胡寿松 自控原理第七章 线性离散控制系统

1、自动控制理论自动控制理论_第八章第八章第八章第八章 线性离散控制系统线性离散控制系统下一张下一张下一张最后一张最后一张最后一张结束授课结束授课结束授课返回首页返回首页返回首页第第01 页页第八章第八章 线性离散控制系统线性离散控制系统第一张第一张第一张上一张上一张上一张下一张下一张下一张最后一张最后一张最后一张结束授课结束授课结束授课 前述各章讨论了前述各章讨论了连续控制系统连续控制系统的若干问题。的若干问题。 随着脉冲技术、数字元件随着脉冲技术、数字元件, ,特别是数字计算机技术的迅速发展特别是数字计算机技术的迅速发展, ,离散控离散控制系统得到了广泛的应用。在制系统得到了广泛的应用。在离散

2、控制系统离散控制系统中中, ,有一处或多处的信号不是连有一处或多处的信号不是连续信号续信号, ,而在时间上是离散的而在时间上是离散的脉冲序列或数码脉冲序列或数码, ,这种信号称为这种信号称为离散信号离散信号。 本章将分析离散控制系统的特点本章将分析离散控制系统的特点, ,讨论讨论采样过程采样过程及及采样定理采样定理、保持器保持器、z z变换变换、差分方程差分方程、脉冲传递函数脉冲传递函数、离散控制系统的时域指标离散控制系统的时域指标和和频域指标频域指标、离散系统离散系统校正校正等内容。等内容。 第一节第一节 采样采样离散控制系统概述离散控制系统概述 离散控制是一种断续控制方式离散控制是一种断续

3、控制方式, ,最早出现在具有较大延迟特性的控制最早出现在具有较大延迟特性的控制系统中。图系统中。图8-1是一个工业炉温度自动控制系统方框图。由于工业炉是一是一个工业炉温度自动控制系统方框图。由于工业炉是一个时间常数大、个时间常数大、含有纯延迟特性的惯性环节。采用连续控制方法时由于控制作含有纯延迟特性的惯性环节。采用连续控制方法时由于控制作用用不能及时体现不能及时体现, ,容易引容易引起炉温振荡起炉温振荡, ,无法达到控无法达到控制系统的要求。制系统的要求。第第02页页 如采用离散控制，如图如采用离散控制，如图8-2所示。在误差信号与电动机之间加一个所示。在误差信号与电动机之间加一个采样开关采样

4、开关，第一张第一张第一张上一张上一张上一张下一张下一张下一张最后一张最后一张最后一张结束授课结束授课结束授课它周期性地闭合和断开。它周期性地闭合和断开。当炉温误差当炉温误差e(t)e(t)出现时出现时, , e(t)e(t)只有在开关只有在开关闭合闭合时才时才能使执行电动机旋转能使执行电动机旋转, ,进进行炉温调节。当采样开关行炉温调节。当采样开关断开断开, ,执行电动机立即执行电动机立即 可见可见, ,在具有大延迟特性的系统中在具有大延迟特性的系统中, ,连续控制方式的效果不理想连续控制方式的效果不理想, ,而间断地进行而间断地进行控制反而得到好的控制效果。称这种间断控制系统为控制反而得到好

5、的控制效果。称这种间断控制系统为采样采样-离散控制系统离散控制系统。通。通常可分为常可分为采样控制系统采样控制系统和和数字控制系统数字控制系统两大类。两大类。数字控制系统框图数字控制系统框图如图如图8-38-3所示。所示。 停下来停下来, ,阀门位置被保持不变阀门位置被保持不变, ,炉温随之变化炉温随之变化, ,直到下次采样开关闭合，根据直到下次采样开关闭合，根据e(t)e(t)大小再进行调节。由于电动机时转时停大小再进行调节。由于电动机时转时停, ,超调现象受到抑制超调现象受到抑制, ,即使开环放大系数较即使开环放大系数较大的仍能保持系统稳定。大的仍能保持系统稳定。第第03页页采样及采样方式

6、采样及采样方式第一张第一张第一张上一张上一张上一张下一张下一张下一张最后一张最后一张最后一张结束授课结束授课结束授课 误差采样信号是通过误差采样信号是通过采样开关采样开关对对连续信号连续信号采样后得到的采样后得到的, ,如图如图8-48-4所所示。示。 采样就是在采样开关作用下将连续信号变成脉冲序列采样就是在采样开关作用下将连续信号变成脉冲序列, ,在每个脉冲后是一段在每个脉冲后是一段无信号的时间间隔。因此无信号的时间间隔。因此, ,控制系统在无信号的时间间隔内实质上是工作于开环控制系统在无信号的时间间隔内实质上是工作于开环状态状态, ,易于保证系统稳定性。如果采样频率太低易于保证系统稳定性。

7、如果采样频率太低, ,即采样周期过大即采样周期过大, ,则包含在输入则包含在输入信号中的大量信息通过采样就会丢失信号中的大量信息通过采样就会丢失, ,产生采样失真。产生采样失真。 除周期采样外除周期采样外, ,还有其它采样方式：还有其它采样方式： （1 1）多阶采样：采样是周期性重复的）多阶采样：采样是周期性重复的 （2 2）多速采样：有两个以上不同采样周期的采样开关对信号同时进行采样）多速采样：有两个以上不同采样周期的采样开关对信号同时进行采样 （3 3）随机采样：采样是随机进行的）随机采样：采样是随机进行的, ,没有固定的规律没有固定的规律第第04页页第二节第二节 采样过程及采样定理采样过

