|

9、2， 因为 ab|a|b|cos， 且|a|2|b|0， 所以|a|b|cos12|a|2cos14|a|2，解得 cos12，因为0，所以向量 a，b 的夹角的取值范围是23，故选 d.2(20 xx广东茂名二模)已知向量 a(3，2)，b(x，y1)，且 ab，若 x，y 均为正数，则3x2y的最小值是()a24b8c.83d.53解析：选 bab，2x3(y1)0，即 2x3y3，3x2y3x2y 13(2x3y)13(69yx4xy6)131229yx4xy 8，当且仅当 2x3y32时，等号成立3x2y的最小值是 8.故选 b.技法融会这两题考查的是平面向量与函数、 不等式的交汇 第

10、 1 题由函数的性质把问题转化为平面向量问题，求解时应注意两向量的夹角0，而第 2 题是利用平面向量的知识得到有关 x 和 y 的一个等式，再利用基本不等式求解二、新定义下平面向量的创新问题近年，高考以新定义的形式考查向量的概念、线性运算、数量积运算的频率较大，其形式体现了“新”解决此类问题，首先需要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，通过转化思想解决，这是破解新定义信息题的关键所在新题速递1 已知向量 a 与 b 的夹角为， 定义 ab 为 a 与 b 的“向量积”， 且 ab 是一个向量，它的长度|ab|a|b|sin，若 u(2，0)，uv(1， 3)，则|u(uv)|等

11、于()a4 3b. 3c6d2 3解析：选 d由题意 vu(uv)(1， 3)，则 uv(3， 3)，cosu，uv32，得 sinu，uv12，由定义知|u(uv)|u|uv|sinu，uv22 3122 3.故选 d.2定义平面向量的一种运算 ab|ab|ab|sina，b ，其中a，b是 a 与 b的夹角，给出下列命题：若a，b90，则 aba2b2；若|a|b|，则(ab)(ab)4ab；若|a|b|，则 ab2|a|2；若 a(1，2)，b(2，2)，则(ab)b 10.其中真命题的序号是_解析：中，因为a，b90，则 ab|ab|ab|a2b2，所以成立；中，因为|a|b|，所以(

12、ab)，(ab)90，所以(ab)(ab)|2a|2b|4|a|b|，所以不成立；中，因为|a|b|，所以 ab|ab|ab|sina，b|ab|ab|ab|2|ab|222|a|2，所以成立；中，因为 a(1，2)，b(2，2)，所以 ab(1，4)，sin(ab)，b3 3434，所以(ab)b3 5 53 343445 3434，所以不成立答案：技法融会此类题目是新定义下平面向量的运算， 破题的关键是把此定义运算转化为我们所学的平面向量数量积运算，学会转化，是解决此类问题的切入口一、选择题1设 a(1，2)，b(1，1)，cakb.若 bc，则实数 k 的值等于()a32b53c.53d

13、.32解析：选 a因为 cakb(1k，2k)，又 bc，所以 1(1k)1(2k)0，解得 k32.2(20 xx山西四校联考)已知|a|1，|b| 2，且 a(ab)，则向量 a 与向量 b 的夹角为()a.6b.4c.3d.23解析：选 ba(ab)，a(ab)a2ab1 2cosa，b0，cosa，b22，a，b4.3已知 a，b，c 三点不共线，且点 o 满足0，则下列结论正确的是()解析： 选d0， o为abc的重心， 2312()13()13()13(2)，故选d.4(20 xx贵州模拟)若单位向量 e1，e2的夹角为3，向量 ae1e2(r)，且|a|32，则()a12b.32

14、1c.12d.32解析：选 a由题意可得 e1e212，|a|2(e1e2)21212234，化简得2140，解得12，选项 a 正确5(20 xx湖南六校联考)设向量 a(cos，1)，b(2，sin)，若 ab，则 tan4()a13b.13c1d0解析： 选 b由已知可得， ab2cossin0， tan2， tan4 tan11tan13，故选 b.6已知向量 a，b，c 中任意两个向量都不共线，但 ab 与 c 共线，bc 与 a 共线，则 abc()aabbccd0解析：选 dab 与 c 共线，bc 与 a 共线，可设 abc，bc a，两式作差整理后得到(1)c(1)a，向量

15、a，c 不共线，10，10，即1，1，abc，即 abc0.故选 d.7 (20 xx山西质检)已知 a， b 是单位向量， 且 ab12.若平面向量 p 满足 papb12，则|p|()a.12b1c. 2d2解析：选 b由题意，不妨设 a(1，0)，b12，32 ，p(x，y)，papb12，x12，12x32y12，解得x12，y32，|p| x2y21，故选 b.8(20 xx石家庄一模)a，b，c 是圆 o 上不同的三点，线段 co 与线段 ab 交于点 d，若(r，r)，则的取值范围是()a(0，1)b(1，)c(1， 2 d(1，0)解析：选 b由题意可得(0k1，即的取值范围是

16、(1，)，选项 b 正确9 (20 xx 江 西 赣 南 五 校 联 考 )abc 的 外 接 圆 的 圆 心 为 o ， 半 径 为 1 ， 若，则向量在方向上的投影为()a.12b.32c12d32解析：选 a由可知 o 是 bc 的中点，即 bc 为abc 外接圆的直径，所以，由题意知，故oab 为等边三角形， 所以abc60.所以向量在方向上的投影为|cosabc1cos 6012.故选 a.10已知abc 中，|10，16，d 为边 bc 的中点，则|等于()a6b5c4d3解析： 选 d由题知12()， 16， |cosbac16.在abc 中，10232，68，|214(2)14

17、(6832)9，|3.11在平面直角坐标系中，点 a 与 b 关于 y 轴对称若向量 a(1，k)，则满足不等式的点 a(x，y)的集合为()a(x，y)|(x1)2y21b(x，y)|x2y2k2c(x，y)|(x1)2y21d(x，y)|(x1)2y2k2解析：选 c由 a(x，y)可得 b(x，y)，则(2x，0)，不等式a0可化为 x2y22x0，即(x1)2y21，故选 c.12(20 xx广州五校联考)已知 rtaob 的面积为 1，o 为直角顶点，设向量 a，b，a2b，则的最大值为()a1b2c3d4解析：选 a如图，设 a(m，0)，b(0，n)，mn2，则 a(1，0)，b(0，1)，a2b(1，2)，(m1，2)，(1，n2)，5(m2n)52 2nm1，当且仅当 m2n，即 m2，n1时，等号成立二、填空题13(20 xx兰州模拟)已知 mr，向量 a(m，1)，b(2，6)，且 ab，则|ab|_.解析：ab，ab2m60，m3，ab(1，7)，|ab| 1495 2.答案：5 214已知 a，b 是非零向量，f(x)(axb)(bxa)的图象是一条直线，|ab|2，|a|1，则 f(x)_.解析：由 f(x)abx2(a2b2)xab 的图象是一条直线，可得 ab0.因为|ab|2，所以 a2b24.因为|a|1，所以 a21，b23，所以 f(