和15极限运算法则课件

1、和15极限运算法则PPT课件1.4 无穷大、无穷小无穷大、无穷小一、无穷大一、无穷大 定义定义: :设设函数函数f(x)在在x0的某一去心邻域内有定义的某一去心邻域内有定义（或（或|x|大于某一正数时有定义）如果大于某一正数时有定义）如果(不论它多么大不论它多么大),总总(), 使得使得()的的, 对应的函数值对应的函数值f(x)都满足都满足. 函数函数f(x)为当为当xx0()时的无时的无穷大穷大.并记作并记作)(lim()(lim0 xfxfxxx或或特殊情形特殊情形: 正无穷大正无穷大, 负无穷大负无穷大. 即即)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或和15极限运算法

2、则PPT课件注意注意: :2.无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;.)(lim. 30认为极限存在认为极限存在切勿将切勿将 xfxx4. 如果如果f(x)是当是当xx0时无穷大量时无穷大量，则，则f(x)在点在点x0附近一定无界附近一定无界, , 但反过来却不一定成立但反过来却不一定成立. .xxy1sin1 例如例如： 在在 上上 xxy1sin1 是一个无界变量是一个无界变量, 但当但当x0时不时不是无穷大量是无穷大量. )1 , 0(1.称函数为无穷大称函数为无穷大, 自变量的变化过程自变量的变化过程;和15极限运算法则PPT课件.11lim:11 xx证明证

3、明例例11 xy定义定义: : 如果如果 )(lim0 xfxx则称直线则称直线x=x0是函数是函数y=f(x)的图形的的图形的垂直（铅直）渐近线垂直（铅直）渐近线.和15极限运算法则PPT课件二、无穷小二、无穷小当当,0)1(lim1xx函数函数 1x当当1x时为无穷小时为无穷小;,01limxx函数函数 x1x时为无穷小时为无穷小;,011limxx函数函数 x11当当x时为无穷小时为无穷小. 定义：定义：如果函数如果函数f(x)当当xx0(或或x)时的极限为零，时的极限为零，那么称函数那么称函数f(x)为当为当xx0(或或x)时的时的。和15极限运算法则PPT课件注意注意: : 1.称函

4、数为无穷小称函数为无穷小, 必须指明自变量的变化过程必须指明自变量的变化过程;2.无穷小无穷小是变量是变量, 不能与不能与很小的数很小的数混淆混淆;3.零零是可以作为无穷小的唯一的数是可以作为无穷小的唯一的数. Axfxx)(lim0定理定理1:1:f (x)=A+ (x)其中其中 (x)是当是当xx0时的无穷小时的无穷小.无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系: :无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系 定理定理2:2: 在自变量的同一变化过程中在自变量的同一变化过程中, 无穷大的倒无穷大的倒数为无穷小数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.除除 0

5、 以外任何以外任何很小的常数很小的常数都都不是无穷小不是无穷小 ! 和15极限运算法则PPT课件小结小结1）清楚数列极限、函数极限、无穷大、无穷小的）清楚数列极限、函数极限、无穷大、无穷小的 定义及性质定义及性质.2）几个常见的基本极限）几个常见的基本极限 xxcxxlnlim ,lnlim )(00均不存在均不存在 coslim ,sinlim )(xxexx 不不存存在在xxxaxxxarctanlim ,2arctanlim ,2arctanlim )( 不不存存在在xxxxxxeeed lim ,lim , 0lim )(不不存存在在xarcxarcxarcbxxxcotlim ,co

6、tlim , 0cotlim )( 和15极限运算法则PPT课件一、一、无穷小的运算性质无穷小的运算性质: 定理定理1:1: 在自变量的同一变化过程中在自变量的同一变化过程中, , 有限个无穷有限个无穷小的代数和仍是无穷小小的代数和仍是无穷小. . 注意注意: :无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.是是无无穷穷小小，时时例例如如nn1, .11之之和和的的极极限限为为个个但但nn定理定理2:2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.1.5 1.5 极限运算法则极限运算法则例例xxxsinlim xxx1arctanlim20 xxx1

7、coslim0和15极限运算法则PPT课件一、一、无穷小的运算性质无穷小的运算性质: 定理定理1:1: 在自变量的同一变化过程中在自变量的同一变化过程中, , 有限个无穷有限个无穷小的代数和仍是无穷小小的代数和仍是无穷小. . 注意注意: :无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.是是无无穷穷小小，时时例例如如nn1, .11之之和和的的极极限限为为个个但但nn定理定理2:2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论推论1 1 有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. .推论推论2 2 常数与无穷小的乘积

