圆锥曲线的经典性质总结教学内容

1、学习资料各种学习资料，仅供学习与交流椭圆必背的经典结论1. 点P处的切线 PT平分 PFi F2在点P处的外角.2. PT平分 PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线 PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两 个端点.3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线 相离.4.5.6.7.8.9.以焦点半径PFi为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.22x y 右Po(Xo,y0)在椭圆2a b22x y右0(%,丫0)在椭圆2 a bxox yoy 12,21 .a b221上，则过Po的椭圆的切线方程是x°x-TayoyF1.1外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2,则切

2、点弦一一 x y椭圆 4 1 (a>b>0)的左右焦点分别为 F1, F2,点P为椭圆上任意一点F1PF2a b形的面积为S b2 tan-. F1PF 2222椭圆x2 y2 1 (a>b>0)的焦半径公式： a bIMF1I a exo,|MF2| a exo(F1( c,0) , F2(c,0) M(x0,y。).P1P2的直线方程是,则椭圆的焦点角设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于 M、N两点，则 MF XNF.10.过椭圆一个焦点 F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长

3、轴上的顶点,A1P和A2Q交于点M, A2P和11.12.13.A1Q交于点AB是椭圆N,2xa则 MF XNF.2 y b21的不平行于对称轴的弦，M(xo,yo)为AB的中点，则koMkABb22 ,aK ABb2xo20a yoPo(xo,yo)在椭圆2x2ayT 1内，则被Po所平分的中点弦的方程是 粤 b2a2yoyb22 x2a2y。b2Po( xo , yo )在椭圆2x2a22一 1内，则过Po的弦中点的轨迹方程是 今 ba2 y b2XoX2ayoyb2双曲线1. 点P处的切线 PT平分 PF1F2在点P处的内角.2.PT平分PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线 的两个端点

4、.PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线 相交.4.5.6.7.以焦点半径PFi为直径的圆必与以实轴为直径的圆2 x 若Po(xo,yo)在双曲线 a2 x 若Po(Xo, yo)在双曲线a2 y b22 y b2相切.(内切：P在右支；外切：P在左支)1 (a>0,b>0)上，则过Po的双曲线的切线方程是多a1 (a>0,b>0)外，则过Po作双曲线的两条切线切点为yoy1.P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是缚邛 1.a b22双曲线与、1 (a>0,b>o)的左右焦点分别为 a bF1, F 2,点

5、P为双曲线上任意一点F1PF2,则双曲线的焦点角形的面积为S FPF b2cot .F1PF2222x y8 .双曲线1 (a>0,b>o)的焦半径公式：(F( c,0) , F2(c,0)a b当 M(x0,y°)在右支上时，|MFi| e% a ,| MF21 e% a . 当 M(x0,y。)在左支上时，|MFJe% a,|MF2|e% a9 .设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于 M、N两点，则MF XNF.10 .过双曲线一个焦点 F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双

6、曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M , A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MFXNF.11.22AB是双曲线一21a2 b2a>0,b>0)的不平行于对称轴的弦，M (x0, y0)为AB的中点，则12.13.KOMK ABb2%a2%KABb2x02a V。2 x 右P0(x°, yO)在双曲线 a22x°x y°y x°y°2,22,2 .abab22一, x y若P0(x0,y0)在双曲线七 a b2 y b2a > 0,b >。)内，则被 Po所平分的中点弦的方程是221 (a>0,b>。)内

7、，则过Po的弦中点的轨迹方程是 22 一。2a b a b1.2x椭圆a2.3.4.5.6.7.8.9.10.椭圆推导的经典结论2y 1 (a>b>o)的两个顶点为 A1( a,0) , A2(a,0),与y轴平仃的直线交椭圆于 b2，.一 x与A 2P2交点的轨迹方程是 -2 a2 x过椭圆aPl P2 时 AlPl2L 1 b2.2 y彳 1 (a>0, b>0)上任一点A(x0,y°)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 b直线BC有定向且kBC2 x 若P为椭圆a则ac a c设椭圆中，记若椭圆B,C两点，则叮(常数)a V。2 上 b21 (a>

8、 b>0)上异于长轴端点的任一点，F1,F2是焦点，PF1F2tan co t .PF2F1，2 y_(a> b>0)的两个焦点为 F1、F2,P (异于长轴端点)为椭圆上任意一点，在PF1F2F1PF22 y_ b2圆上求一点P为椭圆2aA2P,使得| AF2I已知椭圆_1 |OP|2(x _ sinPF1F2,F1F2P,则有sin sin(a>b>0)的左、右焦点分别为 Fi、F2,左准线为PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.22x yF 匕 1 (a>b>0)上任一点,F1,F2 为a2b2|PA|x0)22aB2b22 xa1|OQ

