高等数学：2-3 隐函数及参数方程确定的函数的导数

1、1第三第三节节 隐函数及参数方程确定隐函数及参数方程确定的函数的导数的函数的导数第二章第二章 导数与微分导数与微分隐函数的导数隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数由参数方程所确定的函数的导数相关变化率相关变化率小结小结 作业作业2定义定义由二元方程由二元方程)(xfy 0),( yxF)(xfy 1. 隐函数的定义隐函数的定义)(xyy 所确定的函数所确定的函数0),( yxF一、隐函数的导数一、隐函数的导数称为称为隐函数隐函数.的形式称为的形式称为显函数显函数.隐函数的隐函数的013 yx可确定显函数可确定显函数;13xy 例例),10(sin yxy开普勒方程开普勒方程开普勒开普勒(

2、(J.Kepler)1571-1630)1571-1630德国数学家德国数学家, ,天文学家天文学家. .xy关于关于的隐函数客观存在的隐函数客观存在, ,但无法将但无法将yx表达成表达成的的显式显式表达式表达式. .显化显化. .32. 隐函数求导法隐函数求导法隐函数求导法则隐函数求导法则 用用复合函数求导法则复合函数求导法则,并注意到其中并注意到其中将方程两边对将方程两边对x求导求导.变量变量y是是x的函数的函数.隐函数不易显化或不能显化隐函数不易显化或不能显化如何求导如何求导4P89P89例例1 1解解0 yxeexy设想把设想把.,00 xyxyyyeexy的导数的导数所确定的隐函数所

3、确定的隐函数求由方程求由方程则得恒等式则得恒等式代入方程代入方程,)(xyy 所确定的函数所确定的函数0 yxeexy将此恒等式两边同时对将此恒等式两边同时对x求导求导,得得xxy)( xxe )( xye )( )0( 因为因为y是是x的函数的函数, 是是x的复合函数的复合函数,所以所以ye求导时要用复合函数求导法求导时要用复合函数求导法,yyx xe ye y 0 xeyeyyx . 1 0, 0 yx00 xy 00 xy 5 虽然隐函数没解出来虽然隐函数没解出来,但它的导数求出来但它的导数求出来了了,当然结果中仍含有变量当然结果中仍含有变量y.允许在允许在 的表达式中含有变量的表达式中

4、含有变量y.y y 一般来说一般来说,隐函数隐函数求导求导, 求求隐函数的导数时隐函数的导数时,只要记住只要记住x是自变量是自变量,将方程两边同时对将方程两边同时对x求导求导,就得到一个含有导数就得到一个含有导数从中解出即可从中解出即可.于是于是y的函数便是的函数便是x的复合函数的复合函数,的方程的方程.y是是x的函数的函数,6例例.,23,23,333线通过原点线通过原点在该点的法在该点的法并证明曲线并证明曲线的切线方程的切线方程点点上上求过求过的方程为的方程为设曲线设曲线CCxyyxC 解解,求导求导方程两边对方程两边对x23xxyxyy 22. 1 切线方程切线方程)23(23 xy.

5、03 yx即即2323 xy, xy 即即23y y3 yx 3y 法线方程法线方程通过原点通过原点. 23,23 23,237.)()2()(xvxu幂指函数幂指函数(1) 许多因子相乘除、乘方、开方的函数许多因子相乘除、乘方、开方的函数.,)4(1)1(23xexxxy 如如.sinxxy 适用于适用于方方 法法先在方程两边取对数先在方程两边取对数, -对数求导法对数求导法 然后利用隐函数的然后利用隐函数的求导法求出导数求导法求出导数.二、对数求导法二、对数求导法8例例解解ln |y 求导得求导得上式两边对上式两边对 xy1.,)4(1)1(23yexxxyx 求求设设142)1(3111

