角动量守恒定律

1、LOGO普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材 袁玉珍袁玉珍 武步宇武步宇 陈钦生陈钦生 主编主编第第 3 3 章章 角动量守恒定律角动量守恒定律 3.2 3.2 质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律 3.3 3.3 刚体的角动量守恒定律刚体的角动量守恒定律 3.4 3.4 刚体的角动量刚体的角动量 转动定律转动定律 惯性定律惯性定律 3.1 3.1 质点的角动量质点的角动量 力矩力矩 3.5 3.5 刚体的角动量守恒定律刚体的角动量守恒定律 主要主要内容内容第第3 3章章 角动量守恒定律角动量守恒定律www. *.com第第3 3章章 角动量守恒定律角动量守

2、恒定律 基本要求基本要求1、正确理解角动量的概念，理解角动量定理、正确理解角动量的概念，理解角动量定理。 2、正确理解转动惯量的概念，会计算几种规则形状物、正确理解转动惯量的概念，会计算几种规则形状物体的转动惯量。体的转动惯量。 3、掌握刚体绕定轴的转动定律，并能熟练应用它来求、掌握刚体绕定轴的转动定律，并能熟练应用它来求解定轴转动刚体和质点的联动问题。解定轴转动刚体和质点的联动问题。 4、掌握角动量守恒定律及其适用条件，并能用来分析、掌握角动量守恒定律及其适用条件，并能用来分析、计算有关问题。计算有关问题。 www. *.com3.1 质点的角动量质点的角动量 力矩力矩 3.1.1 质点的角

3、动量质点的角动量一个质量为一个质量为m的质点以速度的质点以速度 v 运动，其动量为运动，其动量为 p ，若，若其相对于定点其相对于定点O的位置矢量为的位置矢量为r，则其角动量定义为：，则其角动量定义为：角动量是矢量，其大小为：角动量是矢量，其大小为：式中式中 为为 r 与与 p 的夹角；的夹角；角动量的方向：垂直于角动量的方向：垂直于r和和p所组成的平面，其指向所组成的平面，其指向由右手螺旋法则确定由右手螺旋法则确定prL sinvmrL Lp rmOwww. *.com3.1 质点的角动量质点的角动量 力矩力矩 3.1.1 质点的角动量质点的角动量质点的角动量与质点的位矢有关。质点的角动量与

4、质点的位矢有关。质点相对于质点相对于O点做圆周运动时，位矢点做圆周运动时，位矢 r 与与 p 处处垂处处垂直，直， ，故角动量大小可写为：，故角动量大小可写为：角动量方向：角动量方向： 垂直于圆周轨道平面垂直于圆周轨道平面角动量单位：角动量单位：kg.m2.s-1 ；量纲：；量纲：ML2T-12mrvmrL1sinvmOrLwww. *.com3.1 质点的角动量质点的角动量 力矩力矩 3.1.2 质点的角动量定理质点的角动量定理质点质点m对定点对定点O的角动量的角动量 对时间求导，得：对时间求导，得：prL )(prL dtddtddtddtdprpr Frvv mFr www. *.com

5、3.1 质点的角动量质点的角动量 力矩力矩 3.1.2 质点的角动量定理质点的角动量定理力矩定义：力矩定义：力矩大小：力矩大小：式中式中 为力臂，则为力臂，则因因 ，即合力切向分量，所以：，即合力切向分量，所以：FrM FrMsin dr sindFM FrM FF sinwww. *.com3.2 质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律 dtdLM由上式：当由上式：当0M时时0LL 质点的角动量守恒定律：质点的角动量守恒定律：质点在运动过程中，所质点在运动过程中，所受的合外力矩等于零时，质点对给定点（转轴）的角动受的合外力矩等于零时，质点对给定点（转轴）的角动量保持不变。量保持不变。或或L

6、常矢量www. *.com力矩等于零，有三种情况：力矩等于零，有三种情况：000) 3(00)2(00) 1 (FrM,F,rM,FM,r3.2 质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律 这三种情况分别为：这三种情况分别为： (1) (1) 质点处在定点上静止不动；质点处在定点上静止不动； (2) (2) 质点孤立，不受力的作用；质点孤立，不受力的作用； (3) (3) 质点受质点受“有心力有心力”作用作用www. *.com例例3-1 自看自看例例3-2 利用角动量守恒定律导出开普勒行星运动第二利用角动量守恒定律导出开普勒行星运动第二 定律；行星对太阳的位矢在单位时间内扫过的定律；行星对太阳

7、的位矢在单位时间内扫过的 面积为常量。面积为常量。 解：行星绕太阳运动过程中，受太阳吸引力的作解：行星绕太阳运动过程中，受太阳吸引力的作用，是有心力，力矩为零，角动量守恒。用，是有心力，力矩为零，角动量守恒。 行星相对于太阳任意时刻的角动量行星相对于太阳任意时刻的角动量3.2 质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律 www. *.comsinrmvL =恒量恒量mvrL其大小为其大小为设设t时间内，位矢扫过的面积为时间内，位矢扫过的面积为 sin21rrs单位时间内，位矢扫过的面积为单位时间内，位矢扫过的面积为 sin21sinlim21lim00rmvmtrrtsdtdsttmL2=恒量恒