8、程及采样定理 第一张第一张第一张上一张上一张上一张下一张下一张下一张最后一张最后一张最后一张结束授课结束授课结束授课一、采样过程一、采样过程 采样过程：采样过程：对连续信号进行采样得到一个脉冲序列的过程对连续信号进行采样得到一个脉冲序列的过程。采样开关或采样。采样开关或采样器可看作器可看作产生脉冲序列产生脉冲序列的元件的元件, ,采样过程可理解为针对连续信号的采样过程可理解为针对连续信号的脉冲调制过程脉冲调制过程。 采样开关每隔周期采样开关每隔周期T T闭合一次闭合一次, ,每次闭合时间为每次闭合时间为 , ,且且 T T（ 也远小于连续部也远小于连续部分的时间常数）分的时间常数）, ,因此将

9、采样开关的输出认为是理想脉冲序列因此将采样开关的输出认为是理想脉冲序列, ,即近似认为即近似认为 =0=0。 理想的采样开关等效于一个理想的单位脉冲序列发生器理想的采样开关等效于一个理想的单位脉冲序列发生器, ,它能够产生理想单位它能够产生理想单位脉冲序列脉冲序列 T(t), ,如图如图8-5所示。理想单位脉冲序列的数学表达式为所示。理想单位脉冲序列的数学表达式为 式中式中 T T采样周期；采样周期； n n表示脉冲产生时刻的整数；表示脉冲产生时刻的整数； (t-nT)(t-nT)发生在发生在t tnTnT时刻的理想单位脉冲；时刻的理想单位脉冲； T(t)以以T为周期的理想单位脉冲序列。为周期

10、的理想单位脉冲序列。 第第05 页页第一张第一张第一张上一张上一张上一张下一张下一张下一张最后一张最后一张最后一张结束授课结束授课结束授课连续信号经过采样开关采样连续信号经过采样开关采样( (调制）后变为调制）后变为e*（t） 上式不表示信号的迭加上式不表示信号的迭加,而是一个冲量为而是一个冲量为e(nT),发生时刻为发生时刻为nT的理想脉冲序列。的理想脉冲序列。在实际控制系统中在实际控制系统中, ,t0时时, ,e（t）=0，上式可写为，上式可写为 可见可见, ,采样过程相当于一个脉冲调制采样过程相当于一个脉冲调制过程过程, ,其中连续信号其中连续信号e(t)为被调制信号为被调制信号, ,调

11、调制信号制信号 T (t)决定采样时刻决定采样时刻, ,即采样开关输即采样开关输出信号出信号e* (t)的幅值由的幅值由e(t)决定决定, ,存在的时存在的时刻由刻由 T (t)决定决定, ,如图如图8-6所示。所示。 第第06 页页二、采样定理二、采样定理第一张第一张第一张上一张上一张上一张下一张下一张下一张最后一张最后一张最后一张结束授课结束授课结束授课 理想单位脉冲序列理想单位脉冲序列 T(t)是一个以是一个以T为周期的周期函数为周期的周期函数, ,可展成傅里叶级可展成傅里叶级数。其复数形式为数。其复数形式为式中式中 s=2 T采样频率采样频率 傅里叶系数傅里叶系数 对于对于 T (t)

12、,Cn=1/T，将，将 Cn代入代入 T (t)的表达的表达式，得式，得 将上式代入采样信号的脉冲序列表达式，得将上式代入采样信号的脉冲序列表达式，得 对上式进行拉普拉斯变换，并根据拉普拉斯变换的复位移定理，得对上式进行拉普拉斯变换，并根据拉普拉斯变换的复位移定理，得 上式表明了上式表明了采样信号采样信号e*(t)的拉普拉斯变换的拉普拉斯变换E*(s)与与连续信号连续信号e(t)的拉普拉斯变换式的拉普拉斯变换式E(s)之间的关系。同时可发现之间的关系。同时可发现E*(s)是是s的周期函数的周期函数。 第第07 页页通常通常E E* *(s)(s)的全部极点均位于的全部极点均位于s s平面的左半

13、平面平面的左半平面, ,因此可以用因此可以用j j 替换替换式中的复变量式中的复变量s,s,第一张第一张第一张上一张上一张上一张下一张下一张下一张最后一张最后一张最后一张结束授课结束授课结束授课求得采样信号求得采样信号e e* *(t)(t)的傅里叶变换，即的傅里叶变换，即式中式中 E* *(j(j ) )采样信号采样信号e e* *(t)(t)的频谱的频谱 E( (j ) 连续信号连续信号e e( (t) )的频谱的频谱 上式反映了上式反映了采样信号采样信号e e* *(t)(t)的的频谱频谱E* *(j(j ) )与与连续信号连续信号e e( (t) )的频谱的频谱E( (j )间的关系。

14、间的关系。 第第08页页 从图从图8-78-7中可知，连续信号中可知，连续信号e e( (t) )的频谱的频谱E(jE(j ) )的最大频率为的最大频率为 maxmax第一张第一张第一张上一张上一张上一张下一张下一张下一张最后一张最后一张最后一张结束授课结束授课结束授课 可见，可见， E E* *(j(j ) )的的相邻两部分频谱彼此不重叠的条件是：相邻两部分频谱彼此不重叠的条件是：采样频率采样频率 s必须大于必须大于或等于输入连续信号或等于输入连续信号e(e(t) )频谱中最高频率频谱中最高频率 maxmax的的2 2倍倍。即。即 从图从图8-88-8中可知，采样信号中可知，采样信号e e*

15、 *( (t) )的频谱的频谱E E* *(j(j ) )是以采样频率是以采样频率 S S为周期的无穷为周期的无穷多个离散频谱多个离散频谱, ,其中图其中图( (a) )对应于对应于 s s2 2 maxmax的情况的情况; ;图图( (b) )对应对应 s s22 maxmax的情况。其的情况。其中中n=0n=0的频谱分量的频谱分量1/T|E(j1/T|E(j )|)|称为主频谱称为主频谱, ,它与连续信号它与连续信号e e( (t) )的频谱的频谱E(jE(j ) )相比相比, ,幅幅值为原来的值为原来的1 1T T。 为了从采样信号为了从采样信号e e* *( (t) )中不失真地复现连