6、 xxxy 等式两边取对数得等式两边取对数得 142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyxln |(1)|x lnxe 1ln |(1)|3x2ln |(4)|x 隐函数隐函数9例例解解.),0(sinyxxyx 求求设设xxylnsinln 求导得求导得上式两边对上式两边对xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 等式两边取对数得等式两边取对数得10注注复合函数复合函数)0)()()( xuxuyxv改写成改写成)(ln)(xuxvey .),0(sinyxxyx 求求如上例如上例),0(sin xxyx将将

7、则则sinlnxxye xx ln(cos )sinxx 只要将只要将,lnsinxxey 改写成改写成幂指函数也可以利用对数性质化为幂指函数也可以利用对数性质化为:再求导再求导,11.,1. 12sinyxxyx 求求设设解答解答求导得求导得上式两边对上式两边对xsin2lnlnln(1)xyxx2sinlnln(1)xxx212sinlncosxxxxxxyy 2sin2(cosln)1xxyyxxxx 等式两边取对数等式两边取对数2.0,.yxxyy 设设求求122.0,.yxxyy 设设求求解答解答,lnlnyxxy ,lnlnyyxyxyxy 22ln.lnxyyyyxyxx 解解得

8、得：等式两边取对数等式两边取对数:.yxxy 即即求导得求导得上式两边对上式两边对x13三、由参数方程所确定的函数的导数三、由参数方程所确定的函数的导数 )()(tytx 若参数方程若参数方程如如 ,22tytx2xt 2ty42x xy21 t参数方程参数方程 称此为由称此为由参数方程所确定的函数参数方程所确定的函数.22 x 消参数困难或无法消参数消参数困难或无法消参数 如何求导如何求导.消去参数消去参数yx确定 与 间的函数关系确定 与 间的函数关系14,)(),(都都可可导导再再设设函函数数tytx xyddtydd )()(tt txtyxydddddd 即即,)()(中中在方程在方

9、程 tytx 具有具有设函数设函数)(tx 所以所以,tyddxtdd ),(1xt 单调连续的单调连续的反函数反函数由由复合函数及反函数的求导法则复合函数及反函数的求导法则得得txdd1 , 0)( t 且且 y)(1x 15例例解解txtyxydddddd ttcos1sin sin(1cos )atat 2cos12sindd2 txy. 1 .方方程程处的切线处的切线在在求摆线求摆线2)cos1()sin( ttayttax16,2时时当当 t 所求切线方程为所求切线方程为)12( axay)22( axy即即 )cos1()sin(tayttax),12( ax. ay 17P93P

10、93例例9 9解解 ,21sin,cos,2000gttvytvxv 其运动方程为其运动方程为发射炮弹发射炮弹发射角发射角以初速度以初速度不计空气的阻力不计空气的阻力,0时刻的切线方向时刻的切线方向轨迹在轨迹在t;)1(0的运动方向的运动方向炮弹在时刻炮弹在时刻求求t.)2(0的速度大小的速度大小炮弹在时刻炮弹在时刻 t可由可由切线的斜率切线的斜率来反映来反映.即即xyO0v 0(1)t在在 时时刻刻的的运运动动方方向向18 xydd cossin00vgtv ,21sin,cos200gttvytvx .cossin000 vgtv tttvgttv)cos()21sin(020 xydd0

11、tt 19轴方向的分速度为轴方向的分速度为时刻沿时刻沿炮弹在炮弹在yxt,)2(0 0ddttxtxv 0ddttytyv00singtv 时刻炮弹的速度为时刻炮弹的速度为在在0t22yxvvv 2020020sin2tggtvv ,21sin,cos200gttvytvx cos0v 0)cos(0tttv 0)21sin(20ttgttv xyO0v vxvyv20设由方程设由方程 )10(1sin 222 yytttx确定函数确定函数, )(xyy 求求.ddxy方程组两边对方程组两边对t 求导求导, ,得得故故 xydd)cos1)(1(ytt txdd t 2 ytcos12 22

