教育学院试教-不定积分的运算法则

1、§5.3 不定积分的运算法则一、复习1原函数的定义(定义1) 设是定义在区间上的一个函数，如果存在函数，在区间上的任何一点处都有，或，那么函数就称为在区间上的一个原函数。思考：如果存在原函数，那么这个函数的原函数是否唯一？答：不唯一。因为，(为任意常数)注意：如果是的一个原函数，那么是的全体原函数，我们把称为的不定积分.2不定积分的定义(定义2)如果是的一个原函数，那么的原函数全体(为任意常数)叫做的不定积分，记作，其中叫做积分符号，叫做被积函数，叫做积分变量，叫做积分表达式，叫做积分常数。3不定积分的性质()(1) ; (2) .4基本积分公式()课本十二个公式是求不定积分的基础，

2、必须熟记，不仅要记右端的结果，还要熟悉左端被积函数的的形式。二、引入在不定积分的定义、性质以及基本积分公式的基础上，我们进一步来讨论不定积分的计算问题，首先我们学习不定积分的两个运算法则。三、新课讲授 法则1被积式的常数因子可以提到积分号前面，即如果为不等于零的常数，那么，.证明：由于即是的原函数，所以有.法则2两个函数的和(或差)的不定积分等于这两个函数的不定积分的和(或差)，即.推广：任意有限个函数的和(或差)的情况：例1 求.分析：利用幂函数的积分公式求不定积分时，应先将被积函数化成函数指数幂的形式。解 原式= = = =注：(1)求函数的不定积分时积分常数不能丢掉，否则就会出现概念性的

3、错误。(2)等式右端的每个不定积分都有一个积分常数，因为有限个任意常数的代数和仍是一个常数，所以只要在结果中写一个积分常数即可。(3)检验积分计算是否正确，只需对积分结果求导，看它是否等于被积函数。若相等，积分结果是正确的，否则是错误的。例3 求分析：当被积函数是三角函数时，通常利用一些三角恒等式，将被积函数向基本积分公式表中有的形式转化。解 原式= (注：) = (注：被积函数是常数1可省略)=例4 求解 原式= = =练习 例5 .解 原式= = = = =例6 分析：根据被积函数分子、分母的特点，利用常用的恒等变换，例如：分解因式、指数公式、三角公式、加项减项等等，将被积函数化成几项之和

4、即可求解。解 原式= = = =四、课堂小结1.一个函数的原函数有无穷多个，它们之间仅相差一个常数；2.求不定积分时，不要漏写任意常数C；3.求一个函数的不定积分，允许结果在形式上不同，但其结果的导数应相等。五、布置课后练习作业课后练习 例2 例7 课后作业 练习5.3 :1.(1)、(4)、(7)、(8)一、定积分和不定积分的区别1. 不定积分的定义是求连续函数的所有原函数，即一个函数的不定积分（亦称原函数）指另一族函数，这一族函数的导函数恰为前一函数；定积分的定义是和式的极限。2.不定积分计算的是原函数（得出的结果是一个式子）； 定积分计算的是具体的数值（得出的结果是一个具体的数字）。3.

5、不定积分的几何意义：函数的原函数图形称为的积分曲线，此积分曲线为一族积分曲线，为积分曲线的斜率；定积分的几何意义：曲线与直线x=a，x=b，y=0所围成的曲边梯形的面积。二、定积分和不定积分的联系尽管不定积分与定积分概念的引入完全不同，但彼此有着密切的联系，因此我们可以通过求原函数来计算定积分.牛顿莱布尼茨公式 (也称微分基本公式)-沟通微分学与积分学的关系设是区间上的连续函数，是函数在区间上的任一原函数，即，则.牛顿莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便的基本方法，即求定积分的值，只要求出被积函数的一个原函数，然后计算原函数在区间上的增量即可.该公式把计算定积分归结为求原函数的问题，可以借助原函数计算定积分，揭示了定积分与不定积分之间的内在联系.三、原函数存在定理如果在上连续，则积分上限的函数就是在上的一个原函数。定理的重要意义：(1)肯定了连续函数的原函数是存在的；(2)初步揭示了积分学中