锐角三角函数学案

1、学习必备欢迎下载其次十八章锐角三角函数28 1锐角三角函数-正弦函数为了绿化荒山，某地准备从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，.在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要预备 多长的水管？这个问题可以归纳为，在rt abc中， c=90°， a=30°， bc=35m， .求 ab解 ： 根 据 “ 在 直 角 三 角 形 中 ， 30 ° 角 所 对 的 边 等 于 斜 边 的 一 半 ”， 即ba的对边斜边bc 1ab2可得 ab=2bc=70m，也就是说，需要预备70m长

2、的水管ac摸索：.在上面的问题中，.假如使出水口的高度为50m，那么需要预备多长的水管？第 2 个问题：既然直角三角形中，30°角的斜边与对边的比值不变，那么其他角度的对边与斜边的比值是否也不会变呢？.我们再换一个试一试.b如图 28 1-2 ，在 rt abc中， c=90°， a=45°， a 对边与斜边的比值是一个定值吗？ . 解：bcbc12=，ab2bc22ac即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管这个直角三角形的大小如何，.这个角的对边与斜边的比都等于2 2从上面这两个问题的结论中可知，.在一个 rt abc中， c=90°

3、，当 a=30°时， a 的对边与斜边的比都等于1，是一个固定值；.当 a=45°时， a 的对边与斜边的比都等于22 ，也是一个固定值2一般地，当a 取其他肯定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？o如图： rt abc 与 rt abc ， c= c =90 ， a= a= ，那么与有什么关系？o分 析 ： 由 于 c=c=90 ， a=a= ， 所 以rtabcrtabc ，即结论：在直角三角形中，当锐角a 的度数肯定时，不管三角形的大小如何，a的对边与斜边的比也是一个固定值；一·正弦函数的概念如图，在rt abc中， c=90°，

4、a、 b、 c 所对的边分别记为a、b、c,b我们把锐角a 的对边与斜边的比叫做a 的正弦 ；记作 sina ；ca即 sina a的对边a斜边ca bc 读作 /s in/留意 ：1、sina 不是 sin与 a 的乘积，而是一个整体；2、正弦的不同表示方式：sina 、sin、 sin56 °、 sin def 、sin 13、sina是线段之间的一个比值；sina没有单位二·正弦函数的简洁应用例 1如图，在rt abc中， c=90°，求 sina 和 sinbb的值3a4c1学习必备欢迎下载1如图 1，已知点p 的坐标是（ a， b），就 sin 等于（）

5、a abb b ac aa 2b 2d .ba 2b 2abc（ 1）（2）2 设直角三角形的两条直角边的比为5:12 ，就较大锐角的正弦值等于 3在 rt abc中， c=90°， sina=513，就 sinb 等于（）a 1213b 1312c 512d 5134（ 2004辽宁大连）在rt abc中， c=90°， a=1，c=4，就 sina 的值是（）a15b. 1c. 1d. .15154345如图 2，在 rt abc中， c=90°， ab=10，sinb=25， bc的长是（）a 221b.421c .21d .506 2006 海南三角形在正

6、方形网格纸中的位置如下列图，就sin 的值是（）a 3b4c 3d 443557（ 2005 厦门市）在直角abc中， c 90o，如 ab 5，ac 4，就 sina （）3434a 5b 5c 4d328 2006 黑龙江在abc中， c=90°， bc=2， sina= 3，就边 ac的长是 c43a13b 3cd5ba·9如图，已知ab 是 o的直径，点c、d 在 o上，且 ab 5， bc 3o就 sin bac=； sin adc=d10 2006 成都如图，在rt abc中， acb 90°， cd ab于点 d；已知cac= 5 ， bc=2，那么

7、 sin acd（）a53b 23c 255d52a11在 abc中， c=90°， 3a=3 b，就 sin a db12等腰梯形，上底长是1cm，高是 2cm，底角的正弦是4 ，就下底 = ，腰长 = 513在 abc中， c=90°， a=8， b=45 ，就 sin a+sin b= 14 等腰三角形底边长是10，周长是40，就其底角的正弦值是（）222ab334252cd3315如图，在abc中， c=90°， cdab于 d就 sin b=（）cdacababbcbcaccd abab学习必备欢迎下载28.1.2 余弦、正切函数（一）余弦、正切的概念类

