圆与方程知识点整理

1、圆心在原点过原点222222x a y b a b a b 0圆心在x轴上 x a 2y2 r2 r 0圆心在y轴上圆心在x轴上且过原点圆心在y轴上且过原点x2y b 2 b2 b 0与x轴相切222x a y b b b 0与y轴相切2.22x a y b a a 0与两坐标轴都相切二、一般方程xa2 yb2 a2 a b 022_22x2 y2 Dx Ey F 0 D2 E 4F 0-221. Ax By Cxy Dx Ey F0表示圆方程则2. 求圆的一般方程一般可采用待定系数法:D"AA B 0C 0D 2 E 24 AF 0223. D2 E2 4F 0常可用来求有关参数的

2、范围三、点与圆的位置关系1 .判断方法：点到圆心的距离 d与半径r的大小关系d r 点在圆内；d r点在圆上；d r 点在圆外2 .涉及最值：(1)圆外一点B,圆上一动点P,讨论|PB的最值(2)圆内一点A,圆上一动点P,讨论|PA的最值PBmin BN| |BC rPBmax IBMI BCI rPAmin lAN r |ACPAmax | AM r | AC四、直线与圆的位置关系1 .判断方法(d为圆心到直线的距离)(1)相离没有公共点0d r (2)相切只有一个公共点(3)相交有两个公共点0 d r这一知识点可以出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围2 .直线与圆相切(1)知

3、识要点基本图形 主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等 问题：直线l与圆C相切意味着什么圆心C到直线l的距离恰好等于半径r关于圆与方程的知识点整理一八、一222、标准万程x a y b r 1.求标准方程的方法关键是求出圆心a, b和半径r待定系数：往往已知圆上三点坐标，利用平面几何性质 往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交 相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理2.特殊位置的圆的标准方程设法(无需记，关键能理解)条件方程形式（2）常见题型一一求过定点的切线方程切线条数点在圆外两条；点在圆上条；点在圆内一一无求切线方程的方法及注意点i）点在圆外

4、2如 th点 P x0, y0 ,圆：x a22r , xo a.22yob r 第一步：设切线l方程y y0 k x x0第二步：通过d r k,从而得到切线方程特别注意：以上解题步骤仅对 k存在有效，当k不存在时，应补上千万不要漏了！如：过点P 1,1作圆x2 y2 4x 6y 12 0的切线，求切线方程. 答案：3x 4y 1 0和x 1ii ）点在圆上22221）右点xo, yo在圆x y r上，则切线万程为 x°x y°y r会在选择题及填空题中运用，但一定要看清题目22 o2）右点x0, y0在圆x a y b r上，则切线方程为x0 a x ay0byb r2

5、碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后运用上述结果由上述分析，我们知道：过一定点求某圆的切线方程，非常重要的第一步就是一一判断点与圆的位置关系，得出切线 的条数.求切线长：利用基本图形,AP2 CP2 r2 AP JcPr2求切点坐标：利用两个关系列出两个方程AC rkAC kAP3.直线与圆相交（1）求弦长及弦长的应用问题 垂径定理及勾股定理一一常用弦长公式：lHk2|x1x2Jik2xix224x1x2（暂作了解，无需掌握）（2）判断直线与圆相交的一种特殊方法（一种巧合）：直线过定点，而定点恰好在圆内 .（3）关于点的个数问题22例：若圆x 3 y 5 r2上有且仅有两个点到直线4x 3

6、y 2 0的距离为1,则半径r的取值范围是答案：4,64.直线与圆相离会对直线与圆相离作出判断（特别是涉及一些参数时） 五、对称问题1.若圆x2y20 ,则实数m的值为2m 1 x 2my m 0,关于直线x y 1答案：3 （注意：m 1时，D2 E2 4F 0 ,故舍去）变式：已知点 A是圆C : x22y ax 4y 5 0上任意一点,A点关于直线x 2y 1 0的对称点在圆 C上，则实数一一 ，22.圆 x 11关于直线x y 0对称的曲线方程是2_ 2_ 22变式：已知圆C1： x4 y 21与圆C2： x 2 y4 1关于直线l对称，则直线l的方程为.一 _ 22_ _3 .圆x