16、续信号中不失真地复现连续信号e e( (t) ), ,必须使采样信号频谱必须使采样信号频谱E E* *(j(j ) )的各部分不重叠。当把采样信号的各部分不重叠。当把采样信号e e* *( (t) )加到图加到图8-8(a)8-8(a)虚线所示的理想低通滤虚线所示的理想低通滤波器时波器时, ,滤掉全部高频频谱分量滤掉全部高频频谱分量, ,就得到与原连续信号频谱相似的频谱信号就得到与原连续信号频谱相似的频谱信号, ,再放大再放大T T倍倍, ,即可完全准确地复现原来的连续信号。即可完全准确地复现原来的连续信号。这就是香农这就是香农(Shannon)(Shannon)采样定理，简称采样定理，简称采

17、样定理采样定理。 如果如果 s s2 2 maxmax不满足采样定理，将发生不满足采样定理，将发生E E* *(j(j ) )相邻部分频谱的重叠，相邻部分频谱的重叠，通过图通过图8-8 (a)虚线所示的理想滤波器，无法不失真地恢复原连续信号。虚线所示的理想滤波器，无法不失真地恢复原连续信号。 第第09页页第三节第三节 保持器保持器 第一张第一张第一张上一张上一张上一张下一张下一张下一张最后一张最后一张最后一张结束授课结束授课结束授课 保持器是离散系统的一个基本单元，保持器是离散系统的一个基本单元，功能是将离散信号恢复成连续信号功能是将离散信号恢复成连续信号。 一、零除保持器一、零除保持器 零阶

18、保持器零阶保持器: :把前一个采样时刻把前一个采样时刻nTnT的采样值不增不减地保持到下一个采样时的采样值不增不减地保持到下一个采样时刻（刻（n n1 1）T T的保持器。其输入信号与输出信号之间的关系如图的保持器。其输入信号与输出信号之间的关系如图8-98-9所示。它的单所示。它的单位脉冲响应如图位脉冲响应如图8-108-10所示。所示。 由此得其传递函数为由此得其传递函数为 频率特性为频率特性为 写为幅频特性和相频特性分别为写为幅频特性和相频特性分别为 零阶保持器的脉冲响应可表示为零阶保持器的脉冲响应可表示为第第10页页零阶保持器的输入输出关系及单位脉冲响应零阶保持器的输入输出关系及单位脉

19、冲响应第一张第一张第一张上一张上一张上一张下一张下一张下一张最后一张最后一张最后一张结束授课结束授课结束授课第第11 页页零阶保持器的频率特性特点零阶保持器的频率特性特点第一张第一张第一张上一张上一张上一张下一张下一张下一张最后一张最后一张最后一张结束授课结束授课结束授课 幅值随频率幅值随频率 的的增大而衰减增大而衰减, ,具有明具有明显低通滤波特性。显低通滤波特性。但不是一个理想的但不是一个理想的低通滤波器低通滤波器, ,它除了它除了允许主频谱通过外允许主频谱通过外, ,还允许部分高频频还允许部分高频频谱通过。其恢复的谱通过。其恢复的连续信号连续信号e en n（t t）与）与原连续信号原连

20、续信号e e（t t）有差别。当采样周有差别。当采样周期期T T取得越小取得越小, ,两者两者差别就越小。差别就越小。 从相频特性上可知从相频特性上可知, ,采用零阶保持器将产生滞后相移采用零阶保持器将产生滞后相移, ,将使系统相对稳定性降将使系统相对稳定性降低。将图低。将图8-98-9（c c）中各阶梯信号的中点连接起来）中各阶梯信号的中点连接起来, ,得到曲线与原信号得到曲线与原信号e e（t t）相同）相同, ,相位滞后相位滞后T T2 2。 产生相位滞后是保持器所具有的共性产生相位滞后是保持器所具有的共性, ,与其他高阶保持器相比与其他高阶保持器相比, ,零阶保持器产零阶保持器产生的相

21、位滞后最小生的相位滞后最小, ,因此相对稳定性最好。因此相对稳定性最好。第第12页页零阶保持器的实现零阶保持器的实现第一张第一张第一张上一张上一张上一张下一张下一张下一张最后一张最后一张最后一张结束授课结束授课结束授课 将零阶保持器的传递函数按幂级数展开将零阶保持器的传递函数按幂级数展开 取级数的前二项，得取级数的前二项，得 可用图可用图8-12的电路实现的电路实现 若取级数的前三项，得若取级数的前三项，得 若取级数的项过多若取级数的项过多, ,会使会使无源网络结构变得复杂无源网络结构变得复杂, ,实现实现困难。困难。 可用图可用图8-13的电路实现的电路实现 第第13 页页二、一阶保持器二、

22、一阶保持器 第一张第一张第一张上一张上一张上一张下一张下一张下一张最后一张最后一张最后一张结束授课结束授课结束授课 根据两个采样值根据两个采样值y(nT)与与y(n-1)T 之间之间, ,按照线性规律外推保持器称为一阶保按照线性规律外推保持器称为一阶保持器持器, ,其表达式为其表达式为 一阶保持器输出信号如图一阶保持器输出信号如图8-148-14所示。所示。 一阶保持器单位脉冲响应图一阶保持器单位脉冲响应图8-15(a)8-15(a)所示所示, ,其拉普拉斯变换其拉普拉斯变换G Gh h(S)(S)可表示为可表示为第第14 页页 一阶保持器的频率特性为一阶保持器的频率特性为 第一张第一张第一张

