2022年《电磁场与电磁波基础》刘岚课后习题解答

1、优秀学习资料欢迎下载习题及参考答案5.1 一个点电荷 q 与无穷大导体平面相距为d，如果把它移动到无穷远处，需要作多少功？解：用镜像法计算。导体面上的感应电荷的影响用镜像电荷来代替，镜像电荷的大小为 -q，位于和原电荷对称的位置。当电荷q 离导体板的距离为 x 时，电荷 q 受到的静电力为2)2(042xqf静电力为引力， 要将其移动到无穷远处， 必须加一个和静电力相反的外力2)2(042xqf在移动过程中，外力f 所作的功为dqddxdxqdxf016220162当用外力将电荷 q 移动到无穷远处时，同时也要将镜像电荷移动到无穷远处，所以，在整个过程中，外力作的总功为dq08/2。也可以用静

2、电能计算。 在移动以前， 系统的静电能等于两个点电荷之间的相互作用能：dqdqqdqqqqw082)2(04)(21)2(042122211121移动点电荷 q 到无穷远处以后， 系统的静电能为零。 因此，在这精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 16 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 16 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载个过程中，外力作功等于系统静电能的增量， 即外力作功为dq08/2。52

3、一个点电荷放在直角导体内部（如图5-1） ，求出所有镜像电荷的位置和大小。解：需要加三个镜像电荷代替导体面上的感应电荷。在（-a，d）处，镜像电荷为 -q，在（错误！链接无效。）处，镜像电荷为 q，在（ a，-d）处，镜像电荷为 -q。图 5-1 53 证明：一个点电荷q 和一个带有电荷 q、半径为 r 的导体球之间的作用力为2)22(204rddrqddqrqqf其中 d 是 q 到球心的距离（ dr） 。证明：使用镜像法分析。由于导体球不接地，本身又带电q，必须在导体球内加上两个镜像电荷来等效导体球对球外的影响。在距离球心b=r2/d 处，镜像电荷为q= -rq/d；在球心处，镜像电荷为d

4、rqqqqq/2。点电荷 q 受导体球的作用力就等于球内两个镜像电荷对 q 的作用力，即2)2(2042)(2204drddqrddqrqqbdqdqqf2)22(204rdd r qddqrqq54 两个点电荷 +q 和-q 位于一个半径为a 的接地导体球的直径的dq-qqqxya精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 16 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 16 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载

5、延长线上，分别距离球心d 和-d。（1）证明：镜像电荷构成一电偶极子， 位于球心，偶极矩为 2a3q/d2。（2）令 q 和 d 分别趋于无穷，同时保持q/d2不变，计算球外的电场。解： （1）使用导体球面的镜像法叠加原理分析。在球内应该加上两个镜像电荷：一个是q 在球面上的镜像电荷，q1 = -aq/d，距离球心b=a2/d；第二个是 -q 在球面上的镜像电荷，q2 = aq/d，距离球心b1=-a2/d。当距离较大时，镜像电荷间的距离很小，等效为一个电偶极子，电偶极矩为232)1(1dqabbqp（2）球外任意点的电场等于四个点电荷产生的电场的叠加。设+q 和-q 位于坐标 z 轴上， 当

6、 q 和 d 分别趋于无穷，同时保持 q/d2不变时，由+q 和-q 在空间产生的电场相当于均匀平板电容器的电场，是一个均匀场。均匀场的大小为204/2dq，方向在 -ez。由镜像电荷产生的电场可以由电偶极子的公式计算：）sincos2(304ererpe）sincos2(230432eredrqa55 接地无限大导体平板上有一个半径为a的半球形突起， 在点（0，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 16 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - -

7、 第 3 页，共 16 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载0，d）处有一个点电荷q（如图 5-5） ，求导体上方的电位。解：计算导体上方的电位时，要保持导体平板部分和半球部分的电位都为零。先找平面导体的镜像电荷q1 = -q，位于（ 0，0，-d）处。再找球面镜像电荷 q2 = -aq/d，位于（ 0，0，b）处，b= a2/d。当叠加这两个镜像电荷和原电荷共同产生的电位时，在导体平面上和图 5-5 球面上都不为零，应当在球内再加上一个镜像电荷q 3 =aq/d， 位于（0，0，-b）处。这时，三个镜像电荷和原电荷共同产生的电位在导体平面和球面上都为零。而且三个镜像电荷

8、在要计算的区域以外。导体上方的电位为四个点电荷的叠加，即）（332211041rqrqrqrq其中212)(22dzyxr212)(221dzyxr212)(222bzyxr212)(223bzyxr56求截面为矩形的无限长区域（0 xa，0yb）的电位，其四壁的电位为dqbq2q3-b-dq1az精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 16 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 16 页 - - - - - - - - -优秀