8、是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小. .推论推论3 3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.1.5 1.5 极限运算法则极限运算法则和15极限运算法则PPT课件二、极限运算法则二、极限运算法则定理定理3. 0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中其中则则设设推论推论1:1:).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 则则为为常常数数而而存存在在如如果果 常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面.推论推论2:2:.)(lim)(lim,)(l

9、imnnxfxfnxf 则则是是正正整整数数而而存存在在如如果果和15极限运算法则PPT课件定理定理4.,)(lim,)(lim),()(babxaxxx 那那么么而而如如果果 三、复合函数极限三、复合函数极限定理定理5:5: (复合函数极限运算法则复合函数极限运算法则 变量代换法则变量代换法则）AufxfAufuxxUxuxuuxxuuxx )(lim)(lim,)(lim,)(),(,)(lim0000000000 则则又又内内的的去去心心邻邻域域但但在在设设极限过程的转化极限过程的转化定理表明定理表明: 若若f(u)与与 (x)满足定理条件满足定理条件, 则可作代换则可作代换:)(lim

10、0 xfxx u= (x), 把求把求转化为求转化为求),(lim0ufuu而其中而其中u0 =).(lim0 xxx 和15极限运算法则PPT课件四、求极限方法举例四、求极限方法举例.531lim232 xxxx求求例例1 1注注: :如果将如果将AufAufxaxuau )(lim)(lim)(lim)(lim换成换成换成换成可得类似的定理。可得类似的定理。多项式与分式函数代入法多项式与分式函数代入法和15极限运算法则PPT课件结论结论: :则则有有设设,)(. 1110nnnaxaxaxf nnxxnxxxxaxaxaxf 110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa 10

11、100).(0 xf 则则有有且且设设, 0)(,)()()(. 20 xQxQxPxf)(lim)(lim)(lim000 xQxPxfxxxxxx )()(00 xQxP ).(0 xf 若若Q(x0)=0, 则商的法则不能应用则商的法则不能应用.例例2 2.3214lim21 xxxx求求例例3 3.321lim221 xxxx求求消去零因子法消去零因子法和15极限运算法则PPT课件例例4 4.147532lim2323 xxxxx求求无穷小因子分出法无穷小因子分出法例例5 5.52123lim232 xxxxx求求 无穷小因子分出法无穷小因子分出法: : 以分母中自变量的最高次幂以分母

12、中自变量的最高次幂除分子除分子, 分母分母, 以便分出无穷小以便分出无穷小, 然后再求极限然后再求极限.小结小结: :为为非非负负整整数数时时有有和和当当nmba, 0, 000 nnnmmmxbxbxbaxaxa 110110lim mnmnmnba当当当当当当000和15极限运算法则PPT课件例例7 7xxxsinlim 利用无穷小运算性质利用无穷小运算性质例例8 8)1(lim2xxxx 例例9 922011limxxx 例例1010).21(lim222nnnnn 利用极限的运算法则利用极限的运算法则例例6 6.sinsinlimxxxxx 求求和15极限运算法则PPT课件1、无穷小的

13、性质；、无穷小的性质；注意：注意：无穷多个无穷小的代数和无穷多个无穷小的代数和( (乘积乘积) )未必是无穷小未必是无穷小. .五、小结五、小结2、极限的四则运算法则及其推论；、极限的四则运算法则及其推论；4、极限求法、极限求法;1. 多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限; 2. 消去零因子法求极限消去零因子法求极限;3. 无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限;4. 利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;5. 利用极限的四则运算法则利用极限的四则运算法则；6. 利用左右极限求分段函数的极限利用左右极限求分段函数的极限.3、复合函数极限运算法则、复合函数极限运算法则;和15极限运算法则PPT课件思考题思考题1解答解答 1. 没有极限没有极限. 假设假设f(x)+g(x)有极限有极限, 又因又因f(x)有极限有极限,由极限运算法则可知由极限运算法则可知: g(x)= f(x)+g(x) f(x)必有极限必有极限.与已知矛盾与已知矛盾. 2. 不能确定不能确定.思考题思考题1 在某个过程中在某个过程中, 1. 若若 f(x)有极限有极限, g(x)无极限无极限, 那么那么 f(x)+g(x)是否有极限是否有极限?为什么为什么? 2. 若若 f(x)和和g(x)都无极都无极限限,那么那么 f(x)+g(x)是否有极限是否有极