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1、 例1 设，求 。 解 相当于调换矩阵的第一行与第三行的位置一次，而相当于调换矩阵的第一行与第三行的位置188次，于是，；而相当于调换的第一列与第三列的位置一次，相当于调换矩阵的第一列与第三列的位置288次，于是，所以= 。 例2 设是的特征值，求证也是的特征值，其中为可逆矩阵。 证明 由于与相似，所以与具有相同的特征值，又因为是的转置矩阵，与具有相同的特征值，从而和具有相同的特征值，因为是的特征值，所以也是的特征值。 例3 设都是阶方阵，是的特征多项式，求证可逆没有公共的特征值。 证明 设是的所有特征值，则的特征多项式，于是，可逆不是的特征值和没有公共的特征值。 例4 已知两阶对角矩阵的元素

2、相同，只是排列次序不同，求证相似。 证明 不妨主对角线上只有第一、第二个元素交换了位置，其余不变，设为阶单位矩阵，调换的第一、第二行（列）后得到初等矩阵，则，即，从而，即相似，换言之，调换对角矩阵两个元素的位置，矩阵与原矩阵相似，由相似的传递性，任意调换对角线元素的位置，矩阵仍然相似。 例5 若可逆，且，求证。 证明 因为可逆，且，所以可逆，且存在可逆矩阵使得，两边取逆矩阵，得，所以。而，因所以，对分别乘，得，即，所以。 例6 设，求证存在可逆矩阵，使得。 证明 因为，所以存在可逆矩阵，使得，于是，从而，即。 例7 设，若的解不唯一，求的值。 解 因为的解不唯一，所以，于是或。 因为当时，秩，

3、秩，所以时，无解，即； 当时，秩=秩，所以，当时，有解但解不唯一。 例8 设，求和 。 解 由行列式性质，得 ，解之，得，= 。 例9 设，秩，求应满足的关系。 解 因为秩，所以秩，所以或，而时，秩，于是，。 例10 设阶方阵，即主对角线上方的元素全为0，下方全为1，求矩阵 。 解 因为，所以， 。 例11 已知收敛，问一定收敛吗？解 可能收敛，也可能发散。令，则收敛。令，尽管收敛，但是发散。注 若绝对收敛，则可以证明不仅收敛，而且绝对收敛。 例12 已知，求证数列收敛。 证明 方法一 显然对于任意，有，于是数列有界。容易验证与均单调，所以与均收敛，设，只要证明即可（略）。 方法二 显然对于任

4、意，有，又，所以收敛，从而收敛，故数列收敛。 例13 设条件收敛，将其中的正项保留，负项改为0，所得的级数记为，将其中的负项保留，正项改为0，所得到的级数记为，讨论与的敛散性。 解 由条件知，因为条件收敛，所以发散，从而发散，即与均发散。 例14 求极限 。 提示 考虑左、右极限。 例15 求极限 。 提示 ，其中介于和之间，而，只要对利用罗比塔法则即可。例16 设，求证有小于1的正根。 证明 易知为关于的多项式，且，由罗尔中值定理，存在，使得，即有小于1的正根。 例17 设为阶方阵，为阶单位矩阵，若，则为 （1）；（2）；（3）；（4） 。 解 因为，所以，又因为，所以，即，所以，。 例18

5、 设是3阶方阵，的特征值为1，2，3，求。 解 因为的特征值为1，2，3，所以的特征值为，且，从而的特征值为，的特征值的和为=。 例19 设，已知线性方程组有解但不唯一，求的值。 解 因为有解但不唯一，所以，得或。 当时，秩，秩，所以当时，线性方程组无解，于是。 例20 设相互独立且服从，求的分布。 解 因为相互独立且服从，所以，从而；容易验证，考虑到与均服从正态分布，所以与独立，又相互独立，于是知与独立；因为，所以，从而有，根据分布定义，有 。 例21 设单调递减，收敛，求极限 。 解 分析 只要求出与的极限。 设，则，于是。由的单调性，所以有及；又，所以及，因收敛，有，所以。综上，知与的极

6、限均为0，于是=0 。 例22 已知，求。 解 ，而，于是 。 例23 设，则等于（ ） （1）；（2） （3）；（4）0 。 解 由对称性，在第一象限、第四象限的积分相等，在第二象限、第三象限的积分相等，但第一象限与第二象限的积分不相等，于是（1）、（3）不正确，（2）肯定正确，而被积函数恒为正，二重积分肯定大于0。应选择（2）。 例24 下列命题正确的是（ ）（1） 若只有零解，则有唯一解；（2） 若有唯一解，则的解不唯一；（3） 若有无穷多解，则也有无穷多解；（4） 若有无穷多解，则也有无穷多解。 解 （1）因为未必是方阵，克莱姆法则不适用。系数矩阵的秩未必等于增广矩阵的秩，未必有解；（

