有理数及其运算培优专题

1、有理数及其运算培优专题一 选择题（共4小题）1. a, b互为相反数，下列各数中，互为相反数的一组为（）A. a2与 b2 B. a3与 b5C. a2n与b2n （n为正整数） D. a2n+1与b2n+1 （n为正整数）2. 十进制数 278,记作 278（io）,其实 278（i°）=2X 102+7X 101+8X 10°,二进制数 101（2）=1 X 22+0X 21+1x20.有一个k （0vk< 10为整数）进制数165（“，把它的三个数字顺序颠倒得到的 k进制数561（k） 是原数的3倍，则k=（）A. 10 B. 9C. 8D. 73. 已知a=（

2、丄-2）-丄，b= -（2 -丄），c-2-丄，判断下列叙述何者正确？141515 1Q 1516141&15'（ ）A. a=c，b=cB. a=c， bc C. ac，b=c D. ac， bc卢厂"I J_4. 在广东省十三届人大一次会议上的政府工作报告中指出：广东全省生产总值从2012年的5.8 万亿元增加到2017年的8.99万亿元，五年年均增长7.9%.将数据8.99万亿用科学记数法可表示 为（ ）A. 89.9 X 1011 B. 0.899 X 1013 C . 8.99 X 1012 D. 8.99 X 1013二. 填空题（共2小题）5. 在数轴上

3、，点A表示的数是3+x,点B表示的数是2-x，且A，B两点的距离为8,则x=.6 .如图，数轴上，点A的初始位置表示的数为1,现点A做如下移动：第1次点A向左移动3个 单位长度至点A,第2次从点A向右移动6个单位长度至点A,第3次从点A向左移动9个单位 长度至点A,，按照这种移动方式进行下去，点 A表示的数，是，如果点A与原点的距离不小于20,那么n的最小值是 .三. 解答题（共12小题）7.在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学 思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题.【提出问题】三个有理数 a, b, c满足abc>0,求一I 的值.a

4、 b c【解决问题】解：由题意，得a, b, c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数. a, b, c 都是正数，即 a> 0, b> 0, c > 0 时，则-L-L -L-L i-L-L - - :;a b c a b c精心整理 当a , b , c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a > 0 , b v 0 , c v 0 ,则a b c a b c综上所述，亘一亠一值为3或-1.a b e【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题:的值;(1) 三个有理数a, b, c满足abcv0,求(2)若a, b, c为三个不为0的有理数，且的值.求 _

5、abc_'|abc|8 .如图，在单位长度为1的数轴上有，A B C D四个点，点A、C表示的有理数互为相反数1i11:4 i>ABC D(1) 请在数轴上标出原点 O,并在点A B C D上方标出它们所表示的有理数；(2) A、C两点间的距离AC= , B、D两点间距离BD= ;(3) 通过观察可以发现，数轴上两点之间的距离可以用这两个点所表示的有理数的绝对值来表示，如果数轴上点M表示的有理数是x,点N表示的有理数是y,那么M N两地间的距离用含有绝对值 的式子可以表示为；(4) 设点P在数轴表示的有理数是x,借助数轴解答下列问题：式子|x - 4|表示点P与有理数所对应的点之

6、间的距离：|x+1|表示点P与有理数 所对应j- .的点之间的距离； 当x是哪个有理数或哪个有理数范围内时，式子|x - 4|+|x+1|的值最小？最小值是多少？ 若式子|x - 4|+|x+1|的值是6,那么点P所表示的有理数是多少？9. 如图所示，数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B,再向右移动5个单位长度到达点C 占八、(1) 求动点A所走过的路程及A、C之间的距离.(2) 若C表示的数为1,则点A表示的数为.10. 从图中最小的数开始，由小到大依次用线段连接各数，看看你画出了什么？11. 已知有理数a,b,c,d,e,且a、b互为倒数，c、d互为相反数，e的绝对值为2,求式子丄乱