23、上一张上一张上一张下一张下一张下一张最后一张最后一张最后一张结束授课结束授课结束授课 一阶保持器的幅频特性如图一阶保持器的幅频特性如图8-16所示，图中虚线为零阶保持器的幅频所示，图中虚线为零阶保持器的幅频特性。特性。 第第15 页页第四节第四节 z z变换变换 第一张第一张第一张上一张上一张上一张下一张下一张下一张最后一张最后一张最后一张结束授课结束授课结束授课 线性连续控制系统线性连续控制系统可用可用线性微分方程线性微分方程来描述，用来描述，用拉普拉斯变换拉普拉斯变换分析它的暂态分析它的暂态性能及稳态性能。性能及稳态性能。 对于对于线性离散控制系统线性离散控制系统则可用则可用线性差分方程线

24、性差分方程来描述，用来描述，用Z变换变换来分析它的暂来分析它的暂 态性能及稳态性能。态性能及稳态性能。 Z变换是研究离散系统主要的数学工具，由拉普拉斯变换引导出来，是离散变换是研究离散系统主要的数学工具，由拉普拉斯变换引导出来，是离散信号的拉普拉斯变换。信号的拉普拉斯变换。一、一、z z变换的定义变换的定义 连续信号连续信号f（t）的拉普拉斯变换为）的拉普拉斯变换为 连续信号连续信号f（t）经过采样得到离散信号）经过采样得到离散信号f*（t）为）为 其拉普拉斯变换为其拉普拉斯变换为 第第16页页 引入一个新的复变量引入一个新的复变量z，令，令 第一张第一张第一张上一张上一张上一张下一张下一张下

25、一张最后一张最后一张最后一张结束授课结束授课结束授课 离散信号离散信号f*（t） 的拉普拉斯变换式变为的拉普拉斯变换式变为 如上列级数收敛，则定义如上列级数收敛，则定义F F（z z）为）为f f* *（t t）的）的z z变换，记为变换，记为 从从z z变换的定义上看，它只适用于离散信号，或者说变换的定义上看，它只适用于离散信号，或者说z z变换所表示的是变换所表示的是连续信号在采样时刻的特性，它连续信号在采样时刻的特性，它并不反映并不反映各各采样时刻之间采样时刻之间的关系。从这个的关系。从这个意义上说，连续信号意义上说，连续信号f f（t t）与离散信号）与离散信号f f* *(t(t）具

26、有相同的）具有相同的z z变换，即变换，即 第第17页页二、求二、求z z变换的方法变换的方法 第一张第一张第一张上一张上一张上一张下一张下一张下一张最后一张最后一张最后一张结束授课结束授课结束授课1. 1. 级数求和法级数求和法 将离散信号将离散信号f *（t）展开如下）展开如下 对上式逐项进行拉普拉斯变换，得对上式逐项进行拉普拉斯变换，得 或或 这是离散信号这是离散信号f*（t）的）的z变换变换F(z)F(z)的级数表达式，是共有无穷多项的开放式的级数表达式，是共有无穷多项的开放式表达式。级数数求和后，可得表达式。级数数求和后，可得Z变换的闭合形式。变换的闭合形式。 【例例8-1】求单位阶

27、跃函数求单位阶跃函数1（t）的）的Z变换。变换。 解解 单位阶跃函数的采样脉冲序列为单位阶跃函数的采样脉冲序列为 第第18页页 代入代入F(z)F(z)的级数表达式，得的级数表达式，得第一张第一张第一张上一张上一张上一张下一张下一张下一张最后一张最后一张最后一张结束授课结束授课结束授课对上列级数求和，写成闭合形式，得对上列级数求和，写成闭合形式，得 【例例8-2】求求f(t)=e- t的的Z变换。变换。 解解 将将代入代入F(z)的级数表达式，得的级数表达式，得利用级数求和公式写成闭合形式，得利用级数求和公式写成闭合形式，得 第第19 页页2. 2. 部分分式法部分分式法 第一张第一张第一张上

28、一张上一张上一张下一张下一张下一张最后一张最后一张最后一张结束授课结束授课结束授课 当连续信号是以拉普拉斯变换式当连续信号是以拉普拉斯变换式F F（S S）的形式给出）的形式给出, ,且且F F（S S）为有理函数时）为有理函数时, ,可以展可以展开成部分分式的形式，即开成部分分式的形式，即 对应的时域表达式为对应的时域表达式为,由例由例8- -2可得与其对应的可得与其对应的z变换为变换为 由此可得由此可得F（S）的）的z变换为变换为 【例例8-4】已知已知，试求其变换，试求其变换 解解 将将F F（S）展开成部分分式）展开成部分分式 其对应的时域表示式为其对应的时域表示式为 第第20 页页是

29、两个时域信号的叠加，由例是两个时域信号的叠加，由例8- -1和例和例8- -2可得可得 第一张第一张第一张上一张上一张上一张下一张下一张下一张最后一张最后一张最后一张结束授课结束授课结束授课3. 3. 留数法留数法 设连续信号设连续信号f(t)f(t)的拉普拉斯变换式的拉普拉斯变换式F F（S S）及其全部极点）及其全部极点p pi i为已知，可利用留为已知，可利用留数法求其数法求其Z变换变换F(z)F(z)，即，即 式中式中为为在在 s= =p pi i处的留数处的留数 当当s= =p pi i为一阶极点时，其留数为为一阶极点时，其留数为 当当s= =p pj j为为q q阶极点时，其留数为

30、阶极点时，其留数为 第第21 页页【例例8-4】求求f（t）=t的的z变换变换 t 0 第一张第一张第一张上一张上一张上一张下一张下一张下一张最后一张最后一张最后一张结束授课结束授课结束授课 解解 由于由于 在在s= =0处有二阶极点，处有二阶极点，f(t)f(t)的的z z变换变换F(z)F(z)为为 附录附录A A、附录、附录B B列出了常用函数及其拉普拉斯变换和列出了常用函数及其拉普拉斯变换和z z变换变换, ,便于使用时便于使用时查阅。查阅。 三、三、z z变换的基本定理变换的基本定理1. 1. 线性定理线性定理 设有连续时间函数设有连续时间函数 若若 i为常数，则为常数，则 线性定理