7、3 y 11关于点2,3对称的曲线方程是.4 .已知直线l： y x b与圆C： x2 y2 1,问：是否存在实数 b使自A 3,3发出的光线被直线l反射后与圆C相切于24 7点B 24, 若存在，求出b的值；若不存在，试说明理由. 25 25六、最值问题方法主要有三种：（1）数形结合；（2）代换；（3）参数方程1.已知实数x , y满足方程x2 y2 4x 1 0,求：（1）一y的最大值和最小值；一一看作斜率x 5（2） y x的最小值；一一截距（线性规划）22（3） x2 y2的最大值和最小值.一一两点间的距离的平方2 .已知 AOB中，OB3 , OA 4, AB5,点P是AOB内切圆上

8、一点，求以 PA , PB , PO为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值.数形结合和参数方程两种方法均可!223.设P x, y为国x y 11上的任一点,欲使不等式x0恒成立,则c的取值范围是答案:c 尬1（数形结合和参数方程两种方法均可!七、圆的参数方程r cos为参数a r cos为参数r sinr sin八、相关应用1 .若直线mx 2nyn R ）,始终平分圆4x 2y0的周长，的取值范围是2 .已知圆C ： x2y22x4y 40 ,问：是否存在斜率为使l被圆C截得的弦为AB,AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程，若不存在,说明理由提示:XiX2y1y20或弦长公式d

9、 .1 k2Xix2 .答案：x y 13 .已知圆C : x设P点是圆C上的动点，d | PA2 |PB2,求d的最值及对应的P点坐标.4 .已知圆C : x25,直线l ：2m 1 xm 1 y 7m 4 0 ( m R)（1）证明：不论m取什么值，直线l与圆C均有两个交点;（2）求其中弦长最短的直线方程5 .若直线y x k与曲线xy2恰有一个公共点，则k的取值范围.6 .已知圆x2 y2 x 6y m 0与直线x 2y 3 0交于P , Q两点，O为坐标原点，问：是否存在实数OP OQ ,若存在，求出m的值；若不存在，说明理由九、圆与圆的位置关系i .判断方法：几何法（d为圆心距）（i

10、） di2外离(2) di2外切 （3）ri2i相交(4) dri 2|内切(5)i内含2.两圆公共弦所在直线方程圆 C1 ： x2y2DixEyFi0,22圆 C2 ： x y D?x E2 yF20,则 D1D2 xE1E2 yFiF20为两相交圆公共弦方程补充说明: 若Ci与C2相切，则表示其中一条公切线方程;若Ci与C2相离，则表示连心线的中垂线方程3圆系问题（i ） 过两圆C1：DixEiyFi0 和 C2 :D2x E2yF20交点的圆系方程为说明：i）Dix Eiy Fi上述圆系不包括C2； 2)D2x E2y F20(i)i时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）过直线Ax By

11、22圆 x y DxEyF0 交点的圆系万程为Dx Ey FAx By(3)(4)有关圆系的简单应用两圆公切线的条数问题有三条公切线；相交时，有两条公切线；相离时，有四条公切线相内切时，有一条公切线；相外切时, 十、轨迹方程（i）定义法（圆的定义）：略（2）直接法:通过已知条件直接得出某种等量关系，利用这种等量关系，建立起动点坐标的关系式一一轨迹方程2例：过圆x2y i外一点A 2,0作圆的割线，求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程分析：OP?AP（3）相关点法（平移转换法）：一点随另一点的变动而变动动点 主动点特点为：主动点一定在某一已知的方程所表示的（固定）轨迹上运动例i.如图，已知定点 A

12、 2,0，点Q是圆x2AQ于M ,当Q点在圆上移动时，求动点 M的轨迹方程.分析：角平分线定理和定比分点公式y2 i上的动点，AOQ的平分线交例2.已知圆O :点A 3,0 , B、C是圆。上的两个动点,A、B、C呈逆时针方向排列，且求ABC的重心G的轨迹方程法1: QBACBC为定长且等于3,3XaXb3xbxc设 G x, y3yAyByC3yB yC取BC的中点为xe3.3 3,42Q OECEOC2Xe2 yE(1)XeXBXc2XByEyByC2xe2yE2xe32yEXe故由(1)得:3x232y法2:(参数法)设 B 3cos,3sinBOCBACyE3x 3232yC 3cos,3sinx, y3 3cos 3cosXaXBXc33sin3siny