极限存在准则课件

1、极限存在准则PPT课件第六节第六节 极限存在准则极限存在准则 与两个重要极限与两个重要极限一、夹逼准则一、夹逼准则二、单调有界收敛准则二、单调有界收敛准则极限存在准则PPT课件一、夹逼准则一、夹逼准则1、关于数列收敛的关于数列收敛的夹逼准则夹逼准则满足下列条件：满足下列条件：若数列若数列)( ,)( ,)(11nnnnnzyx ),3 , 2 , 1()1( nzxynnn,lim,lim)2(azaynnnn .lim,)(1axxnnnn 且且的的极极限限存存在在则则数数列列极限存在准则PPT课件证证)( , nazaynn使使得得, 0, 0, 021 NN ,1 ayNnn时恒有时恒有

2、当当,max21NNN 取取恒恒有有时时当当,Nn , ayan即即,2 azNnn时时恒恒有有当当, azan上两式同时成立上两式同时成立, azxyannn,成立成立即即 axn.limaxnn 极限存在准则PPT课件一、夹逼准则一、夹逼准则1、关于数列收敛的关于数列收敛的夹逼准则夹逼准则满足下列条件：满足下列条件：若数列若数列)( ,)( ,)(11nnnnnzyx ),3 , 2 , 1()1( nzxynnn,lim,lim)2(azaynnnn .lim,)(1axxnnnn 且且的的极极限限存存在在则则数数列列注意注意: :用夹逼准则求极限，关键是构造出用夹逼准则求极限，关键是构

3、造出 yn与与 zn ， 并且并且 yn与与 zn 的极限相同且容易求的极限相同且容易求 . . 极限存在准则PPT课件例例1 1).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夹逼准则得由夹逼准则得. 1)12111(lim222 nnnnn极限存在准则PPT课件例例4 4.321lim)1(nnnnn 求求解解,333213nnnnnnnn ,333lim,33lim nnn又又由夹逼定理得由夹逼定理得.3321lim nnnnn, 333213nnnnn .li

4、m,)2(321321nnnnnaaaaaa 为为正正实实数数，求求设设,maxlim321321aaaaaannnnn 极限存在准则PPT课件)()()(xhxfxg AxhAxgxx )(lim,)(lim)2(.)(lim,)(limAxfxfxx 且且存存在在则则有有时时或或当当。,)|(),()1(0MxrxUx 2 2、关于函数收敛的夹逼准则：、关于函数收敛的夹逼准则：( ), ( ), ( ) f x g x h x设设函函数数满满足足如如下下条条件件：上述数列夹逼准则可以推广到函数极限上述数列夹逼准则可以推广到函数极限极限存在准则PPT课件例例2 2. 0sinlim0 xx证

5、明：证明：证明：证明：xxx sin0,20有有时时当当 ,00lim,0lim00 xxx,0sinlim0 xx,0sin,02 xxx有有时时当当 ,00lim,0lim00 xxx,0sinlim0 xx.0sinlim0 xx极限存在准则PPT课件例例3 3. 1coslim0 xx证证明明：证明：证明：,22时时当当 x,22sin2cos1022xxx 有有,00lim,02lim020 xxx,0)cos1(lim0 xx.1coslim0 xx极限存在准则PPT课件例例5、证明重要极限、证明重要极限1sinlim0 xxx. )20( xxAOB如图：设单位圆圆心角如图：设单

6、位圆圆心角,tansinxxx 即即, 1sincos xxx即即.02也也成成立立上上式式对对于于 x,20时时当当 x, 1coslim0 xx, 11lim0 x. 1sinlim0 xxx证明：证明：ACxoBD,ACOA 得得作作单单位位圆圆的的切切线线过过点点,BDOAB垂垂线线作作过过点点,ACABBD 有有_极限存在准则PPT课件例例5、重要极限、重要极限1sinlim0 xxx)0)(lim(1)()(sinlim00 xxxxxxx 其其中中可推广为可推广为下下列列极极限限：求求例例6.tanlim)1(0 xxx.cos1lim)2(20 xxx .arcsinlim)4