8、似于正弦的情形，当锐角a 的大小确定时，a 的邻边与斜边的比、a 的对边与邻边的比也分别是确定的我们把 a 的邻边与斜边的比叫做a 的余弦 ，记作 cosa，即 cosa= a 的对边与邻边的比叫做a 的正切 ，记作 tana ，即 tana=锐角 a 的正弦、余弦、正切都叫做a 的锐角三角函数a的邻边斜 边 a的对边 a的邻边= a （读作 /k usin/）；c= a （读作 /t dg. nt/ ）；b注：对于锐角 a 的每一个确定的值，sina 有唯独确定的值与它对应，所以 sina 是 a 的函数 同样地， cosa ， tana 也是 a 的函数（二）余弦、正切概念的应用b如图，在

9、rt abc中， c=90°， bc=.6， sina= 3 ，求 cosa 、tanb 的值65ac1. 分别求出以下直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值；cb12b13a3ca22. 在 rtabc 中，假如各边长都扩大2 倍，那么锐角a 的正弦值、余弦值和正切值有什么变化？b3. 如图在 rtabc 中，c90, ac8, tan a3 ，求4sina,cos b 的值a8c练习： 1. abc中， c 90°，且 c 3b, 就 cos a （）2a3b.223c.1103 d.32在 rt abc中，各边的长度都缩小一半，那么锐角a 的各三角函数值（）（

10、a） 都扩大两倍（b）都缩小两倍（c）没有变化（ d）不能确定3如图 1，两条宽度都为1 的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为 ，就它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为（）11asin ab.cos ac sinad1aabbdcc1234学习必备欢迎下载4如图 2，在四边形abcd中， bad= bdc=90°，且 ad=3， sin cd长分别为（）3 ， sin abd=512 ，就 ab， bc，dbc=13a 4，12， 13b 4，13， 12c 5， 12， 13d5， 13， 125假如 a 是锐角，且cosa= 4 ，那么 sin （ 90° -a ）

11、的值等于（）5a 9b. 4c. 3d. 162555256如图 3，菱形 abcd中，对角线ac=6， bd=8， abd=a，就以下结论正确选项（）a sina= 45b cosa= 3 5c tana= 4 3d tana= 347如图 4，为测河两岸相对两杆a、b 间距离，在距a 点 17 米的 c 处（ acab）测得 acb=50°，就 a、b 间的距离应为（）a 17sin50 °米b 17cos50 °米c 17tan50 °米d17 米8在 abc中， c=90°，且 ac>bc，cd ab于 d，de ac于 e，ef

12、 ab于 f，.如 cd=.4，ab=10，就 ef：af 等于（）a 1b 5c 5d. . 2522559在中，那么abcd 10依据图中信息，经过估算运算的结果， 精确到 0.01 是 a 0.36b 0.46c 0.90d2.1811已知：如图，o是的外接圆， ad是o的直径，连接cd，如o的半径，就的值是 abc d12如图，cd是平面镜， 光线从 a 点动身经cd上点 e 反射后照耀到b 点，如入射角为，于，于，且，就的值为 abcd第 10 题第 11 题第 12 题学习必备欢迎下载28.1.3 特别角的三角函数值（一）特别值的三角函数30°45°60

13、6;sin 123222cos 321222tan 313322注 ：（ sin60 °）用 sin60°表示，即为（sin60 °）·（ sin60 °）对于 sina与 tana ，角度越大函数值也越大；对于cosa ，角度越大函数值越小 3 0< sin <1, 0< cos <1,1<sin +cos 24.0 < <45, sin < cos ；45< <90, sin > cos （二）特别角三角函数的应用（ 1） cos 260° +sin 260

14、6;（2） cos+cos+sinsin（ 3） cos 45sin 45-tan45 °4（ 5） 12sin 30cos30（ 6） 3 tan 30tan 452 sin 60（ 7）cos601sin 601tan 30（ 8） 2 sin 30cos30sin 60（ 9）2 cos30tan 60（ 10） sin 2 45cos2 45（ 11） cos 2 45tan 60cos 30（ 12） 2sin30 ° -2cos60 ° +tan45 °（ 13） sin30 °· cos45 ° +cos60