7、亠出2 5的值.12. 若(a-2) 2+|b+3|=0，求(a+b) 2009 的值.13. 计算： 8+ (- 10) + (-2)-(- 5)23-5二+(-81 -(-2丄)X亠49宁(16)-14111 .1刁,2X32I-11 -.13,3X431-丄 X 3 -( -3) 26_+丄 (_-_+丄)X(- 36);29 12 199 X( - 5)(用简便方法计算)2 514请先阅读下列一段内容，然后解答后面问题:第四个等式为，第n个等式为根据你发现的规律计算:2X3 3X4 4X511X 1215.计算题(6).25X- '： I:16.计算求值:(-"201

8、5x -碍5 切十(却-*117 计算：1+21*2+31+2+3441 巴+3+4+51吃+3+'+1993. 算：2+3+42十3十4+5姑3+19站'订 I f.y 19201018.若 a、b、c 为整数，且 |a - b| +|c - a| =1,求 |a - b|+|b - c|+|c - a| .有理数及其运算培优专题参考答案与试题解析一 选择题（共4小题）1. a, b互为相反数，下列各数中，互为相反数的一组为（）A. a 与 b2 B. a3 与 b5C. a2n与b2n （n为正整数）D. a2n+1与b2n+1 （n为正整数）【分析】依据相反数的定义以及有

9、理数的乘方法则进行判断即可.【解答】解：A、a, b互为相反数，则a2=b2,故A错误；B a, b互为相反数，则a3=- b3,故a3与b5不是互为相反数，故B错误；、a, b互为相反数，则a2n=b2n，故C错误；D a, b互为相反数，由于2n+1是奇数，则a2n+1与b2n+1互为相反数，故D正 确；故选：D.J【点评】本题考查了相反数和乘方的意义，明确只有符号不同的两个数叫做互为相反数，还要熟练掌握互为相反数的两个数的偶数次方相等，奇次方还是互为相反数.2. 十进制数 278,记作 278（io）,其实 278（ 10）=2X 102+7X 101+8X 10°,二进制数

10、101（2）=1X22+0X21+1X 2°.有一个 k （0vk< 10 为整数）进制数 165（ 把它的三个数字顺序颠倒得到的 k进制数561（k）是原数的3倍，则k=（）夕厂厂 i A. 10 B. 9 C. 8D. 7【分析】依据定义列出关于k的方程求解即可. J I /2 2【解答】解：由题意得：3 （k +6k+5） =5k+6k+1, 解得：k=7或k=- 1 （舍去）.''I故选：D.【点评】本题主要考查的是科学记数法，依据定义列出关于 k的方程是解题的关键.3214153 .已知a=(215F列叙述何者正确？（116116，判断A. a=c,

11、b=cB. a=c, bc C. ac, b=c【分析】根据有理数的减法的运算方法，判断出-命【解答】解：v a=（1316'=14215a、c, b、c的关系即可.16b=-(，b14(1515精心整理-2+丄 c=3 -2 _ i,c ,15 16141516二 a=c,c.故选：B.【点评】此题主要考查了有理数的减法，要熟练掌握，解答此题的关键是要 明确：有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.4.在广东省十三届人大一次会议上的政府工作报告中指出：广东全省生产 总值从2012年的5.8万亿元增加到2017年的8.99万亿元，五年年均增长 7.9%.将数据8.99万亿用

12、科学记数法可表示为()A. 89.9 X 1011 B. 0.899 X 1013 C . 8.99 X 1012 D. 8.99 X 1013【分析】科学记数法的表示形式为ax 10n的形式，其中 K |a| v 10, n为整 数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对 值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值1时，n是正数；当原数的绝 对值v 1时，n是负数.J【解答】解：将数据8.99万亿用科学记数法可表示为8.99 X 1012.故选：C.【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为 aX 10n 的形式，其中 K |a| v 10，n为整数，表

13、示时关键要正确确定 a的值以及n 的值.二.填空题(共2小题)5 .在数轴上，点 A表示的数是3+x，点B表示的数是2 - x，且A, B两点的 距离为8,则x= 3.5或-4.5.1 丿 / /' !【分析】分两种情况：当点A在点B左侧时，当点A在点B右侧时，分 别根据距离为8，列方程求解.【解答】解：当点A在点B左侧时，2 -x -(3+x) =8，解得：x=- 4.5 ; 当点A在点B右侧时，3+x-( 2 - x) =8，解得：x=3.5 .故答案为：3.5或-4.5【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴的知识，解答本题的关键精心整理是读懂题意，注意分情况列方程求解.6.