8、量太阳太阳行星行星 mrrL3.2 质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律 v=恒矢量恒矢量www. *.com3.3 刚体的运动刚体的运动3.3.1 刚体刚体刚体刚体是受力时不改变形状和体积的物体，是受力时不改变形状和体积的物体， 是理想模型。是理想模型。特点特点(1) 是一个质点组（刚体可以看成由许多质点是一个质点组（刚体可以看成由许多质点 组成，每一个质点叫做刚体的一个质元）组成，每一个质点叫做刚体的一个质元）(2) 质点组内任意两点间的距离保持不变质点组内任意两点间的距离保持不变.www. *.com3.3 刚体的运动刚体的运动3.3.2 平动和转动平动和转动平动平动刚体运动时刚体运

9、动时,刚体内任一直线恒保持平行的刚体内任一直线恒保持平行的 运动。运动。www. *.com转动转动 刚体运动时，其上各质刚体运动时，其上各质元都绕同一直线作圆周运动，这元都绕同一直线作圆周运动，这种运动称转动。该直线称为转轴。种运动称转动。该直线称为转轴。若转轴不动，称若转轴不动，称定轴转动定轴转动。3.3 刚体的运动刚体的运动OO(1) 刚体上各点都在垂直于固定轴的平面内刚体上各点都在垂直于固定轴的平面内(转动平面转动平面)做圆周运动做圆周运动.其圆心都在一条固定不动的直线其圆心都在一条固定不动的直线(转轴转轴)上上. (2) 刚体上各点到转轴的垂直线在同样的时间内所转过刚体上各点到转轴的

10、垂直线在同样的时间内所转过的角度都相同。因而的角度都相同。因而用角量描述刚体的运动用角量描述刚体的运动.1. 定轴转动特征定轴转动特征 www. *.comxO p 称称角位置或角坐标。角位置或角坐标。规定逆时针转向规定逆时针转向 为正。为正。2. 定轴转动的描述定轴转动的描述 (1) 角坐标角坐标 刚体定轴转动的运动学方程刚体定轴转动的运动学方程 (2) 角位移角位移 为为 t时间内刚体所转过的角度。时间内刚体所转过的角度。 = (t) xOp3.3 刚体的运动刚体的运动www. *.com(3) 角速度角速度 tttddlim0 在定轴转动中，转向只可能有在定轴转动中，转向只可能有两个方向

11、。取逆时针转动两个方向。取逆时针转动 0，顺时针转动顺时针转动 0。rad/s30602nn每分转每分转 n 转转 角速度角速度 xO P(t)P(t+t ) + (4) 角加速度角加速度 tttddlim0角加速度角加速度3.3 刚体的运动刚体的运动www. *.com2021tt匀变速转动匀变速转动 =常量常量 ）（02022t0与质点匀变速直线运动公式相对应。与质点匀变速直线运动公式相对应。tt d)(dtt d)(dttt00d)(ttt00d)(5) 刚体定轴转动运动方程刚体定轴转动运动方程匀速转动匀速转动 = 常量常量 t03.3 刚体的运动刚体的运动www. *.com(6) 角

12、量与线量的关系角量与线量的关系线量线量质点做圆周运动的位移质点做圆周运动的位移r、速度、速度v、加速度、加速度a 角量角量描述刚体转动整体运动的描述刚体转动整体运动的rsrrva22nratrv 注注: r 的原点必须在转轴上的原点必须在转轴上. 弧长弧长 线速度线速度 切向加速度切向加速度 法向加速度法向加速度 ，r sOtexy3.3 刚体的运动刚体的运动www. *.comA miiviro一、刚体定轴转动的角动量一、刚体定轴转动的角动量 第第i 个质点个质点miiiiivmrL大小：大小：2)(90siniiiiiiirmrmrvrmLiL由于所有质点的角动量的方向相同，所以刚体的角动

13、量为由于所有质点的角动量的方向相同，所以刚体的角动量为2iiiiirmLL令令2iiirmJ又因为又因为L和和的方向相同的方向相同JL L相对于给定轴的相对于给定轴的角动量为角动量为J称为转动惯量称为转动惯量3.4 刚体的角动量刚体的角动量 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量 www. *.com二、刚体的转动定律二、刚体的转动定律JM 刚体的转动定律：刚体的转动定律：刚体转动过程中，刚体的角加速度与刚体转动过程中，刚体的角加速度与作用在刚体上的合外力矩成正比与转动惯量成反比。作用在刚体上的合外力矩成正比与转动惯量成反比。由刚体定轴转动的角动量定理由刚体定轴转动的角动量定理dtdLMJL 可得