9、|22 x 过椭圆a轴于P,则L,e.则当0vew & 1时，可在椭A为椭圆内一定点，则| PF1 | 2a |AF1,当且仅当A, F2,P三点共线时，等号成立.(y y。)2(Ax02y- 1b2b21与直线 Ax ByC 0有公共点的充要条件是By。C)2.(a > b > 0) , O为坐标原点,1;(2) |OP|2+|OQ|2 的取大值为 b2P、Q为椭圆上两动点，且OP OQ . ( 1)当竺；(3) Sopq的最小值是 a2b22,2a b2. 2 .a b2yb2|PF | MN |(a> b>0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于 M,N两点，弦

10、MN的垂直平分线交 x1 ( a>b>0) ,A、B、是椭圆上的两点，线段 AB的垂直平分线与 x轴相交于点,Fi、F2为其焦点记F1PF22-2a bP(%,0)，则X0a22,i,一 x y11.设P点是椭圆3 1a b2,2a b .aa>b>0）上异于长轴端点的任一点12.IPF1IIPF2I2b21 cos.(2)S PF1F2b2 tan .22x设A、B是椭圆2aPBA , BPA2y 1 （ a> b>0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点， PAB , b22ab |cos |,c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有（1） | PA | -2一2

11、.（2） a c costan tan/21 e . S PAB2a2b2-2-2 cot b a22x y ,13.已知椭圆2" 1a ba>b>0）的右准线l与x轴相交于点E ,过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点，点C在右准线l上，且BC x轴，则直线 AC经过线段EF的中点.14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直16.椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e（离心率）.（注：在

12、椭圆焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点 .）17.椭圆焦三角形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18.椭圆焦三角形中，半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项学习资料1 (a>0,b>0),A、B是双曲线上的两点，线段 AB的垂直平分线与x轴相交各种学习资料，仅供学习与交流1.2.3.4.5.6.7.8.双曲线1 (a>0,b>0)的两个顶点为 A1( a,0),A2(a,0),与y轴平行的直线交双曲线于22x y Pl P2时AlPl与A2P2交点的轨迹万程是 2- 1. a b2 X 过双曲线a两点，则直线若P为双曲线PF2F12

13、y2 1 (a>0,b>o) b2BC有定向且kRrBC22xy2,2ab上任一点A(x0, y0)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于b2-oa2y0(常数)1 (a>0,b>0)右(或左)支上除顶点外的任一点，F1, F 2是焦点，c a,、 c a,贝U tancot(或tan cot)c a 22 c a 2222设双曲线xy纭a2 b2在 PF1F2中，记22若双曲线x2 当 a b可在双曲线上求一点2 x P为双曲线a|AF2| 2a2 一，一 x 双曲线a已知双曲线9.过双曲线平分线交B,C1 (a>0,b>0)的两个焦点为F1PF2|PA|2

14、 y b22 x2 a1PF1F2F1、F2,P (异于长轴端点)为双曲线上任意一点,PF1F2, F1F2P，则有(sinsinc e. sin ) a1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项2y ,，匕 1 (a>0,b>0)上任一点，F1F2 为 b2焦点，AL,则当1vew & 1时,为双曲线内一定点，则IPF1I，当且仅当A,F2,P三点共线且P和A, F2在y轴同侧时，等号成立.2 21 (a> 0,b>0)与直线Ax By C0有公共点的充要条件是A a2L 1

15、b22|OQ|2 2x y2 ,2 a bx轴于P,(b>a >0), O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且 OP2 22B2b2 C2.OQ .2x10.已知双曲线ab214a2b2;(2) |OP|2+|OQ|2的取小值为 2； (3) Sopq的取小值是 bb a1 (a>0,b>0)的右焦点则ge|MN | 2于点 P(x0,0),则 x02,2a b 7或x02, 2a bb2F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直b2学习资料11.,F1、F2为其焦点记F1PF222、一 ,_ x y ,一 设P点是双曲线 1 ( a> 0,b >

16、0)上异于头轴漏点的任一点 a b各种学习资料，仅供学习与交流12.则 IPF1IIPF2I 2b.(2)1 cos22x设A、B是双曲线) ，1a2 b22,S PF1F2b COt .(a>0,b>0)的长轴两端点,PBA , BPA , c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有是双曲线上的一点，PAB ,22ab |cos |(1)|PA| 22.(2)| a c cos |tan tan/21 e .(3) S PAB2, 22a b-22 cotb a2213 .已知双曲线 221 (a>0,b>0)的右准线l与x轴相交于点E,过双曲线右焦点F的直线与双a b曲

17、线相交于A、B两点，点C在右准线l上，且BC x轴，则直线AC经过线段EF的中点.14 .过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直15 .过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直16 .双曲线焦三角形中，外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注：在双曲线焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点 ).17 .双曲线焦三角形中，其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.18 .双曲线焦三角形中，半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项抛物线的性质1、抛物线、椭圆、双曲线几何性质的区别椭圆双曲绘抛物线标准方程(a > L > C)9百(a > 0 , b > 0)产谢1 > 0)图形|O£Md葩圉-a W工后a“ < y < b工学a或工嫉T y w R上占0 ye R对林性关于工轴、y轴对称 关于原点对标关于乂轴、y轴对称 关于原点对称关于K轴对神攻点(-4 > 型立 j 00(0 J -b)(0 J b)(-4 -