31、表明线性定理表明, ,时域函数线性组合的时域函数线性组合的z变换等于各时域函数变换等于各时域函数z变换的线性组合。变换的线性组合。 第第22页页2. 2. 延迟定理延迟定理 第一张第一张第一张上一张上一张上一张下一张下一张下一张最后一张最后一张最后一张结束授课结束授课结束授课设设f(t)f(t)的的z z变换为变换为F F（z z），且），且t t0 0时，时，f(t)=0,f(t)=0,则则证明从略。证明从略。 延迟定理说明，原函数在时域中延迟延迟定理说明，原函数在时域中延迟k k个采样周期求个采样周期求z z变换变换, ,相当于它的相当于它的z变换变换乘以乘以z-k-k。因此。因此 z-k

32、-k可以表示时域中的滞后环节可以表示时域中的滞后环节, ,它把采样信号延迟它把采样信号延迟k k个采样周期个采样周期, ,如如囹囹8- -17所示。所示。 第第23页页3. 3. 超前定理超前定理第一张第一张第一张上一张上一张上一张下一张下一张下一张最后一张最后一张最后一张结束授课结束授课结束授课 设函数设函数f(t)的的z变换为变换为F(z)，则，则 证明从略证明从略 采样信号在时间轴上移动的定理有延迟定理和超前定理采样信号在时间轴上移动的定理有延迟定理和超前定理,总称为位移定理。总称为位移定理。 延迟定理表示将采样信号在时间轴上整体右移后的延迟定理表示将采样信号在时间轴上整体右移后的z变换

33、变换,表现为时间上延迟。表现为时间上延迟。 超前定理表示将采样信号在时间轴上整体左移后的超前定理表示将采样信号在时间轴上整体左移后的z变换变换,表现为时间上超前。表现为时间上超前。 4. 4. 初值定理初值定理 设设f(t)(t)的的z变换为变换为 F(z)，而且，而且存在，则存在，则 初值定理表明采样信号的初值与该信号的初值定理表明采样信号的初值与该信号的z变换的终值相等。用于已知其中之变换的终值相等。用于已知其中之一求另一个时的情况。一求另一个时的情况。证明从略证明从略 第第24页页第一张第一张第一张上一张上一张上一张下一张下一张下一张最后一张最后一张最后一张结束授课结束授课结束授课 设函

34、数设函数f(t)f(t)的的z z变换为变换为F F(z)，且，且5. 5. 终值定理终值定理 圆上和圆外均没有极点，则圆上和圆外均没有极点，则在在z z平面上的以原点为圆心的单位平面上的以原点为圆心的单位证明从略证明从略 终值定理表明采样信号在时间上的终值与该信号的终值定理表明采样信号在时间上的终值与该信号的z z变换变换F F(z)在在z=1时的取值的时的取值的关系。常关系。常用于计算离散系统的稳态误差。用于计算离散系统的稳态误差。 6 .6 .复数偏移定理复数偏移定理 设函数设函数f(t)f(t)的的z z变换为变换为F(z)F(z)，则，则 证明从略证明从略 7. 7. 卷积定理卷积定

35、理 设设 第第25 页页式中，式中，n= =0，1 1，2，正整数。则正整数。则第一张第一张第一张上一张上一张上一张下一张下一张下一张最后一张最后一张最后一张结束授课结束授课结束授课证明从略证明从略 四、四、z z反变换反变换 由由F(z z)求求f f* *(t)(t)过程称为过程称为z反变换，表示为反变换，表示为 由于由于z z变换只表征连续函数在采样时刻的变换只表征连续函数在采样时刻的特性特性, ,并不反映采样时刻之间的特性并不反映采样时刻之间的特性, ,因此因此z z反反变换只能求出采样函数变换只能求出采样函数f f* *(t),(t),不能求出其连续不能求出其连续函数函数f(t)(t

36、)。即有。即有 表明表明F(z)对应的对应的f*(t)是唯一的，但与是唯一的，但与F(z)对对应的应的f(t)不是唯一的，可有无穷多个。不是唯一的，可有无穷多个。 第第26 页页1. 1. 长除法长除法 第一张第一张第一张上一张上一张上一张下一张下一张下一张最后一张最后一张最后一张结束授课结束授课结束授课 设设F( (z) )的一般表达式为的一般表达式为 将将F( (z) )的分子、分母多项式按的分子、分母多项式按z z的的降幂形式排列降幂形式排列, ,用分子多项式除以分母多用分子多项式除以分母多项项式式, ,可得到可得到F( (z) )关于关于z z-1-1的无穷级数形式的无穷级数形式, ,

37、在根据延迟定理得到在根据延迟定理得到f f* *(t)(t)。对上式求对上式求z z反变换反变换, ,得得 【例例8-8 】求求的的z反变换反变换 解解 用长除法可以求得用长除法可以求得 所以所以 第第27 页页2. 2. 部分分式法部分分式法 第一张第一张第一张上一张上一张上一张下一张下一张下一张最后一张最后一张最后一张结束授课结束授课结束授课 将将F(z)/z/z展开成部分分式。展开成部分分式。由于在由于在F(z)F(z)式中式中, ,分子表达式中通常含有分子表达式中通常含有z z。 得到部分分式后得到部分分式后, ,再将再将z z乘到各部分分式的分子部分乘到各部分分式的分子部分, ,再查