14、 如图，数轴上，点A的初始位置表示的数为1,现点A做如下移动：第1 次点A向左移动3个单位长度至点A,第2次从点A向右移动6个单位长度 至点A,第3次从点A向左移动9个单位长度至点A,，按照这种移动方 式进行下去，点A表示的数，是 7 ，如果点A与原点的距离不小于20, 那么n的最小值是 13.【分析】序号为奇数的点在点A的左边，各点所表示的数依次减少 3,序号 为偶数的点在点A的右侧，各点所表示的数依次增加 3,于是可得到A3表示 的数为-17-3=- 20, A12表示的数为16+3=19,则可判断点A与原点的距离 不小于20时，n的最小值是13.【解答】解：第一次点A向左移动3个单位长度

15、至点A,则A表示的数，1-3=- 2-2;第2次从点A向右移动6个单位长度至点A，则A表示的数为-2+6=4;第3次从点A向左移动9个单位长度至点A，则A表示的数为4 -9=- 5;第4次从点A向右移动12个单位长度至点A,则A表示的数为-5+12=7; 第5次从点A向左移动15个单位长度至点A,则A表示的数为7 - 15=- 8; ' .1 则A表示的数为-8 - 3= - 11, A表示的数为-11 - 3=- 14, A1表示的数为-14- 3=- 17, A3表示的数为-17- 3=- 20,A表示的数为 7+3=10, A表示的数为10+3=13, A10表示的数为13+3=

16、16, A2 表示的数为16+3=19,I I 所以点A与原点的距离不小于20,那么n的最小值是13.故答案为7, 13.【点评】本题考查了规律型问题，认真观察、仔细思考，找出点表示的数的变化规律是解决问题的关键.三.解答题（共12小题）7. 在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面 是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题.【提出问题】三个有理数a, b, c满足abc>0,求-的值.a b c【解决问题】解：由题意，得a, b, c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为精心整理负数. a , b , c都是正数，即a > 0 ,

17、 b > 0 , c > 0时，则；a b c a b c 当a, b, c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a>0, bv0, cv0,a b c a b c综上所述，丄丄丄值为3或-1.a b e【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题:(1)三个有理数a, b, c满足abcv0,(2)若a, b, c为三个不为0的有理数,值.【分析】(1)仿照题目给出的思路和方法,求abl , Idbe且且1丨IMF解决(1)即可1的值;7“I ,求恥| abc |(2)根据已知等式，利用绝对值的代数意义判断出a, b, c中负数有2个,正数有1个，判断出abc的正负，原式利用

18、绝对值的代数意义化简计算即可.【解答】解：(1)v abcv0,a, b, c都是负数或其中一个为负数，另两个为正数, 当a, b, c都是负数，即av0, bv0, cv0时，+-1>+-匚b cb 11则:二1- 1-仁3;a, b, c有一个为负数，另两个为正数时，设av 0, b>0, c>0,(2)v a, b, c为三个不为0的有理数，且|a|b|c| a, b, c中负数有2个，正数有1个， abc> 0,=一 .-| abe | abc二一1 ,=1.l|,|b|,|<| _-耳丄5b c则-1+1+ 仁1.【点评】本题主要考查了绝对值的意义、分类

19、讨论的思想方法.能不重不漏 的分类，会确定字母的范围和字母的值是关键.8. 如图，在单位长度为1的数轴上有，A、B、C D四个点，点A C表示的| 心 I A 111A 1TL>有理数互为相反数 ABED(1) 请在数轴上标出原点 0,并在点A、B、C、D上方标出它们所表示的有精心整理理数；(2) A、C两点间的距离AC= 6, B D两点间距离BD= 5;(3) 通过观察可以发现，数轴上两点之间的距离可以用这两个点所表示的有理数的绝对值来表示，如果数轴上点 M表示的有理数是x，点N表示的有 理数是y，那么M N两地间的距离用含有绝对值的式子可以表示为|x -y_ ；(4) 设点P在数轴

