高等数学：曲面的构造

1、曲面的构造曲面的构造xyz1 1、柱面、柱面例例: : 分析方程分析方程表示怎样的曲面表示怎样的曲面 .的坐标也满足方程的坐标也满足方程222xyR 解解: :在在 xoy 面上，面上，表示圆表示圆C, 222xyR 222xyR 沿曲线沿曲线C平行于平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面轴的一切直线所形成的曲面故在空间故在空间222xyR 过此点作过此点作平行平行 z 轴的直线轴的直线 l ,称为称为圆圆柱面柱面. .对任意对任意 z ,表示圆柱面表示圆柱面. .oC在圆在圆C上任取一点上任取一点 1( , ,0),Mx yl1M( , , )M x y z点点其上所有点的坐标都满足此方程其上

2、所有点的坐标都满足此方程, ,M2l定义定义: :平行定直线并沿定曲线平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线移动的直线 l形成的轨迹叫做形成的轨迹叫做柱面柱面.表示抛物柱面表示抛物柱面,母线平行于母线平行于 z 轴轴;准线准线l为为xoy 面上的抛物线面上的抛物线.22yx CC 叫做叫做准线准线, l 叫做叫做母线母线.xy22 xozy3 22221xyab表示母线平行于表示母线平行于z 轴轴的椭圆柱面的椭圆柱面.xyzo4类似可写出双曲柱面的方程类似可写出双曲柱面的方程一般地一般地,在三维空间二元方程表示柱面在三维空间二元方程表示柱面.方程方程母线母线准线准线0),( yxFz 轴轴在在x

3、oy 面面x 轴轴0),( zyG0),( xzH在在yoz 面面在在yoz 面面y 轴轴图形图形xyzxzyxyz5定义：定义：一条一条平面曲线平面曲线2 2、旋转曲面、旋转曲面 绕其平面上一条定直线绕其平面上一条定直线旋转旋转一周一周所形成的曲面叫做所形成的曲面叫做旋转曲面旋转曲面.曲线称为曲线称为母线母线，定直线称为，定直线称为旋转旋转轴轴 .例例 :61O MO M又建立建立yoz面上曲线面上曲线C 绕绕 z 轴旋转所成曲面轴旋转所成曲面的的方程方程:故旋转曲面方程为故旋转曲面方程为, ),(zyxM当绕当绕 z 轴旋转时轴旋转时, ,11(,)0f y z 111(0,),My zC

4、 在曲面上任取一点在曲面上任取一点给定给定 yoz 面上曲线面上曲线 C: ), 0(111zyM),(zyxM221,xyy 即即22(, )0fxyz此时有此时有该点转到该点转到( , )0f y z ozyxCO 71,zz 同同时时思考：当曲线思考：当曲线 C 绕绕 y 轴旋转时，方程如何？轴旋转时，方程如何？:( , )0Cf y z 22(,)0fyxz oyxz8例：例： 试建立顶点在原点试建立顶点在原点, 旋转轴为旋转轴为z 轴轴, 半顶角半顶角为为 的圆锥面方程的圆锥面方程. 解解 ：yoz面上直线面上直线L 的方程为的方程为cotzy 绕绕z 轴旋转时轴旋转时, ,圆锥面的方程为圆锥面的方程为22cotzxy 2222()zaxy cota 令令xyz两边平方两边平方L), 0(zyM9例例4. 求坐标面求坐标面 xoz 上的双曲线上的双曲线22221xzac分别绕分别绕 x轴和轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面轴旋转一周所生成的旋转曲面方程方程. 10 xy解解: :绕绕 x 轴旋转所成曲面方程为轴旋转所成曲面方程为222221xyzac 绕绕 z 轴旋转所成曲面方程