12、tycos tydd 0 例例解解 txddtxddtydd tydd tydd)1(2 t21若曲线由极坐标方程若曲线由极坐标方程)( rr 给出给出, ,利用利用可化为极角可化为极角 参数方程参数方程, ,因此曲线因此曲线 y sin)( r cos)( r cos)(r ddy ddx)( rr 切线的斜率为切线的斜率为 oAM r,cos)( rx sin)( ry sin)( r 22例例.42sin处处的的法法线线方方程程在在求求曲曲线线 ar解解 将曲线的极坐标方程转换成将曲线的极坐标方程转换成 cos)( rx cos2sina sin)( ry sin2sina )( 为参数

13、为参数 则曲线的切线斜率为则曲线的切线斜率为xydd cos2sinsin2cos2aa 1 所以法线斜率为所以法线斜率为又切点为又切点为 4 4 ,224ax ay224 sin2sincos2cos2aa 故法线方程为故法线方程为axay2222 即即0 yx, 1参数方程参数方程 这种将极坐标方程化为参数方程这种将极坐标方程化为参数方程,借助借助参数方程处理问题的方法参数方程处理问题的方法,在高等数学中将在高等数学中将多次遇到多次遇到.23)(, )(tyytxx 为两可导函数为两可导函数yx ,之间有联系之间有联系tytxdd,dd之间也有联系之间也有联系称为称为相关变化率解法三步骤相

14、关变化率解法三步骤找出相关变量的关系式找出相关变量的关系式对对t 求导求导相关变化率相关变化率求出未知的相关变化率求出未知的相关变化率四、相关变化率四、相关变化率相关变化率相关变化率0),( yxFtytxdddd和和之间的关系式之间的关系式 代入指定时刻的变量值及已知变化率代入指定时刻的变量值及已知变化率,(1)(2)(3)24例（拉船靠岸问题）例（拉船靠岸问题）解解( ),( )ss t ll t设设，则则222hsl求求导导得得两两边边对对t2s ( , )0F s l (1)(2)0.,/ )hlsvm s在在离离水水面面高高度度为为 米米的的岸岸上上，有有人人用用绳绳子子拉拉船船靠靠

15、岸岸假假定定绳绳长长为为 米米 船船位位于于离离岸岸壁壁 米米处处，试试问问：当当收收绳绳速速度度为为 （时时，船船的的速速度度和和加加速速度度各各是是多多少少？ddst 2l ddlt 0d,dlvt 2200dsdlvhsvvtss (3)hsl222003222dvdvddh vdshavvts dtsshs s 25例例解解,秒后秒后设气球上升设气球上升t500tanh 求求导导得得两两边边对对t 2sec 0),( hF (1)(2)?,500./140,500多少多少员视线的仰角增加率是员视线的仰角增加率是观察观察米时米时当气球高度为当气球高度为秒秒米米其速率为其速率为米处离地面铅

16、直上升米处离地面铅直上升一气球从离开观察员一气球从离开观察员),(th其高度为其高度为则则的仰角为的仰角为观察员视线观察员视线),(t tdd 5001 thdd ,/140dd秒秒米米 th tdd 仰角增加率仰角增加率(3)2sec2 140500121 )/(14. 0分分弧度弧度 h500, tan,h5001当时当时26五、小结五、小结隐函数求导法则隐函数求导法则工具工具: :复合函数复合函数链导法则链导法则;对数求导法对数求导法对方程两边取对数对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导按隐函数的求导法则求导.参数方程求导参数方程求导注意注意: :变量变量y是是x的函数的函数.将方程两边对将方程两边对x求导求导.工具工具: :复合函数复合函数链导法则链导法则、反函数的求导法则、反函数的求导法则.相关变化率相关变化率 通过函数关系确定两个变化率通过函数关系确定两个变化率之间的之间的解法解法: : 三个步骤三个步骤. .关系关系,从其中一个变化率从其中一个变化率( (已知已知) )求出一个变化率求出