15、°（14） 2sin60 ° -2cos30 °· sin45 °（ 15）cos 45sin 30（ 16） sin 45cos30-sin60 °（ 1-sin30 °）cos 601 tan 45232cos 60学习必备欢迎下载（ 17） tan45 °· sin60 ° -4sin30 °· cos45 ° +6 · tan30 °（ 18）2cos60;2sin 302（ 19）sin 45tan 30tan 60+cos45

16、76;· cos30 °（ 20）2sin30 °-2cos60 ° +tan45 °练习： 1 如下图，在rt abc中， c=90，请你依据图中给出的条件求出a 的度数bbb42232ccaa a2c12、填空1 sin501，就 22sin 21，就 23cos903 ，就42tan 33 ，就 54sin 22-3=0 ， 就63tan 4tan 3 0 ， 就 7 rt abc中， c=90°，sin a1b，就 cos= 23. 如图，钓鱼竿ac 长 6m，露在水面上的鱼线bc 长 322 m，某钓者想看看鱼钓上的情形，把

17、鱼竿ac转动到ac 的位置，此时露在水面上的鱼线b c 为 33 ，就鱼竿转过的角度是 a 60°b45°c 15°d 90°4 m为方程x2x60 的根， n 为方程 x 22 x80 的根， sina=m , 就a n5在 abc中， a、 b 都是锐角，且sina=12， cosb=32，就 abc的外形是（）a直角三角形b钝角三角形c锐角三角形d不能确定6. 在 abc中，三边之比为a：b： c=1 ：3 ： 2，就 sina+tana等于（）a 323b. 13c .33d .316222学习必备欢迎下载7如（3 tana-3 ） 2+2cos

18、b-3 =0，就 abc（）a是直角三角形b是等边三角形c是含有 60°的任意三角形d是顶角为钝角的等腰三角形28 2解直角三角形（一）什么是解直角三角形一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角；那么除直角外，假如再知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就可以确定下来；在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，就是解直角三角形解直角三角形时一般要用到下面的某些学问：222（ 1）三边之间的关系a+b =c（ 2）两锐角之间的关系 a+ b=90°（ 3）边角之间的关系： （一般 abc中，设 a 对边 a, b 对边 b, c 对边 c ）

19、sina=a的对边 = a ， sinb=b的对边 = ba斜边c斜边ccosa=a的邻边 = b ， cosb=b的邻边 = a斜边c斜边ccbtana=a的对边 = a ， tanb=b的对边 = aa的邻边b（二）解直角三角形实例b的邻边b1、如图 rtabc 中，c90， ab 83 , a 60°，请你解这个直角三角形；解：b90a90 b30aac1 ab21 2cbbc=ab 2ac 2 解直角三角形留意点解直角三角形的方法可概括为“有弦（斜边）用弦（正弦、余弦），无弦用切（正切） ，宁乘毋除，取原避中 ”其意指：当已知或求解中有斜边时，可用正弦或余弦；无斜边时，就用正

20、切；当所求元素既可用乘法又可用除法时，就用乘法，不用除法；既可由已知数据又可用中间数据求解时，尽量使用原始数据，防止使用中间数据1有的问题不能直接利用直角三角形内部关系解题，.但可以添加合适的帮助线转化为解直角三角形的问题2一些较复杂的解直角三角形的问题可以通过列方程或方程组的方法解题3解含有非基本元素的直角三角形（即直角三角形中中线、高、角平分线、.周长、面积等） ，一般将非基本元素转化为基本元素，或转化为元素间的关系式，再通过解方程组来解练习 1 abc中， c 90°，依据表中的数据求其它元素的值：abc a b 1230°445 °260 °学习

21、必备欢迎下载5354282、如图 rtabc 中，c90，a 36 ， a 30°，请你解这个直角三角形；3、如图 rtaabc 中，c90，a 6， b23 ，请你解这个直角三角形cb4直角三角形中两边的比是1： 2，就较短边所对的角的正弦值是（）a 12b 55c 1或525d 3 或5255 abc中， c=90°， ab=13， bc=5， tanb 的值是（）a 5131212b.c .d .1351356在 rt abc中， cd为斜边 ab上的高，已知ad=8， bd=4，那么 tana 等于（）a 2b 2c 2d.2234837在 abc中， c=90&#

