2022年2021高考数学二轮练习讲议-平面向量的应用

1、2019高考数学 ( 理) 二轮练习讲议平面向量的应用【2018 年高考会这样考】1、考查利用向量方法解决某些简单的平面几何问题、2、考查利用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题、【复习指导】复习中重点把握好向量平行、垂直的条件及其数量积的运算，重视平面向量表达出的数形结合的思想方法，体验向量在解题过程中的工具性特点、基础梳理1、向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题、(1) 证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：ab?ab(b0) ?x1y2x2y10.(2) 证

2、明垂直问题，常用数量积的运算性质ab?ab0?x1x2y1y20.(3) 求夹角问题，利用夹角公式cos (为a与b的夹角 ) 、ab|a|b|x1x2y1y2x2 1y2 1x2y22、平面向量在物理中的应用(1) 由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决、(2) 物理学中的功是一个标量，这是力f与位移s的数量积、即wfs|f|s|cos (为f与s的夹角 )、一个手段实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算、两条主线(1) 向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观与形象，向量本身是一个数形结合的产

3、物，在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合、(2) 要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量的有关性质解题、双基自测1、( 人教 a版教材习题改编 ) 某人先位移向量a：“向东走 3 km ” ，接着再位移向量b：“向北走 3 km” ，那么ab表示( ) 、a、向东南走 3 km b 、向东北走 3 km22c、向东南走 3 km d 、向东北走 3 km33解析精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d

4、 f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - -要求ab，可利用向量和的三角形法那么来求解，如下图，适当选取比例尺作a“向东走 3 km” ，b“向北走 3 km” ，那么ab.oaaboboaab| 3(km)，ob32322又与的夹角是 45，所以ab表示向东北走 3 km.oaob2答案 b2、平面上有四个互异点a、b、c、d，(2)()0，那么dbdcdaabacabc的形状是 () 、a、直角三角形 b、等腰直角三角形c、等腰三角形 d、无法确定解析由 (2)() 0，得() ( ()dbdcdaabacdbda

5、dcdaabac0，所以 ()() 0.abacabac所以|2|20，| | | ，abacabac故abc是等腰三角形、答案 c3、(2018 银川模拟 ) 向量a(cos ，sin ) ，b(，1) ，那么3|2ab| 的最大值，最小值分别是 ( )、a、4,0 b、16,0c、2,0 d、16,4解析设a与b夹角为，|2ab|24a24abb284|a|b|cos 88cos ，0， ，cos 1,1 ，8 8cos 0,16 ，即 |2ab|20,16 ，|2ab| 0,4 、答案 a4在abc中，向量与满足0 且 ，那么abac(ab|ab|ac|ac|)bcab|ab|ac|ac

6、|12abc为( ) 、a、等边三角形b、直角三角形c、等腰非等边三角形d、三边均不相等的三角形解析由0 知abc为等腰三角形，abac.(ab|ab|ac|ac|)bc精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - -由 知， ， 60，所以abc为等边三角形，应选a.ab|ab|ac|ac|12abac答案 a5、(2018 武汉联考 ) 平面直角坐标

7、系xoy中，假设定点a(1,2) 与动点p(x，y)满足4，那么点p的轨迹方程是opoa_ 、解析由4，得(x，y)(1,2) 4，opoa即x2y4.答案x2y40精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - -考向一平面向量在平面几何中的应用【例 1】? (2017 辽宁)平面上o，a，b三点不共线，设a，b，那么oaoboab的面积等于 ( )、a

8、.b.|a|2|b|2ab2|a|2|b|2ab2c.d.12|a|2|b|2ab212|a|2|b|2ab2 审题视点 由数量积公式求出oa与ob夹角的余弦，进而得正弦，再由公式sabsin ，求面积、12解析cosboa，ab|a|b|那么 sin boa，1ab2|a|2|b|2soab |a|b| 121ab2|a|2|b|2.12|a|2|b|2ab2答案 c平面向量的数量积是解决平面几何中相关问题的有力工具：利用|a| 可以求线段的长度，利用cos (为a与b的夹角) 可以求角，利用ab|a|b|ab0 可以证明垂直，利用ab(b0)可以判定平行、【训练 1】设a，b，c为同一平面

9、内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，ac，|a| |c| ，那么 |bc| 的值一定等于 () 、a、以a，b为邻边的平行四边形的面积b、以b，c为邻边的平行四边形的面积c、以a，b为两边的三角形的面积d、以b，c为两边的三角形的面积解析|bc| |b|c|cos | ，如图，ac，|b|cos | 就是以a，b为邻边的平行四边形的高h，而|a| |c| ，|bc| |a|(|b|cos |) ，|bc| 表示以a，b为邻边的平行四边形的面积、答案 a考向二平面向量与三角函数的交汇【例 2】?a，b，c的坐标分别为a(3,0) ，b(0,3) ，c(cos ，sin ) ，精