9、学习资料欢迎下载0,0,）（）（bxx0,0）（ybybbyubybyuya2),1(020,0,）（解：由边界条件0,0,）（）（bxx知，方程的基本解在y 方向应该为周期函数，且仅仅取正弦函数，即)(sinbnnkynkny在 x 方向，考虑到是有限区域，选取双曲正弦和双曲余弦函数，使用边界条件0,0）（y，得出仅仅选取双曲正弦函数，即xbnshnx将基本解进行线性组合，得bxnnbxnshnc1sin待定常数由 x=a 处的边界条件确定，即bxnnbxnshncya1sin),(使用正弦函数的正交归一性质，有dybynbyabanshncb0sin),(202cossin2)(0sin0

10、20bbynynbbynnbbudybynbyub精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 16 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 16 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载2cos222sin2)(0nnbnnbbu2cossin2)(02cos0sin)21(0bbbynynbbynnbbubbbynnbudybynbybbunbnbbunnbbunnnbucos02sin2)(0)2coscos0（

11、2c o s20nbnbbu化简以后得dybynbyabanshncb0sin),(2=2sin2202nnbu求出系数，代入电位表达式，得bxnshbynbannnunsinsin2sin2204157 一个截面如图 5-7 所示的长槽， 向 y 方向无限延伸， 两则的电位是零，槽内 y， 0，底部的电位为00,ux ）（求槽内的电位。解：由于在 x=0 和 x=a 两个边界的电位为零，故在 x 方向选取周期解，且仅仅取正弦函数，即)(sinannkxnknx图 5-7 在 y 方向，区域包含无穷远处，故选取指数函数，在y时，电位趋于零，所以选取由基本解的叠加构成电位的表示式为xy=0=0=

12、u0a精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 16 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 16 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载ynkeny由基本解的叠加构成电位的表示式为ayneaxnnnsin1c待定系数由 y=0 的边界条件确定。在电位表示式中，令y=0，得axnnnusin1c0)cos1(00sin02nnaudxaxnauanc当 n 为奇数时，nunc04，当 n 为偶数时，00c。最后，

13、电位的解为ayneaxnnunsin045, 3, 157若上题的底部的电位为00,ux ）（ax3sin重新求槽内的电位。解：同上题，在 x 方向选取正弦函数，即)(sinannkxnknx，在 y方向选取ynkeny。由基本解的叠加构成电位的表示式为ayneaxnnnsin1c精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 16 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 16 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载将

14、 y=0 的电位代入，得0uax3sinaxnnnsin1c应用正弦级数展开的唯一性，可以得到n=3 时，03cc，其余系数00c，所以ayeax33sin0u59 一个矩形导体槽由两部分构成，如图5-9 所示，两个导体板的电位分别是 u0和零，求槽内的电位。解：将原问题的电位看成是两个电位的叠加。一个电位与平行板电容器的电位相同（上板电位为u0，下板电位为零），另一个电位为u，即uya0u图 5-9 其中， u 满足拉普拉斯方程，其边界条件为y=0 , u=0 y=a , u=0 x=0 时, 20,02,000,0uayayuayaayuuayuy）（x时，电位 u应该趋于零。 u的形式解

15、为ayx=u0=u02a精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 16 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 16 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载axneaynnnusin1c待定系数用 x=0 的条件确定。）（y,0uaynnnusin1cdyaynayunca0sin),0(202cossin2)(0sin020aaynynaaynnaaudyaynayua2cos222sin2)(0nnannaa

16、u2c o ssi n2)(02cos0sin)21(0aaaynynaaynnaauaaaynnaudyaynayaaunanaaunnaaunnnaucos02sin2)(0)2coscos0（2c o s20nanaau化简以后，得到dyaynayunca0sin),0(2=2cos0nnau只有偶数项的系数不为零。将系数求出，代入电位的表达式，得axneaynnnunyausin2cos02,4,20510 将一个半径为a 的无限长导体管平分成两半，两部分之间互相绝缘，上半 (0）接电压 u0，下半（ 1 的各项，得020,02nandnanandna由此解出0ndna。最终得到圆柱内

17、、外的电位分别是精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 16 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 16 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载cos2000cos02,cos00201raerere电场强度分别为eereeesin0002cos000211eraereraee)22001(sin0)22001(cos022514 在均匀电场中，设置一个半径为a 的介质球，若电场的方向沿z 轴，求介质球内

18、、外的电位、电场（介质球的介电常数为，球外为空气） 。解：设球内、外电位解的形式分别为)(cos)1(01nnpnrnbnrnan)(cos)1(02nnpnrndnrncn选取球心处为电位的参考点，则球内电位的系数中00a，0nb.在 r处，电位cos02re，则球外电位系数nc中，仅仅1c不为零，01ec，其余为零。因此，球内、外解的形式可分别简化为)(cos(01nnpnrnan)(cos10cos02nnpnrndnre再用介质球面（ r=a）的边界条件1=2及rr201，得精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 16 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 16 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载)(cosp2)1(01cos00)(cosp11)(cos11cos0)(cosp1nnnandnnennnannannnpnandnaennnanan比较上式的系数，可以知道，除了n=1 以外，系数na、nd均为零，且3102