7、(0 xxx.2tan3sinlim)3(0 xxx.21sinlim)5(xxx .1)1sin(lim)6(21 xxx 极限存在准则PPT课件二、单调有界收敛准则二、单调有界收敛准则x1x2x3x1 nxnx满满足足条条件件如如果果数数列列nx,121 nnxxxx单调增加单调增加,121 nnxxxx单调减少单调减少单调数列单调数列几何解释几何解释:AM单调有界收敛单调有界收敛准则：单调有界数列必有极限准则：单调有界数列必有极限.极限存在准则PPT课件单调有界收敛单调有界收敛准则准则实际上包含两点：实际上包含两点：1) 若若 xn 单调增加且有上界单调增加且有上界 M，则，则 xn 必

8、有必有 极限且极限且 .Mxnn lim2) 若若 xn 单调减少且有下界单调减少且有下界 m，则，则 xn 必有必有 极限且极限且 .mxnn lim极限存在准则PPT课件例例1 1.lim,lim,3,3,31121nnnnnnxxxxxxx 并求并求存在存在证明证明设设证证33312 xx3 ,1x ,1kkxx 假假定定11233 kkkkxxxx则则有有 .是是单单调调递递增增的的nx, 331 x又又, 3 kx假假定定kkxx 31则则有有33 , 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx 极限存在准则PPT课件,limAxnn 设设,31nnxx ,321nnxx ),

9、3(limlim21nnnnxx 两两边边取取极极限限得得,32AA 即即2131,2131 AA解解得得(舍去舍去).2131lim nnx极限存在准则PPT课件例例2 2.lim,10,22,2 11nnnnnxcxcxcxx 求求其中其中为：为：设数列设数列练习练习.lim)2(.)1(, ), 2 , 1()(21,0,011nnnnnnxxnxaxxxa 求求单单调调减减少少且且有有下下界界数数列列求求证证：设设极限存在准则PPT课件例例2 2.lim,10,22,2 11nnnnnxcxcxcxx 求求其中其中为：为：设数列设数列证证,212cxnnn cxnnnnn212liml

10、im .c 极限存在准则PPT课件例例3、重要极限、重要极限exxx )11(lim定义定义ennn )11(lim,)11(limexxx .)11(limexxx )(lim( )(11lim00)( xexxxxxx 其其中中可推广为可推广为exxx 10)1(lim)0)(lim( .)(1 lim00)(1 xexxxxxx 其其中中极限存在准则PPT课件定义定义ennn )11(limnnnx)11( 设设 21! 2)1(1! 11nnnnn).11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn nnnnnnn1!)1()1( ).11()221)(111()!1(1)1

11、11()221)(111(!1)111(! 21111 nnnnnnnnnnnxn,1nnxx 显然显然 ;是是单单调调递递增增的的nx类似地类似地,极限存在准则PPT课件!1! 2111nxn 1212111 n1213 n, 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ennn )11(lim记为记为)71828. 2( e极限存在准则PPT课件例例3、重要极限、重要极限exxx )11(limexxx 10)1(lim下下列列极极限限：求求例例4.)11(lim)1(xxx .)21(lim)2(xxx .)tan31(lim)4(2cot20 xxx .)31(lim)3(10

12、xxx .)23(lim)5(2xxxx .1)1sin(lim)6(21 xxx 极限存在准则PPT课件.)11(lim52 xxxx求求例例极限存在准则PPT课件三、小结三、小结1.两个准则两个准则2.两个重要极限两个重要极限夹逼准则夹逼准则; 单调有界收敛准则单调有界收敛准则 .; 1)()(sinlim10 xx 某某过过程程.)(1lim2)(10exx 某某过过程程,)(为某过程中的无穷小为某过程中的无穷小设设x 极限存在准则PPT课件思考题思考题求极限求极限 xxxx193lim 解解 xxxx193lim xxxxx111319lim xxxxx 313311lim9990 e

13、极限存在准则PPT课件._3cotlim40 xxx、一、填空题一、填空题:._sinlim10 xxx 、._3sin2sinlim20 xxx、._2sinlim5 xxx、._)1(lim610 xxx、练练 习习 题题._cotlim30 xxx、arc极限存在准则PPT课件xxx2tan4)(tanlim2 、._)1(lim72 xxxx、._)11(lim8 xxx、xxxxsin2cos1lim10 、xxaxax)(lim3 、二、求下列各极限二、求下列各极限:nnnn)11(lim42 、极限存在准则PPT课件 5 5、nnnn1)321(lim 三、三、 利用极限存在准则证明数列利用极限存在准则证明数列,.222,22, 2 的极限存在，并求的极限存在，并求出该极限出该极限 . .极限存在准则PPT课件一、一、1 1、 ； 2 2、32； 3 3、1 1； 4 4、31 ； 5 5、0