概率课后习题解答

1、习题一3设,表示三个事件,用,的运算关系表示下列各事件：（1）发生,与不发生;（2）与都发生,而不发生;（3）,都发生;（4）,都不发生;（5）,中至少有一个发生;（6）,中恰有一个发生;（7）,中至少有两个发生;（8）,中最多有一个发生.解：（1）； （2）； （3）； （4）；（5）； （6）； （7）；（8）或6一批产品共有件，其中有件废品，求：（1）任取件产品恰有件是废品的概率;（2）任取件产品没有废品的概率;（3）任取件产品中废品不少于件的概率.解：设事件表示“取出的件产品中恰有件废品”，由概率的古典定义得（1）；（2）；（3）9已知,，求和解：,.10已知,求解：.13一盒里有个电

2、子元件,其中有个正品,个次品.从中每次抽取一个,不放回地连续抽取四次,求第一、第二次取得次品且第三、第四次取得正品的概率解：设事件表示“第次取得次品”（），则所求的概率为 .19三人独立地去破译一个密码,他们能够译出的概率分别是,问能将密码译出的概率是多少?解：设事件分别表示“第一人，第二人，第三人破译出密码”，显然事件相互独立，且，则所求的概率为.20加工某一零件共需经过四道工序,设第一、二、三、四道工序的次品率分别是,和.假设各道工序是互不影响的,求加工出来的零件的次品率.解：设事件表示“第道工序加工出次品”，显然事件相互独立，且，则所求的概率为122设一系统由三个元件联结而成（如图）,各

3、个元件独立地工作,且每个元件能正常工作的概率均为().求系统能正常工作的概率.23图解：设事件表示“第个元件正常工作”，事件表示“该系统正常工作”，显然，事件相互独立，且，则所求的概率为.习题二2.离散型随机变量的概率函数为：（1）（2）分别求（1）、（2）中的值解：（1），解得；（2），解得3.对某一目标进行射击，直到击中为止，若每次射击命中率为，求射击次数的概率分布解：设随机变量表示“击中目标时的射击次数”，显然，可取，故的概率分布为：4.一大楼装有5个同类型的供水设备调查表明在任一时刻，每个设备被使用的概率为0.1，且各个设备的使用是相互独立的求在同一时刻被使用的设备数的概率分布，并求在

4、同一时刻：（1）恰有2个设备被使用的概率；（2）至少有3个设备被使用的概率；（3）最多有3个设备被使用的概率；（4）至少有1个设备被使用的概率解：设随机变量表示“在同一时刻被使用的设备数”，显然，其中，故的概率分布为.（1）恰有2个设备被使用的概率为.（2）至少有3个设备被使用的概率为.（3）最多有3个设备被使用的概率为.（4）至少有1个设备被使用的概率为.9.设随机变量的概率密度为 求的分布函数解：随机变量的分布函数为10.设的分布函数为求：（1）系数；（2）的概率密度；（3）概率.解：（1）由于是连续函数，有，而，故；（2）（3）13.随机变量的分布函数为 求(1)的概率密度；(2).解：

5、(1)对于连续型随机变量，有，所以(2) .14.某种电子元件的使用寿命（单位：h）的概率密度为 求在150h内：（1）3个电子元件中没有1个损坏的概率；（2）3个电子元件中只有1个损坏的概率；（3）3个电子元件全损坏的概率.解：设随机变量表示“在150h内，3个电子元件中损坏的元件数”，显然，其中，（1）3个电子元件中没有1个损坏的概率为：；（2）3个电子元件中只有1个损坏的概率为：；（3）3个电子元件全损坏的概率为：16.已知随机变量只能取1，0，2，3四个值，相应的概率依次为，确定常数.解 由，得C=.16.一个袋内装有5个白球，3个红球第一次从袋内任意取一个球，不放回，第二次又从袋内任