38、表进行反变换即可。再查表进行反变换即可。【例例8-9】求求z的反变换。的反变换。 解解 将将F (z)/ /z展开成部分分式为展开成部分分式为 所以所以 则对应的时间函数则对应的时间函数f f* *(t)(t)为为 第第28页页3. 3. 留数法留数法第一张第一张第一张上一张上一张上一张下一张下一张下一张最后一张最后一张最后一张结束授课结束授课结束授课 由由z变换的定义有变换的定义有 用用zn-1n-1乘上式两端乘上式两端, ,得得 根据复变函数理论根据复变函数理论, ,知知 式中，式中， 包围包围F(z)zn-1在在c中的所有极点。中的所有极点。 为为在在z=p=pi i处的留数；积分路径处

39、的留数；积分路径c当当z=p=pi i为一阶极点时，其留数为为一阶极点时，其留数为 当当z=p=pj j为为q重极点时，其留数为重极点时，其留数为 第第29页页【例例8-10】求求 第一张第一张第一张上一张上一张上一张下一张下一张下一张最后一张最后一张最后一张结束授课结束授课结束授课的的z反变换。反变换。 解解 F(z)zn-1在在z=1处有二重极点，其留数为处有二重极点，其留数为 所以所以 或写成或写成 【例例8-11】求求的的Z反变换。反变换。 解解 由留数法公式，得由留数法公式，得 在在z= =1处有单极点，在处有单极点，在z=0.5=0.5处有二重极点，有处有二重极点，有 第第30页页

40、第一张第一张第一张上一张上一张上一张下一张下一张下一张最后一张最后一张最后一张结束授课结束授课结束授课由此可得由此可得 五、广义五、广义z z变换变换 以上讨论的以上讨论的z z变换法，可得到各采样时刻的信息。但实际离散系统的输出信变换法，可得到各采样时刻的信息。但实际离散系统的输出信号通常是连续信号，因此也需要获得采样时刻之间的信息。此外，当离散系统中号通常是连续信号，因此也需要获得采样时刻之间的信息。此外，当离散系统中含有滞后环节含有滞后环节e e- - Ts，且，且 不是采样周期的整倍数时，需要研究采样时刻之间的特不是采样周期的整倍数时，需要研究采样时刻之间的特性。性。这种研究采样时刻之

41、这种研究采样时刻之间特性的间特性的z变换称为广义变换称为广义z变换。变换。 假设在原系统中加入一个滞后环节假设在原系统中加入一个滞后环节e e- - Ts（0 0 1 1），原系统的采样信号为，原系统的采样信号为 f f* *(t) (t) 经延迟后变为经延迟后变为第第31 页页 采样信号采样信号f f* *(t)(t)和和f f* *(t-(t- T) )在采样时刻在采样时刻nTnT时的采样值分别为时的采样值分别为f f* *(NT)(NT)和和第一张第一张第一张上一张上一张上一张下一张下一张下一张最后一张最后一张最后一张结束授课结束授课结束授课f f* *(NT-(NT- T)T)如图如图

42、8- -19所示。所示。 采样信号采样信号f f* *(t- (t- T) )在在采样时刻采样时刻nTnT的采样值的采样值f f * *(nT-(nT- T) ), ,相当于采样信号相当于采样信号f f* *(t)(t)在采样时刻在采样时刻(n-1)T(n-1)T和和nTnT之间的某个插值。之间的某个插值。 当当 是正整数时，根据是正整数时，根据z z变换的延迟变换的延迟定理，有定理，有 当延迟时间不是采样周期的整数倍时当延迟时间不是采样周期的整数倍时, ,可将延迟时间表示为可将延迟时间表示为( ( )T,T,其中其中 为为正整正整数数, , 为正小数为正小数, ,延迟后的采样信号为延迟后的采

43、样信号为 为正整数为正整数, ,利用延迟定理利用延迟定理, ,其其z变换为变换为 若若 = =0，则上式化为，则上式化为 记为记为第第32页页广义广义z变换的另外一种表示法变换的另外一种表示法。设设 第一张第一张第一张上一张上一张上一张下一张下一张下一张最后一张最后一张最后一张结束授课结束授课结束授课则有则有由此可见由此可见, ,函数函数f(t)延迟延迟 T后的后的z变换等于变换等于z-1-1乘以乘以f(t)超前超前mT时的时的z变换变换, ,记为记为 【例例8-12】设设f(t)=1-e-at求求f(t)延迟延迟 T后的后的z变换变换 解解 令令 =1-m=1-m则则第第33 页页【例例8-

44、13】离散控制系统如图离散控制系统如图8-20所示，系统含有延迟环节所示，系统含有延迟环节e-( + )Ts，试求闭环系统，试求闭环系统第一张第一张第一张上一张上一张上一张下一张下一张下一张最后一张最后一张最后一张结束授课结束授课结束授课的输出信号和输入信号的的输出信号和输入信号的z变换之比。变换之比。解解 系统的开环传递函数为系统的开环传递函数为 令令 =1-m,=1-m,则则所以所以进行广义进行广义z变换，得变换，得闭环系统输出信号和输入信号的闭环系统输出信号和输入信号的z变换之比为变换之比为 第第34页页常用的广义常用的广义z变换表变换表第一张第一张第一张上一张上一张上一张下一张下一张下

45、一张最后一张最后一张最后一张结束授课结束授课结束授课第第35页页第五节第五节 线性差分方程线性差分方程 第一张第一张第一张上一张上一张上一张下一张下一张下一张最后一张最后一张最后一张结束授课结束授课结束授课 描述描述n n阶阶线性连续系统线性连续系统的数学模型为的数学模型为n n阶微分方程阶微分方程，而描述，而描述n n阶阶线性离散系线性离散系统统的教学的教学模型为模型为n n阶阶线性差分方程线性差分方程。n阶线性差分方程的一般形式为阶线性差分方程的一般形式为式中式中r( (nT) )输入量，输入量，c(c(nT) )输出量输出量 前向差分和后向差分是差分的两种基本类型。前向差分和后向差分是差