20、表示的有理数是x，借助数轴解答下列问题： 式子|x - 4|表示点P与有理数 4所对应的点之间的距离:|x+1|表示点P与有理数-1所对应的点之间的距离； 当x是哪个有理数或哪个有理数范围内时，式子|x - 4|+|x+1|的值最小？最小值是多少？5 若式子|x - 4|+|x+1|的值是6,那么点P所表示的有理数是多少？- 1.5或 4.5.【分析】(1)根据图示，点 A C之间的距离是6,据此求出点A、C表示的 数是多少，即可求出点B和D表示的数是多少，并画数轴即可；(2) 直接由两点的坐标之差可得结论；(3) 在数轴上M N两点之间的距离MN=|x - y|，依此即可求解；(4) 根据绝

21、对值的几何意义，进行解答； 根据数轴上|x+3|+|x - 4|的几何意义，进行解答. 分情况讨论计算即可得出结论.【解答】解：(1)v点A、C表示的两个数互为相反数，点 A、C之间的距离 是6，点C表示的数是3， A表示的数是-3，点B表示的数是-1，点D表示的数是4；如图所示：(2) 由数轴得：A、C两点间的距离AC=6 B、D两点间距离BD=4-( - 1)=5；故答案为：6, 5；(3) MN=|x- y|故答案为：|x - y| ；(4) 式子|x - 4|表示点P与有理数4所对应的点之间的距离：|x+1|表示 点P与有理数-1所对应的点之间的距离；精心整理 在数轴上|x+3|+|x

22、 - 4|的几何意义是：表示有理数 x的点到-3及到4的 距离之和，所以当-3<x<4时，它的最小值为7; |x - 4|+|x+1|=6 ,分三种情况：如图1,当点P在-1的左边时，得:- 1 - x+4 - x=6,x= - 1.5 ,如图2,当点P在-1和4之间时，|x - 4|+|x+1|=5，不符合题意,如图3,当点P在4的右边时，x - 4+x+1=6,x=4.5 ,x= - 1.5 或 4.5 ,即点P表示的有理数是-1.5或4.5 ;故答案为：4,- 1;7;-1.5或4.5 .【点评】此题主要考查了数轴上两点间的距离的求法，以及相反数和绝对值 的含义和求法，要熟练

23、掌握.9如图所示，数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B,再向右移动5个单位长度到达点C点.(1) 求动点A所走过的路程及A、C之间的距离.(2) 若C表示的数为1,则点A表示的数为 -2.【分析】(1)根据题意列出算式2+5,求出即可得出动点A所走过的路程，求出5-2即可得出A C之间的距离；(2) 设点A表示的数十x，根据题意得出算式x+ ( - 2) + (+5) =1,求出x 即可.【解答】解：(1)动点A所走过的路程2+5=7,A、C之间的距离是 AC=5- 2=3;(2)设点A表示的数十x,则 x+ (- 2) + (+5) =1,x=- 2,故答案为：-2.【点评】本题考查了

24、数轴和有理数的运算，关键是能根据题意列出算式，题精心整理目比较好，但是一道比较容易出错的题目.10从图中最小的数开始，由小到大依次用线段连接各数，看看你画出了什 么？【分析】根据负数比较大小，绝对值大的反而小，求出两负数的大小，根据 正数都大于0,负数都小于0比较即可.【点评】本题考查了相反数，绝对值，有理数的大小比较等知识点的应用， 求出I 4.5|= - 4.5，+ （ - 1） =- 1，- （-5） =5，| - 10|=10，| - 6|=6， I - 3|=3 11. 已知有理数a，b，c，d，e，且a、b互为倒数，c、d互为相反数，e的 绝对值为2,求式子£比/十/的值

25、.25【分析】利用相反数，倒数，以及绝对值的定义求出ab，c+d以及e的值，代入原式计算即可得到结果.、|F 斗尸、少 【解答】解：根据题意得：ab=1，c+d=0，e=±2，°原式=_ X 1+0+4=4-.Ki【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握相反数，倒数，以及绝对 值的定义是解本题的关键.12. 若（a- 2） 2+|b+3|=0，求（a+b） 2009 的值.【分析】根据非负数的性质分别求出a、b,根据乘方法则计算即可.【解答】解：由题意得，a-2=0，b+3=0,解得，a=2, b= 3，则（a+b） 2009=- 1 .【点评】本题考查的是非负数的性质