6、意取两个球，表示第次取到的白球数（）求（1）的联合概率分布；（2），解：（1）依题可知，随机变量可取，随机变量可取，而 （）则的联合概率分布，与的边缘概率分布分别为012011（2）,.17. 袋中装有标上号码1，2，2的3 个球，从中任取一个并且不放回，然后再从袋中任取一球，以分别记为第一、二次取到球上的号码数，求的联合分布解：1210218.设二维随机变量的联合概率密度为 求：（1）常数；（2）；（3）；（4）. 解：（1）由于，有，解得；（2）；（3）；（4）22.投掷一枚硬币直至正面出现为止，引入随机变量表示投掷总数.（1）求与的联合概率分布及边缘概率分布.解：（1）依题可知，可取，而

7、则与的联合概率分布及边缘概率分布分别为XY1234001000124.设随机变量的概率分布为-2-1013求的概率分布.解：列表则的概率分布为习题三1 甲乙两台机器一天中出现次品的概率函数分别为01230.40.30.20.101230.30.50.20若两台机器的日产量相同，问哪台机器较好？解：依题有，显然，即甲机器的平均次品数比乙机器的平均次品数大，故乙机器较好.2 某种电子元件的寿命（单位：）的概率密度为 其中为常数.求这种电子元件的平均寿命.解：.3. 设随机变量的概率密度为 已知，求的值.解：依题可知，4. 设10只同种电器元件中有两只废品，装配仪器时，从这批元件中任取一只，若是废品

8、，则扔掉重新任取一只，若仍是废品，则再扔掉重新任取一只.试求在取到正品之前已取出的废品数的概率分布与数学期望.解：依题可知，随机变量可取，而故随机变量的概率分布为012且.8设随机变量的概率密度为 求.解：因故 .9.设随机变量的概率密度函数为 求解：，11设随机变量的分布函数为 试确定常数，并求.解：因为连续函数，则，即则，,所以，.习题四1.设，求下列概率：（1）;(2);(3);(4).解：（1）.（2）.（3）.（4）.3已知随机变量，且，求.解：因，即，则.4. 已知随机变量，且，求.解：依题有，由此可得，解得6.设随机变量，求. 解：因，则7.设随机变量，又设.求（1），.解：依题

9、可知，由得，（1）.11一加法器同时收到48个噪声电压，设它们是相互独立的随机变量，且都在区间上服从均匀分布，记，求.解：依题可知，由独立同分布中心极限定理得.12. 一部件包括10个部分，每部分的长度是一个随机变量，它们相互独立，且服从同一分布，其数学期望为2mm，均方差为0.05mm.规定总长度误差在0.1mm内算合格品，试求产品合格的概率.解：设随机变量表示“第个部分的长度”，则相互独立，且表示“该部件的总长度”， 由独立同分布中心极限定理得.13. 掷硬币900次，试求：（1）至少出现正面480次的概率；（2）出现正面在420次到480次之间的概率.解：设随机变量表示“掷900次硬币中

10、出现正面的次数”，则，由棣莫弗拉普拉斯中心极限定理得（1）（2）14. 一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角大于的概率，若船舶遭受了90000次波浪冲击，问其中有次纵摇角度大于的概率是多少？解：设随机变量表示“在90000次波浪冲击中纵摇角大于的次数”，则，由棣莫弗拉普拉斯中心极限定理得15用切比雪夫不等式确定当投掷一枚均匀硬币时，需投多少次，才能使出现正面的频率在0.4至0.6之间的概率不小于90%.并用棣莫弗-拉普拉斯定理计算同一问题，然后进行比较.解：设需投硬币的次数为，随机变量表示“投掷次中硬币出现正面的次数”，显然，则（1）由切比雪夫不等式得即（2）由棣莫弗-拉普拉斯定理得 即，查表得，即，而，故16.设有30个电子器件，它们的使用情况如下：损坏，接着使用；损坏，接着使用等等.设器件的使用寿命服从参数（单位：）的指数分布.令为30个器件使用的总时数，问超过350h的概率是多少？解：设随机变量表示“第个电子器件的使用寿命”，依题可知，相互独立，且，由独立同分布中心极限定理得.17某单位设置一电话总机，共有200架电话分机.设每个电话分机有5%的时间要