高等数学中求函数极限的若干方法举例探析

1、    高等数学中求函数极限的若干方法举例探析    林见松摘 要：函数极限的计算是高等数学的重要组成部分，灵活掌握计算方法对学好高等数学起着极其关键的作用。有关函数极限计算的方法众多，该文通过具体例题探析了用定义法、四则运算法则、函数的连续性、分段点处左右极限讨论、两个重要极限及变形公式、无穷小量性质、等价无穷小替换、导数的定义、洛必达法则等9种常用方法计算函数极限。关键词：函数 极限 方法中图分类号：g64 文献标识码：a 文章编号：1674-098x（2017）05（c）-0222-02函数极限的计算是整个高等数学的重点，掌握函数极限的计算方法对于

2、学好高等数学起着极其关键的作用。针对初学者的学习需求，结合教学实践，现将常见求解函数极限的若干方法做一探析归纳。1 定义法求极限用定义法求函数极限常常借助于函数的图像来分析，更有直观性。例1：求解：观察函数的图像（如图1），分析该函数当自变量无限接近于1（但）时函数值的变化趋势，容易发现：当，函数的函数值无限的接近于2，即=2.2 四则运算法则求极限对和、差、积、商形式的函数求极限，考虑能否直接利用极限的四则运算法则来计算。特别地，对于不能直接利用四则运算法则的，往往要变形或化简（如分解因式、通分、分子或分母有理化等等）后再使用。例2：求解：原式=例3：求解：原式=1.例4：求解：分子分母的极

3、限均不存在，不能直接运用法则。分子分母同处以，得。=一般地，当，为非负整数时，有=3 函数的连续性求极限连续函数在其定义域内某点的极限值等于在该点的函数值，利用此结论可求函数极限。例5：求.解：因是初等函数，其定义域为，而，所以=0.4 分段点处左右极限讨论求极限利用，求（或判断）分段函数在分段点处的极限（存在与否）。例6：讨论函数，当时的极限。解：由于，所以当时的函数极限不存在。5 两个重要极限及变形公式求极限利用两个重要极限、（或）或其变形、等进行极限计算。例7：证明证明：等式左边=右边.例8：计算解：原式=6 无穷小量性质求极限无穷小量性质有限个无穷小量的和（积）仍是无穷小量；有界函数与

4、无穷小的积为无穷小量。例9：求解：因时，是无穷小量，而1，所以有=07 等价无穷小替换求极限例10：求解：因为当时，所以，原式=注意：在利用等价无穷小求极限时，一般只在以乘積或商的因子中替换。8 利用导数的定义求极限对具有形如或形式的极限，可利用导数的定义来求解。例11：设存在，求解：=9 洛必达法则求极限“”型、“”型两种不定式的极限求解，往往优先考虑用洛必达法则，对于其它的不定式，如“、 、”等，可通过适当变形，将它们转化成前两种不定式，然后再利用罗必达法则求极限。使用罗必达法则时，可以先使用一些技巧（如变量替换、等价无穷小等）将原函数化简。例12：求解：原式=。实际上，求解函数极限的方法

5、还有很多，如利用定积分定义、夹逼定理、级数、泰勒展开式、微分中值定理等等。解同一题目可用不同方法或多种方法联合运用。不难发现，每种方法对计算函数极限类型有较强的针对性，为此，在通过上述基本方法学习的基础上，应让学习者掌握思想方法，学会分析所给函数极限的特征，做到灵活选择解法，最终实现具有独立解决此类问题的能力。参考文献1 湖南省教育科学研究院职业教育与成人教育研究所组.高等数学（工科类）m.北京：高等教育出版社，2014.2 同济大学，天津大学等.高等数学m.2版.北京：高等教育出版社，2004.3 吴云飞，裴亚萍.数列极限计算的方法与技巧j.宁波职业技术学院学报，2003，3（1）：91-92.4 李占光.函数极限的计算方法归纳