7、2）若有唯一解，则秩变量的个数，于是只有零解；（3）有无穷多解，不能保证一定有解；（4）有无穷多解，则秩变量的个数，于是一定有无穷多解。应选择（4）。 例25 微分方程必有如下形式的解（ ） （1）； （2）； （3）； （4），其中为待定常数。 解 所对应的齐次方程的特征方程为，解之，得二重特征根。对应一个特解；对应特解的形式为；对应特解的形式为，由叠加原理，的解必定具有形式，所以选（4）。 例26 设有3维列向量，问取何值时，有（1）可由线性表出，且表出方式唯一？ （2）可由线性表出，且表出方式不唯一？（3）不能由线性表出？ 解 方法一 设，由，知当且时，表出方式唯一；当时，可由线性表出，

8、但表出方式不唯一；当时，系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩，方程组无解，不能由线性表出。 方法二 设，则。当时，有，有非零解，可由线性表出，但表出方式不唯一；当时，增广矩阵为，则无解，不能由线性表出； 当且时，方程组有唯一解，即可由线性表出且表出方式唯一。 例27 求极限。 解 方法一 当充分大时，有且单调递减，于是当充分大时，有，由迫敛性定理，得=0 。 方法二 提示 可考虑积分中值定理。 例28 若在上有二阶连续导数，求证对任意固定的，都存在，使得 。 证明 方法一 由泰勒中值定理，分别存在，使得，于是 。 注 上式最后一步用到了连续函数的介值定理。 方法二 设，则有，作函数，则有，两次利用罗

9、尔中值定理，存在使得，从而有。 方法三 令，则有，两次利用罗尔中值定理，存在使得，即，或。 例29 设在具有3阶连续导数，存在，则有（1） ； （2） ；（3） ； （4） 。 解 不妨设，则，两式相减，并令，得，两式相加，并令，得。 注 若令，则显然满足题目条件，也可以判断选择（1）。 例30 设在的某邻域内有二阶连续导数且，则下列判断正确的是（ ）（1） ，但是曲线的拐点；（2） 且是的极小值；（3） 且是曲线的拐点；（4） 且是的极小值。 解 因为，显然有，由的连续性，有；再由，所以在内有，而在的两侧变号，于是在在的两侧变号，所以点是曲线的拐点。 例31 求极限。 解 。 注 上面利用了

10、一个重要结论，应该熟练掌握它的证明过程。 例32 设在点的某邻域内连续，求证点不是的极值点。 证明 由的连续性，易知。 由，知，令，则有，于是，当充分小时，的符号与的符号一致，所以对于，在点充分小的邻域内，既有正值，又有负值，考虑到，那么点不是的极值点。 例33 设在上非负，为所围图形的形心，求证 。分析 欲证，只要或，由于没有明确具体比大多少，于是可以考虑在时的严格单调性。注意：由于在上非负，所以（否则，由保号性，必有负值），由知严格递增，所以。例34 设的相关系数，它们的分布律分别为 X 0 1 p 05 0。5 Y -11 p 05 0。5 求的联合分布律。 解 设，根据联合分布与边缘分

11、布的关系，有 0 1 -11 1由条件知，于是，即得，于是联合分布律为 0 1 -11 1 例35 设在条件收敛，判断的敛散性，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？ 解 因为在条件收敛，所以在条件收敛，于是收敛半径，而严格单调递增趋于，所以，而，由Abel定理在绝对收敛，即收敛，因由正项级数的比较判别法，收敛，即不仅收敛，而且绝对收敛。例36 求具有特解的三元线性常系数齐次微分方程。 解 由于方程有特解，所以为特征方程的单根，为特征方程的二重根，于是微分方程所对应的特征方程为，所以所求微分方程为 。 例37 求在条件下的条件极值及极值点，并求及在点处的切平面。 解 作函数，令 ，于是，当时，由得，代入，得，矛盾！于是，考虑到，结合，可以求出极小值点和极小值（略）。 例38 若与具有一阶连续偏导数， 点为在条件=0下的条件极值点，则曲面与=0在点具有相同的切平面。 证明 作函数，令 ，其解为，于是有，而在点的切平面方程为，=0在点的切平面方程为，由，知两切平面相同。 例39 设是秩为的阶方阵，且满足，设，其中为阶单位矩阵，（1） 求证可逆；（2） 用的多项式表示的伴随矩阵。 解（1） 由，得，代入，得，于是可逆，且。 （2）设为的特征值，由，得，所以或，而的秩为，所以为的重特征值，为的重特征值，的特征值为4重和重，于是。 因为，所以。 例40 求矩阵，使得