2015高考数学（人教版a版）一轮配套题库：2-13导数的应用(二)

1、第十三节导数的应用(二)时间：45分钟分值：75分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1函数yax3x在R上是减函数，则()Aa Ba1Ca2 Da0解析y3ax21，因为函数yax3x在R上是减函数，所以3ax210在R上恒成立，所以a0.故选D.答案D2已知alnx对任意x恒成立，则a的最大值为()A0 B1C2 D3解析设f(x)lnxlnx1，则f(x).当x时，f(x)<0，故函数f(x)在上单调递减；当x(1,2时，f(x)>0，故函数f(x)在(1,2上单调递增f(x)minf(1)0.a0，故a的最大值为0.故选A.1 / 12答案A3若直线ym与y3

2、xx3的图象有三个不同的交点，则实数m的取值范围为()A2<m<2 B2m2Cm<2或m>2 Dm2或m2解析y3(1x)(1x)，由y0，得x±1，y极大2，y极小2，2<m<2.答案A4设a>0，b>0，e是自然对数的底数()A若ea2aeb3b，则a>bB若ea2aeb3b，则a<bC若ea2aeb3b，则a>bD若ea2aeb3b，则a<b解析a>0，b>0，ea2aeb3beb2bb>eb2b.对于函数yex2x(x>0)，yex2>0，yex2x在(0，)上单调递增，因而

3、a>b成立答案A5(2014·青岛模拟)如图为一圆锥形容器，其底面圆的直径等于圆锥母线长，水以每分钟9.3升的速度注入容器内，则注入水的高度在t分钟时的瞬时变化率为(注：3.1)()A27分米/分钟 B9分米/分钟C81分米/分钟 D9分米/分钟解析设t时刻水面高度为h，半径为r，则rh.此时水的体积Vr2hh3，又V9.3t所以h39.3t，且3.1.h3t，则ht，故当t分钟时的瞬时变化率为()9.答案B6(2014·东北三省联考)已知f(x)为定义在(，)上的可导函数，且f(x)<f(x)，对于任意xR恒成立，则()Af(2)>e2·f(0

4、)，f(2 010)>e2 010·f(0)Bf(2)<e2·f(0)，f(2 010)>e2 010·f(0)Cf(2)>e2·f(0)，f(2 010)<e2 010·f(0)Df(2)<e2·f(0)，f(2 010)<e2 010·f(0)解析设g(x)，则g(x)，又f(x)<f(x)对xR恒成立，所以g(x)>0，所以g(x)在R上单调递增g(2)>g(0)，>，f(2)>e2f(0)，g(2 010)>g(0)，>，f(2 01

5、0)>e2 010f(0)，选A.答案A二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7电动自行车的耗电量y与速度x之间有关系yx3x240x(x>0)，为使耗电量最小，则速度应定为_解析由yx239x400，得x1或x40，由于0<x<40时，y<0；当x>40时，y>0.所以当x40时，y有最小值答案408关于x的方程x33x2a0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是_解析方程可化为ax33x2，设f(x)x33x2，则f(x)3x26x，由f(x)>0，得x>2或x<0；由f(x)<0，得0<x<2，所

6、以f(x)在(，0)和(2，)上单调递增，在(0,2)上单调递减，故f(x)在x0处有极大值，f(0)0.在x2处有极小值f(2)4.要使方程有三个不同的实根，则有4<a<0.答案(4,0)9若f(x)xsinxcosx，则f(3)，f()，f(2)的大小关系为_解析由f(x)f(x)知，函数f(x)为偶函数，因此f(3)f(3)又f(x)sinxxcosxsinxxcosx，当x(0，)时，f(x)>0，x(，)时，f(x)<0.f(x)在区间(，)上是减函数f()>f(2)>f(3)f(3)答案f(3)<f(2)<f()三、解答题(本大题共3

7、小题，每小题10分，共30分)10设函数f(x)alnxbx2(x>0)，(1)求函数f(x)在x1处与直线y相切，求实数a，b的值；求函数f(x)在 上的最大值(2)当b0时，若不等式f(x)mx对所有的a，x(1，e2都成立，求实数m的取值范围解(1)f(x)2bx，函数f(x)在x1处与直线y相切，解得f(x)lnxx2，f(x)x，当xe时，令f(x)>0得x<1；令f(x)<0，得1<xe，f(x)在上单调递增，在1，e上单调递减f(x)maxf(1).(2)当b0时，f(x)alnx，不等式f(x)mx对所有的a，x(1，e2都成立，即alnxmx对所

8、有的a，x(1，e2都成立，即malnxx对所有的a，x(1，e2都成立，令h(a)alnxx，则h(a)为一次函数，mh(a)min.x(1，e2，lnx>0.h(a)在a上单调递增h(a)minh(0)x.mx对所有的x(1，e2都成立1<xe2，e2x<1，m(x)mine2.11(2014·济南模拟)济南市“两会”召开前，某政协委员针对自己提出的“环保提案”对某处的环境状况进行了实地调研据测定，该处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源的距离成反比，比例常数为k(k>0)现已知相距36 km的A，B两家化工厂(污染源)的污染程度分别为正数a，b

9、，它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和设ACx(km)(1)试将y表示为x的函数；(2)若a1时，y在x6处取得最小值，试求b的值解(1)设点C受A污染源污染指数为，点C受B污染源污染指数为，其中k为比例系数，且k>0.从而点C处污染指数y(0<x<36)(2)因为a1，所以y，yk，令y0，得x，当x(0，)时，函数单调递减；当x(，)时，函数单调递增，当x时，函数取得最小值又此时x6，解得b25，经验证符合题意所以，污染源B的污染强度b的值为25.12(理)(2013·天津卷)已知函数f(x)x2lnx.()求函数f(x)的单调区间

10、；()证明：对任意的t>0，存在唯一的s，使tf(s)；()设()中所确定的s关于t的函数为sg(t)，证明：当t>e2时，有<<.解()函数f(x)的定义域为(0，)f(x)2xlnxxx(2lnx1)，令f(x)0，得x.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，)(，)f(x)0f(x)极小值所以函数f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，)()证明：当0<x1时，f(x)0.设t>0，令h(x)f(x)t，x1，)由()知，h(x)在区间(1，)内单调递增h(1)t<0，h(et)e2tlnettt(e2t1)>

11、0.故存在唯一的s(1，)，使得tf(s)成立()证明：因为sg(t)，由()知，tf(s)，且s>1，从而，其中ulns.要使<<成立，只需0<lnu<.当t>e2时，若sg(t)e，则由f(s)的单调性，有tf(s)f(e)e2，矛盾，所以s>e，即u>1，从而lnu>0成立另一方面，令F(u)lnu，u>1.F(u)，令F(u)0，得u2.当1<u<2时，F(u)>0；当u>2时，F(u)<0.故对u>1，F(u)F(2)<0.因此lnu<成立综上，当t>e2时，有<<.12(文)已知函数f(x)x2lnx.(1)求函数f(x)在1，e上的最大值和最小值；(2)求证：当x(1，)时，函数f(x)的图象在g(x)x3x2的下方解(1)f(x)x2lnx，f(x)2x.x>1时，f(x)>0，故f(x)在1，