14、可得dtdJMJ为刚体的角加速度为刚体的角加速度记记注：注：与牛顿第二定律地位相当与牛顿第二定律地位相当3.4 刚体的角动量刚体的角动量 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量 www. *.com三、转动惯量三、转动惯量J1、质点刚体：、质点刚体：2mrJ 3、质量连续分布的刚体：、质量连续分布的刚体：VdmrJ2J的单位：的单位：kgm2量纲量纲: ML22、离散刚体：、离散刚体：niiirmJ123.4 刚体的角动量刚体的角动量 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量 www. *.com例例3-4 一质量为一质量为m，长为，长为l的细棒，求其对于的细棒，求其对于(1) 通过棒的一端并与棒垂直轴

15、的转动惯量；通过棒的一端并与棒垂直轴的转动惯量；(2) 通过棒的中点并与棒垂直轴的转动惯量。通过棒的中点并与棒垂直轴的转动惯量。解：解：xdx(1) 在距在距o点为点为x处取线元处取线元dx,其质量为其质量为dm, dxxdmxdJ22dxlmx2dxlmdxdm两边积分得两边积分得220031mldxxlmJdJlJolmdm 绕给定轴的转动惯量为绕给定轴的转动惯量为3.4 刚体的角动量刚体的角动量 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量 www. *.com例例3-4 一质量为一质量为m，长为，长为l的细棒，求其对于的细棒，求其对于(1) 通过棒的一端并与棒垂直轴的转动惯量；通过棒的一端并与棒

16、垂直轴的转动惯量；(2) 通过棒的中点并与棒垂直轴的转动惯量。通过棒的中点并与棒垂直轴的转动惯量。解：解：3.4 刚体的角动量刚体的角动量 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量 (2) 分析求解同分析求解同 (1)dxxlmJdJllJ22202121mloxdxdxlmdxdmlmwww. *.com四、平行轴定理四、平行轴定理设设o 轴是通过刚体质心的转轴，刚体轴是通过刚体质心的转轴，刚体绕绕o轴的转动惯量为轴的转动惯量为2121mlJcoohml可以证明：绕任意平行于可以证明：绕任意平行于o轴的转动惯量为轴的转动惯量为2mhJJc平行轴定理平行轴定理例如例如 3-4题中题中 2121mlJ

17、c222231)2(121mllmmlmhJJc3.4 刚体的角动量刚体的角动量 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量 www. *.com五、影响转动惯量的因素五、影响转动惯量的因素1、质量的分布、质量的分布2、刚体的形状、刚体的形状P45 表表3-13、转轴的位置、转轴的位置例例3-5 分别求质量为分别求质量为m半径为半径为R的细圆环和均匀圆盘绕的细圆环和均匀圆盘绕通过各自中心并与圆盘面垂直的轴的转动惯量。通过各自中心并与圆盘面垂直的轴的转动惯量。Rdm解：解：(1) 在圆环上取质量元在圆环上取质量元 dm dm 绕给定轴的转动惯量为绕给定轴的转动惯量为 dJ = R2 dm积分得积分得22

18、2mRdmRdmRJ OdmrJ23.4 刚体的角动量刚体的角动量 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量 www. *.com解：解：(2) 在距在距o点为点为r处取宽度为处取宽度为dr 的圆环，圆环的质量为的圆环，圆环的质量为dm,rdrordrdm22RmdmrdJ2积分得积分得24020221212mRRrdrrdmrJRRdm绕给定轴的转动惯量为绕给定轴的转动惯量为例例3-5 分别求质量为分别求质量为m半径为半径为R的细圆环和均匀圆盘的细圆环和均匀圆盘绕通过各自中心并与圆盘面垂直的轴的转动惯量。绕通过各自中心并与圆盘面垂直的轴的转动惯量。3.4 刚体的角动量刚体的角动量 转动定律转动定律

19、 转动惯量转动惯量 www. *.comR六、转动定律的应用六、转动定律的应用例题例题 一个质量为一个质量为M、半径为、半径为R的定滑轮（均匀圆盘）上的定滑轮（均匀圆盘）上面绕有细绳。绳的一端固定在滑轮上，另一端系一质量为面绕有细绳。绳的一端固定在滑轮上，另一端系一质量为m的物体。忽略轴处摩擦，求物体的物体。忽略轴处摩擦，求物体m下滑的加速度下滑的加速度a和滑轮和滑轮转动的角加速度转动的角加速度。.MRm解：解：MgNTmgTa3.4 刚体的角动量刚体的角动量 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量 www. *.com解以上三式得解以上三式得2/Mmmga)/Mm(RmgRa2根据转动定律根据转动定律TR=J221MR根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律mg-T=ma因绳与滑轮间无滑动，所以因绳与滑轮间无滑动，所以a=R3