函数与方程及函数的应用

1、函数与方程及函数的应用一、选择题1(2013·济南模拟)函数yx3与yx2图象的交点为(a，b)，则a所在的区间是( )A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4)【解析】 设f(x)x3x2，则f(1)111210，f(2)23070，从而f(1)f(2)0，故选B.【答案】 B2已知函数f(x)()xlog3x，若实数x0是方程f(x)0的解，且0<x1<x0，则f(x1)的值( )A恒为负 B等于零C恒为正 D不大于零【解析】 当x>0时，f(x)()xlog3x是减函数，又x0是方程f(x)0的根，即f(x0)0.当0<x1<x0时，f(

2、x1)>f(x0)0.【答案】 C3(2013·广州模拟)已知函数f(x)axxb的零点x0(n，n1)(nZ)其中常数a，b满足2a3,3b2，则n的值是( )A2 B1C0 D1【解析】 2a3,3b2，a>1,0<b<1，则f(x)在R上是增函数又f(1)1b<0，f(0)1b>0，f(x)在(1,0)内有唯一零点，取n1.【答案】 B4(2013·黄冈模拟)已知定义域为R的函数f(x)既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当x时，f(x)sin x，f0，则函数f(x)在区间0,6上的零点个数是( )A3 B5 C7 D9【解析】

3、对R上的奇函数f(x)，有f(0)0；又f(1)sin 0；再由T3，f(3)f(03)f(0)0；f(6)f(33)f(3)0；f(4)f(13)f(1)0；f(2)f(23)f(1)0，f(2)f(2)0；f(5)f(23)f(2)0.因为f0，所以fff0.综上可知f(x)在区间0,6上的零点为0,1，2,3,4，5,6，共9个，故选D.【答案】 D5(2013·烟台模拟)已知函数f(x)若函数g(x)f(x)x的零点按从小到大的顺序排成一个数列，则该数列的通项公式为( )Aan Bann(n1)Cann1 Dan2n2【解析】 g(x)f(x)x当1x0时，由x3x0得x0，

4、则x0是函数g(x)的一个零点当0x1时，1x10，则g(x)f(x1)x1(x1)3x1令g(x)0，即(x1)3(x1)0得x1，即x1是函数g(x)的一个零点当1x2时，0x11，1x20，g(x)f(x1)x1f(x2)x2(x2)3(x2)令g(x)0，即(x2)3(x2)0得x2，即x2是函数g(x)的一个零点同理可依次得到函数的零点分别为4,5,6，故选C.【答案】 C二、填空题6若函数f(x)2|x1|m有零点，则实数m的取值范围是_【解析】 令f(x)0，得m()|x1|，|x1|0，0<()|x1|1，即0<m1.【答案】(0,17(2013·宜昌模拟

5、)在某条件下的汽车测试中，驾驶员在一次加满油后的连续行驶过程中从汽车仪表盘得到如下信息：时间油耗(升/100公里)可继续行驶距离(公里)10：009.530011：009.6220注：油耗，可继续行驶距离平均油耗从以上信息可以推断在10：0011：00这一小时内_(填上所有正确判断的序号)行驶了80公里；行驶不足80公里；平均油耗超过9.6升/100公里；平均油耗恰为9.6升/100公里；平均车速超过80公里/小时【解析】实际用油为7.38(升)，行驶距离7.38÷9.6×10076.875(公里)，所以错误，正确设L为已用油量，L为一个小时内的用油量，S为已行驶距离，S为

6、一个小时内已行驶的距离得LL9.6S9.6S,9.5SL9.6S9.6S，L0.1S9.6S，9.69.6.所以正确，错误由知错误【答案】8(2013·苏州模拟)设定义域为R的函数f(x)则关于x的函数y2f2(x)3f(x)1的零点的个数为_【解析】由y2f2(x)3f(x)10得f(x)或f(x)1，如图画出f(x)的图象，由f(x)知有4个根，由f(x)1知有3个根，故共有7个零点【答案】7三、解答题9已知函数f(x)ln x2x6.(1)证明函数f(x)有且只有一个零点；(2)求该零点所在的一个区间，使这个区间的长度不超过.【解】f(x)的定义域为(0，)，且f(x)是增函数

7、(1)f(2)ln 22<0，f(3)ln 3>0，f(2)·f(3)<0.f(x)在(2,3)上至少有一个零点又f(x)在(0，)上是增函数，从而f(x)在(0，)上有且只有一个零点(2)由f(2)<0，f(3)>0.f(x)的零点x0(2,3)取x1，f()ln 1ln ln e<0，f·f(3)<0，x0(，3)取x2，fln ln ln e>0，f·f<0，x0且|，即为符合条件的区间10已知函数f(x)x22exm1，g(x)x(x>0)(1)若g(x)m有零点，求m的取值范围；(2)确定m的取

8、值范围，使得g(x)f(x)0有两个相异实根【解】(1)g(x)x22e(x>0)，当且仅当x时取等号当xe时，g(x)有最小值2e.因此g(x)m有零点，只需m2e.当m2e，)时，g(x)m有零点(2)若g(x)f(x)0有两个相异实根则函数g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点如图所示，作出函数g(x)x(x>0)的大致图象f(x)x22exm1(xe)2m1e2.其对称轴xe，f(x)maxm1e2.若函数f(x)与g(x)的图象有两个交点必须有m1e2>2e，即m>e22e1.即g(x)f(x)0有两个相异实根m的取值范围是(e22e1，)11某创业投资公司

9、拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1 000万元的投资利益现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且资金不超过9万元，同时奖金不超过收益的20%.(1)请分析函数y2是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因；(2)若该公司采用函数模型y作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值【解】(1)对于模型yf(x)2，当x10,1 000时，f(x)是增函数f(x)maxf(1 000)22<9，f(x)9恒成立但当x10时，f(10)2>，不满足f(x).故函数模型y2不符合公司要求(2)对于模型yg(x)10.当3a20>0，即a>时函数递增，为使g(x)9对于x10,1 0