26、，掌握当几个非负数相加和为0时，则精心整理其中的每一项都必须等于0是解题的关键.13计算: 8+ (- 10) + (-2) ( 5)岑-背-号-81-(-2二)x亠4g(-16)-14-lx 3 -( -3) 26(于-+ 亡)x(- 36);19斗x25(-5)(用简便方法计算)【分析】首先根据有理数减法法则，把算式进行化简，然后应用加法交换 律和结合律，即可得出结论； 根据加法结合律将同分母的分数相加，即可得出结论； 先确定符号，再根据有理数混合运算的运算顺序进行计算即可得出结论； 原式先计算乘方运算，再计算乘法运算，最后算加减运算可得出结论； 利用乘法的分配律进行计算可得出结论； 先将

27、带分数化为200-丄，利用乘法的分配律进行计算即可得出结论.国【解答】解： 8+ (- 10) + (- 2)-(- 5)， =8 - 10-2+5，=(8+5) + (- 10-2)，=13- 12,=-1 - 9,=-10； -81-(-2寺)x工十(-16)，=-81x£x2x丄，9915 5=-1； -14-丄 x 3 -( -3) 2，二-1 -1x(3 -9),6=-1-1x(- 6),6=0;垮軽)x(- 36);二-丄 x 36也 x 36 -丄 x 36,2912?=-18+20- 21, =-19;19x( - 5)(用简便方法计算)2425=(200-)x( -

28、 5),1 .2X31,=1-丄,1=丄1'3X43亍.|1第n个等式为15，HnCn+l)'1.1 ，-1 I2X3 13X44X5'11X 12然后解答后面问题:131 =1 一4 X 5=4第四个等式为根据你发现的规律计算:【解答】解：第一个式子为:11X2=1 -=200x( - 5) +5x =-1000 =-999.8 .【点评】本题考查了有理数的混合运算，牢记有理数混合运算的运算法则是 解题的关键.14. 请先阅读下列一段内容,11X2【分析】先根据所给的式子找出第一、第二、第三个式子的规律，进而可 求出第四、第n个式子的表达式;把所给式子相加，找出规律即

29、可进行计算.1=1-12X3|23，1=113X4=34，第二个式子为:第三个式子为:第四个等式为:11 电,n(n+l)，第n个等式为：宀订.1 .14X5-故答案为:1=51212丄+丄411_ L =-12 2第二、第三个式子相加丄+亠+1 J2X3 3X411 X 12 2【点评】本题考查的是有理数的混合运算，是一道找规律的题目，要求学生 通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题，熟练 掌握分数的拆分计算.15. 计算题(1 5咅3知碍+(土)(2) 17_ 8十(2) +4X( 3)(3) 盼呼舟七召)(4) -介卷-中(5) (1 寺总妞兀(-24)4-(-L)

30、2009-|-2 |3(6) 25X-(-(斗).【分析】(1)先化简，再计算加减法可得；(2) 先计算乘除，再算加减可得；(3) 运用乘法分配律计算可得；(4) 首先计算乘方和括号里面的运算，然后计算乘法和减法可得.(5) 第一组括号里利用乘法分配律计算，第二组括号里是- 1的奇次方，得_ 1,并根据绝对值和乘方进行第三组式子进行计算可得；(6)运用乘法分配律的逆运算计算可得.=10-6,=4；(2) 17 -8-( -2) +4X( - 3)，=17+4- 12，=21 - 12，=9；(3) 陥厝£4!嚅),=60 X3+60 X5-60 X 11-60 X 丫461512=45+50- 44 - 35,(5)碍号2 "204(1严?-卜2 |3,亠X( -24) + 丄 X( - 24)- 2.75 X( - 24)- 1 - 23,3 8=-32- 3+66- 1 - 8, =22;(6) 25X-一-一二:-=25x3+25x1- 25x1,4 24=25X(3丄)，42 4=25X 1, =25.【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数 混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到s. |z - &、. s <x X右的顺序进行计算；如果有