10、品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - -.(2，32)(1) 假设| | ，求角的值；acbc(2) 假设1，求的值、acbc2sin2sin 21tan 审题视点 首先求出向量、的坐标，第 (1) 问利用两个向量的模相等建立acbc角的三角方程进行求解；第 (2) 问利用向量与数量积的坐标运算化简条acbc件，得到角的三角函数值，把所求式子化简，

11、寻找两个式子之间的关系、解(1) (cos 3，sin )，(cos ，sin 3) ，acbc2(cos a3)2sin2106cos ，ac2cos2(sin 3)2106sin ，bc由| | ，可得22，即 106cos 106sin ，得 sin acbcacbccos .又，.(2，32)54(2) 由1，acbc得(cos 3)cos sin (sin 3)1，sincos . 23又2sin cos .2sin2sin 21tan 2sin22sin cos 1sin cos 由式两边分别平方，得12sin cos ，492sincos . .592sin2sin 21tan

12、59解决平面向量与三角函数的交汇问题的关键，准确利用向量的坐标运算化简条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决、【训练 2】 向量a(sin ，cos 2sin ) ，b(1,2) 、(1) 假设ab，求 tan 的值；(2) 假设|a| |b|,0 ，求的值、解(1) 因为ab，所以 2sin cos 2sin ，于是 4sin cos ，故 tan .14(2) 由|a| |b| 知，sin2(cos 2sin )25，所以 12sin 24sin25.从而 2sin 22(1cos 2)4，即 sin 2cos 21，于是 sin.(24)22精品学习资料 可选择p d f - - -

13、- - - - - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - -又由 0 知，2，4494所以 2或 2. 因此或.454474234考向三平面向量与平面解析几何交汇【例 3】? (2018 兰州模拟 ) 平面上一定点c(2,0) 和直线l：x8，p为该平面上一动点，作pql，垂足为q，且()() 0.pc12pqpc12pq(1) 求动点p的轨迹方程；(2) 假设ef为圆n：x2(y1)21 的任一条直径，求的

14、最值、pepf 审题视点 第(1) 问直接设动点p的坐标，先把向量之间的关系化简，然后代入向量坐标，化简整理即得轨迹方程；第(2) 问先利用圆的性质化简向量数量积，将其转化为动点p与定点n的距离的最值，最后代入点的坐标将其转化为函数的最值求解、解(1) 设p(x，y) ，那么q(8，y) 、由()() 0，得|pc|2 |pq|20，pc12pqpc12pq14即(x2)2y2 (x8)20，化简得1.14x216y212所以点p在椭圆上，其方程为1.x216y212(2) 因()() ( )() ( )22pepfnenpnfnpnfnpnfnpnpnf21，npp是椭圆1 上的任一点，设p

15、(x0，y0)，那么有1，即x216y212x2 016y2 012x16，又n(0,1) ，所以2x(y01)2 04y2 03np2 02y2y017 (y03)220.13 2 013因y0 2，2 ，所以当y03 时，2取得最大值 20，故的33nppepf最大值为 19；当y02时，2取得最小值 (21)2134，(此时x00)，故3np33pe的最小值为 124.pf3平面向量与平面解析几何交汇的题目，涉及向量数量积的基本运算，数量积的求解以及轨迹、直线和圆、直线和椭圆中最值等问题，解决此类问题应从向量的坐标运算入手，这也是解决解析几何问题的基本方法坐标法、【训练 3】点p(0 ，

16、3)，点a在x轴上，点q在y轴的正半轴上，点m满足0，当点a在x轴上移动时，求动点m的轨迹方程、paamam32mq解设m(x，y) 为所求轨迹上任一点，设a(a,0)，q(0，b)(b0) ，那么精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - -(a,3)，(xa，y) ，( x，by)，paammq由0，得a(xa) 3y0.paam由，am32mq得

17、(xa，y) (x，by) ，32(32x，32yb)error! error!把a 代入，得3y0，x2x2(xx2)整理得yx2(x0)、14难点突破 12 高考中平面向量与其他知识的交汇问题平面向量是高中数学的重要知识，是高中数学中数形结合思想的典型表达、近几化，又保持与其他知识交汇的命题思路，呈现出“综合应用，融会贯通 ”的特色，充分彰显平面向量的交汇价值、【一】平面向量与命题的交汇【例如】 ? (2017 陕西) 设a，b是向量，命题 “假设ab，那么|a| |b| ”的逆命题是() 、a、假设ab，那么 |a| |b|b、假设ab，那么 |a| |b|c、假设 |a| |b| ，那么abd、假设 |a| |b| ，那么ab【二】平面向量与函数【例如】 ? (2017 北京) 假设a，b是非零向量，且ab，|a| |b| ，那么函数f(x) (xab)(xba)是() 、a、一次函数且是奇函数b、一次函数但不是奇函数c、二次函数且是偶函数d、二次函数但不是偶函数精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 -