46、分的两种基本类型。 设连续函数设连续函数y y( (t) )的的采样序列为采样序列为y y( (nT) )，则，则一阶前向差分一阶前向差分定义为定义为 二阶前向差分二阶前向差分定义为定义为 一阶后向差分定义为一阶后向差分定义为 二阶后向差分定义为二阶后向差分定义为 第第36页页【例例8-14】控制系统如图控制系统如图 8-21所示，试求其差分方程所示，试求其差分方程第一张第一张第一张上一张上一张上一张下一张下一张下一张最后一张最后一张最后一张结束授课结束授课结束授课 解解 由由即即 得系统的微分方程为得系统的微分方程为因因在在t= =nT( (n= =0,1,1,2, ,) )时的值可用一阶前

47、向差分来近似时的值可用一阶前向差分来近似将上式代入系统微分方程，整理后得前向差分方程将上式代入系统微分方程，整理后得前向差分方程在图在图8-21中引入采样开关和零阶保持器，得到一个离散控制系统，其差分方程为中引入采样开关和零阶保持器，得到一个离散控制系统，其差分方程为结果同前结果同前,表明了采样开关和保持器的作用。表明了采样开关和保持器的作用。第第37 页页【例例8-16】用用z变换法求解二阶差分方程变换法求解二阶差分方程 第一张第一张第一张上一张上一张上一张下一张下一张下一张最后一张最后一张最后一张结束授课结束授课结束授课 初始条件初始条件y(0)=0，y(T)=1，输入为单位阶跃函数，输入

48、为单位阶跃函数 解解 利用利用z z变换的位移定理变换的位移定理, ,对差分方程进行对差分方程进行z变换变换, ,得得 将已知条件代入上式，整理得将已知条件代入上式，整理得 利用部分分式法求利用部分分式法求Y( (z) )的的z反变换反变换, ,即即 两边同乘以两边同乘以z , ,得得或写为或写为求求z反变换，得反变换，得差分方程还可用迭代法等求解差分方程还可用迭代法等求解第第38页页第六节第六节 脉冲传递函数脉冲传递函数 第一张第一张第一张上一张上一张上一张下一张下一张下一张最后一张最后一张最后一张结束授课结束授课结束授课一、脉冲传递函数的基本概念一、脉冲传递函数的基本概念 线性离散系统线性

49、离散系统初始条件为零初始条件为零时时, ,系统系统输出信号的输出信号的z z变换变换与与输入信号的输入信号的z z变换之变换之比比, ,称为线性离散系统的称为线性离散系统的脉冲传递函数脉冲传递函数, ,或简称为或简称为z z传递函数传递函数。 设线性定常离散系统如设线性定常离散系统如图图8-238-23所示。图所示。图(a)(a)所示系所示系统的其脉冲传递函数统的其脉冲传递函数为为 实际采样系统的输出信实际采样系统的输出信号通常是连续信号号通常是连续信号, ,为了应为了应用脉冲传递函数用脉冲传递函数概念概念, ,可在可在系统的输出端虚设一个同步系统的输出端虚设一个同步采样开关采样开关, ,使输

50、出成为离散使输出成为离散信号信号, ,如图如图(b)(b)所示。所示。 第第39 页页 脉冲传递函数的物理含义脉冲传递函数的物理含义 第一张第一张第一张上一张上一张上一张下一张下一张下一张最后一张最后一张最后一张结束授课结束授课结束授课 设输入脉冲序列为设输入脉冲序列为在在0 0 t T T时间段，起作用的只有时间段，起作用的只有t=0t=0时刻时刻加入的脉冲加入的脉冲r(0)r(0) (t)(t)，系统的输出为，系统的输出为 在在T T t 2T时间段，起作用的只有时间段，起作用的只有t=0t=0和和t= =T时刻加入的两个脉冲时刻加入的两个脉冲r(0)r(0) (t)(t)和和r(T)r(

51、T) (t-T)(t-T)，系统的输出为，系统的输出为 同理，在同理，在kT t (k+ +1)T时间段，系统输出为时间段，系统输出为 将将t= =kT代入上式，得代入上式，得 第第40页页因因t 0时时, ,g( (t)=)=0,上式可写成上式可写成 第一张第一张第一张上一张上一张上一张下一张下一张下一张最后一张最后一张最后一张结束授课结束授课结束授课根据根据z z变换的卷积定理，上式的变换的卷积定理，上式的z z变换为变换为 式中：式中：G( (z) )、R( (z) )、C( (z) )分别为分别为g( (t) )、r( (t) )、c( (t) )的的z变换。变换。 即离散系统脉冲传递

52、函数即离散系统脉冲传递函数为为必须注意两点：必须注意两点：（1 1）G(S)G(S)表示线性系统的传递函数，而表示线性系统的传递函数，而G(z)G(z)表示线性系统与采样开关结合后表示线性系统与采样开关结合后的的脉冲传递函数，即描述了两者结合后构成的离散系统特性。脉冲传递函数，即描述了两者结合后构成的离散系统特性。 （2 2）G(z)G(z)与与G(S)G(S)之间的关系可表示为之间的关系可表示为 但但 第第41页页二、开环系统的脉冲传递函数二、开环系统的脉冲传递函数 第一张第一张第一张上一张上一张上一张下一张下一张下一张最后一张最后一张最后一张结束授课结束授课结束授课 离散系统中两个串联环节

53、之间有无采样开关，等效脉冲传递函数不同。离散系统中两个串联环节之间有无采样开关，等效脉冲传递函数不同。1 1、串联环节之间无采样开关、串联环节之间无采样开关 系统如图系统如图8-24(a)8-24(a)所示所示, ,输出离散信号与输入离散信号之输出离散信号与输入离散信号之间脉冲传递函数为间脉冲传递函数为 上式表明上式表明, ,当串联环节之间无采样开关时当串联环节之间无采样开关时, ,系统脉冲传递函数系统脉冲传递函数为各为各串联环节传串联环节传递函数乘积的递函数乘积的z z变换变换。该结论可推广到相互间无采样开关的。该结论可推广到相互间无采样开关的n个环节串联的情况。个环节串联的情况。 2 2、