22、176;，且 cosa=， b 平分线的长为26，就 a= ， b= ， c= 28在 rt abc中， c=90°， ab=5， sina= 3 ，就 bc= 59 ad为 rt abc斜边 bc上的高，已知ab=5cm， bd=3cm，那么 bc= cm10 已知 rt abc中， c=90°， b=25 ， a 的平分线ad=4315 ，解这个直角三角形acb11 abc中， ad是 bc边上的高， tanb=cos dac（ 1）求证： ac=bd（;122）如sinc=， bc=12，求 ad的长1312、假如等腰三角形的底角为30°，腰长为6cm，那么

23、这个三角形的面积为（）a 4.5cm2b 93 cm2c 183 cm2d 36cm213、如图， 沿 ac方向开山修路， 为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从 ac上的一点b，取 abd=145°， bd=500m， d=55°，要使a，c， e 成始终线， .那么开挖点e 离点 d的距离是（）a 500sin55 ° m b 500cos55 ° m c 500tan55 ° m d 500m学习必备欢迎下载28.2.2解直角三角形的应用例 320xx年 10 月 15 日“神舟”5 号载人航天飞船发射胜利. 当飞船完成变轨后，就

24、在离地球表面350km的圆形轨道上运行. 如图 , 当飞船运行到地球表面上p 点的正上方时，从飞船上最远能直接看到的地球上的点在什么位置.这样的最远点与p 点的距离是多少. 地球半径约为6 400 km，结果精确到0. 1 km， cos18 °54 0.9481一仰角、俯角当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角oo例 4 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30 ，看这栋离楼底部的俯角为60与高楼的水平距离为120 m. 这栋高楼有多高 结果保留根号 .，热气球练习：1 建筑物 bc 上有一旗杆ab ，由距

25、bc 40m 的 d 处观看旗杆顶部a 的仰角为 60，观看底部的仰角为45 ，求旗杆的高度（结果保留根号）学习必备欢迎下载2如图，一只运载火箭从地面l 处发射，当卫星到达a 点时，从位于地面r 处的雷达站测得ar 的距离是 6km ，仰角为45 ，1s 后，火箭到达b 点，此时测得br 的距离是8km ，仰角为 45，这个火箭从a 到 b的平均速度是多少（结果保留根号）3两建筑物的水平距离bc 为 30m,从 a 点测得 d 点的俯角建筑物的高度（结果保留根号）为30，测得点的俯角为45，球这两个4如图，河旁有一座小山，从山顶a 处测得河对岸点c 的俯角为30o，测得岸边点d 的俯角为45o

26、，又知河宽 cd为 50 米，现需从山顶a 到河对岸点c 拉一条笔直的缆绳ac，求缆绳 ac的长（答案可带根号）.a山cd5、在宽为 30 米的街道东西两旁各有一楼房，从东楼底望西楼顶仰角为45°，从西楼顶望东楼顶，俯角为30°，求东楼高 结果保留根号 6、如图，某幢大楼顶部有一块广告牌cd，甲乙两人分别在相距8 米的 a、b 两处测得d 点和 c 点的仰角分别为 45°和 60°，且 a、 b、e 三点在一条直线上，如be 15 米，求这块广告牌的高度 取3 1.73 ，运算结果保留整数c da45°b60°e学习必备欢迎下载二方位

27、角与方向角1方向角指北或指南方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做 方向角 如图28 2-1中的目标方向线oa， ob， oc 分别表示 ， ， 如目标方向线与指北或指南的方向线成45°的角，如图282-1 的目标方向线 od与正南方向成45°角，通常称为西南方向图 28 2-1图 28 2-22 方位角从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角，叫做 方位角 如课本图 282-2 中，目标方向线pa，pb， pc的方位角分别是40°， 135°， 225°例 5如图，一艘海轮位于灯塔p 的北偏东60方向，距离灯塔80 海里的

28、a 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔p 的南偏东30方向上的b 处. 这时，海轮所在的b 处距离灯塔p 有多远？（结果保留根号）1. 海中有一个小岛a ，他的四周8 海里内有暗礁， 渔船跟踪鱼群由西向东航行，在 b 点测得小岛a 在北偏东 60方向上，航行12 海里到达d 点，这时测得小岛a 在北偏东30方向上，假如渔船不转变航线继 续向东航行，有没有触礁的危急.abd2中华人民共和国道路交通治理条例规定：“小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70km/h”，一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶，在距路边30m处有“车速检测仪o”，测得该车从北偏西60°的 a点行驶到北偏西30.°的 b