54、串联环节之间有采样开关、串联环节之间有采样开关 图图8-24(b)8-24(b)所示系统所示系统, ,两个环节之两个环节之间有采样开关。因间有采样开关。因 有有即即等效脉冲传递函数等效脉冲传递函数为各为各串联环节脉串联环节脉冲传递函数之积冲传递函数之积。该结论也可推广到。该结论也可推广到n个环节串联的情况。个环节串联的情况。 第第42页页【例例8-17】 设图设图8-24中中第一张第一张第一张上一张上一张上一张下一张下一张下一张最后一张最后一张最后一张结束授课结束授课结束授课,求系统脉冲传递函数。求系统脉冲传递函数。解解 无采样开关时系统脉冲传递函数为无采样开关时系统脉冲传递函数为 有采样开关

55、时系统脉冲传递函数为有采样开关时系统脉冲传递函数为 可见可见, ,两个串联环节之间有无采样开关两个串联环节之间有无采样开关, ,等效脉冲传递函数确实不相等。等效脉冲传递函数确实不相等。 三、闭环系统的脉冲传递函数三、闭环系统的脉冲传递函数 由于闭环离散系统中采样开关的位由于闭环离散系统中采样开关的位置和个数不唯一置和个数不唯一, ,导致导致系统结构形式多系统结构形式多样化。对图样化。对图8-258-25所示结构所示结构, ,有有1. 1. 参考输入作用时参考输入作用时第第43 页页两式合并两式合并, ,得得第一张第一张第一张上一张上一张上一张下一张下一张下一张最后一张最后一张最后一张结束授课结

56、束授课结束授课对对E(s)E(s)进行采样，得进行采样，得E E* *(s)(s)的表达式为的表达式为 得得而而写为写为z z变换形式，得变换形式，得给定输入时闭环脉冲传递函数为给定输入时闭环脉冲传递函数为 同理可得，同理可得，误差的脉冲传递函数为误差的脉冲传递函数为如为如为单位反馈系统单位反馈系统，则有，则有1+GH(z)1+GH(z)称为离散系统的称为离散系统的特征式特征式。1+GH(z)=01+GH(z)=0称为称为离散系统的离散系统的特征方程特征方程。z z平面上平面上满满 足特征方程的点足特征方程的点称为离散系统的称为离散系统的闭环极点闭环极点。第第44 页页2. 2. 当离散系统中

57、含有数字控制器当离散系统中含有数字控制器D(S)D(S)时时 第一张第一张第一张上一张上一张上一张下一张下一张下一张最后一张最后一张最后一张结束授课结束授课结束授课 系统方框图如图系统方框图如图8- -26所示所示, ,有有 离散化后得离散化后得E E* *(s)(s)表达式为表达式为又由又由得得将上式代入将上式代入E E* *(s)(s)表达式表达式, ,并整理得并整理得 同理，由同理，由离散化得离散化得变换为变换为写为写为z变换形式变换形式, ,即为即为系统的闭环脉冲传递函数系统的闭环脉冲传递函数第第45 页页3. 3. 扰动信号作用时扰动信号作用时第一张第一张第一张上一张上一张上一张下一

58、张下一张下一张最后一张最后一张最后一张结束授课结束授课结束授课 离散系统通常有参考输入信号离散系统通常有参考输入信号R(s)R(s)，还有干扰信号，还有干扰信号N(s)N(s)共同作用。共同作用。 设系统方框图如图设系统方框图如图8-278-27所示所示, ,根据线性系统叠加原理，设根据线性系统叠加原理，设R(s)=0,N(s)R(s)=0,N(s)单独作单独作用，可求出干扰作用时的响应。用，可求出干扰作用时的响应。可得可得由由写成写成z变换形式变换形式 第第46页页常见采样系统的方框图及其输出离散信号的常见采样系统的方框图及其输出离散信号的Z变换变换第一张第一张第一张上一张上一张上一张下一张

59、下一张下一张最后一张最后一张最后一张结束授课结束授课结束授课第第47页页第一张第一张第一张上一张上一张上一张下一张下一张下一张最后一张最后一张最后一张结束授课结束授课结束授课第第48页页第七节第七节 离散系统时域分析法离散系统时域分析法第一张第一张第一张上一张上一张上一张下一张下一张下一张最后一张最后一张最后一张结束授课结束授课结束授课 用用拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法可分析可分析连续系统的暂态响应连续系统的暂态响应，同样，用，同样，用z变换法变换法也可分析也可分析离离散系统的暂态响应散系统的暂态响应。根据系统闭环脉冲传递函数和输入信号。根据系统闭环脉冲传递函数和输入信号c(t)，求出离散系统

60、输，求出离散系统输出信号出信号c*(t)。根据。根据c*(t)，可求出超调量可求出超调量Mp，调节时间调节时间ts等性能指标。等性能指标。一、一、离散系统的暂态响应分析离散系统的暂态响应分析 对图对图8-28所示所示二阶离散系统，二阶离散系统，闭环脉冲传递函数为闭环脉冲传递函数为 式中式中 由此可得由此可得 当输入为单位阶跃时，即当输入为单位阶跃时，即 ，使用长除法可得，使用长除法可得输出信号的输出信号的z变换为变换为第第49 页页求求C(z)的的z反变换反变换, ,得得第一张第一张第一张上一张上一张上一张下一张下一张下一张最后一张最后一张最后一张结束授课结束授课结束授课 将输出采样信号将输出