《传感器与检测技术》课件 第十四章 误差理论与数据处理

控制科学与工程学院-专业基础课程2026年3月传感器与检测技术授课人：联系方式手机/微信：****，邮箱：****课程资源网站：教材：一流本科专业一流本科课程建设第十四章误差理论与数据处理ERRORTHEORY测量误差概述14.1测量误差的处理14.2数据处理方法14.3第十四章14.1测量误差概述1.1.1什么是传感器概述1.量值在一般情况下，真值只是一个理想的概念。另外，真值随着时间、地点和环境的变化而变化。因而，真值具有时间、空间的含义，涵盖理论真值、约定真值和实际值。理论真值理论真值指的是被测量的量在理想条件下的真实值。理论真值通常是一个理想化的概念，用于描述测量对象在没有误差或干扰情况下的真实状态。第十四章14.1测量误差概述1.1.1什么是传感器概述1.量值约定真值约定真值是指对于给定目的具有适当不确定度的、赋予特定量的值，这个值与真值足够接近，其不确定度满足实际使用需求。在实际测量中，由于真值往往是不可知的，约定真值被用来代替真值进行测量和校准。约定真值是真值的一个近似值，它与真值之间的差异可以忽略不计。真值是一个理想化的概念，通常是不可知的，而约定真值是通过约定或测量标准确定的，具有一定的不确定度。第十四章14.1测量误差概述1.1.1什么是传感器概述1.量值实际值实际值是指在实际测量或操作条件下，被测量对象所具有的真实数值。它是被测量对象在特定条件下的真实状态，通常与理论真值或约定真值相对应，但更强调实际测量环境和条件下的具体数值，在满足规定准确度时用以代替真值使用。标称值标称值是指在正常工作条件下，某个参数或量的名义值或测量器具上所标出来的值。它是产品或系统设计时的预期值，通常用于标识、比较和标准化。标称值并不一定等于实际值，实际值可能会因制造误差、环境条件、测量误差等因素而略有偏差。第十四章14.1测量误差概述1.1.1什么是传感器概述1.量值示值示值是指由测量仪器指示（显示）的被测量值。它通常包含数值和单位，是测量仪器直接读取或计算得到的结果。第十四章14.1测量误差概述1.1.1什么是传感器概述2.测量结果通常用准确度、精密度和正确度以及分辨率衡量测量结果。准确度测量准确度（measurementAccuracy，Accuracyofmeasurement）是指被测量的测得值与其真值间的一致程度（JJF1001—2011《通用计量术语及定义》），简称准确度（Accuracy）。“测量准确度”是一个定性概念，不给出有数字的量值。当测量提供较小的测量误差时就说该测量是较准确的，即“准确度”常用误差表示。不能用“测量正确度”、“测量精密度”代替“准确度”。第十四章14.1测量误差概述1.1.1什么是传感器概述2.测量结果“测量准确度”反映的是被测量与测得值之间的一致程度，它反映了测量过程中正确度（系统误差分量）和精密度（随机误差分量）的综合效果。如下图所示，射击的弹着点均接近十环，说明射击的准确度高，但弹着点不够集中，说明精度差。准确度等级（Aceuracyclass）是指在规定工作条件下，符合规定的计量要求，使测量误差或仪器不确定度保持在规定极限内的测量仪器或测量系统的等别或级别。准确度等级通常用约定采用的数字或符号表示；准确度等级也适用于实物量具。精度但不准确第十四章14.1测量误差概述1.1.1什么是传感器概述2.测量结果正确度测量正确度（Measurementtrueness，truenessofmeasurement）简称正确度（trueness），是指无穷多次重复测量所得量值的平均值与一个参考量值间的一致程度，即测量结果的数学期望与真实值（也称为真值）之间的接近程度，它反映了测量过程中系统误差的大小。“测量正确度”不是一个量，不能用数值表示。“测量正确度”与系统测量误差有关，与随机测量误差无关。“测量正确度”不能用“测量准确度”表示，反之亦然。可通过定期校准设备、改进测量方法、消除已知系统误差、使用误差补偿技术、增加测量的复杂性等方法提高正确度。第十四章14.1测量误差概述1.1.1什么是传感器概述2.测量结果精密度测量精密度（Measurementprecision）简称精密度(precision)，是指在规定条件下，对同一或类似被测对象重复测量所得示值或测得值间的一致程度，即测量结果的一致性或重复性。精密度反映了测量过程中随机误差的大小，即测量值的波动程度；精密度不直接反映测量结果与真实值之间的偏差，即不直接反映系统误差。“测量精密度”通常用不精密程度以数字形式表示，如在规定测量条件下的标准偏差、方差或变差系数。规定条件可以是重复性测量条件，期间精密度测量条件或复现性测量条件。第十四章14.1测量误差概述1.1.1什么是传感器概述2.测量结果“测量精密度”用于定义测量重复性，期间测量精密度或测量复现性。“测量精密度”与“测量准确度”不能相互代替。精密度高的测量结果意味着多次测量值之间差异很小，但这些值不一定接近真实值。精密度不受测量值准确程度的影响，即使所有测量值都偏离了真实值，但只要它们彼此接近，精密度仍然可以很高。如右图所示，射击的弹着点比较集中，说明射击的精度高，但均偏离十环，说明准确度差。精度但不准确第十四章14.1测量误差概述1.1.1什么是传感器概述2.测量结果精度“精度”，在我国使用十分广泛，从我国建国初期延用至今，在高校及广大工程科技界仍是普遍使用的名词。早期将“精密度”简称为“精度”，有时又作“精确度”，这应是一种误解，由于汉语词语的多义与相近，口语中很少用“精密度”、“精确度”，极易简化为“精度”使用，这也是这个词条备受争议的缘由。JJF1001—2011明确“准确度”不是一个量，不能用数字表示，所以当需要量化表示时，就可以用“精度”来表示。第十四章14.1测量误差概述1.1.1什么是传感器概述2.测量结果精度（Accuracy）可解释为被测量的测得值与其真值间的最大差异，可用绝对误差、相对误差、引用误差的最大值表示。精度等级则表示精度相等的一类或一族，等同于准确度等级。如用相对误差表示时，即指测量所造成的绝对误差与被测量真值（约定真值）之比乘以100%所得的数值，以百分数表示（%RO），其中RO是RatedOutput的缩写，有时RO省略，参见式

。第十四章14.1测量误差概述1.1.1什么是传感器概述2.测量结果用引用误差表示时，意为相对于特定值（一般用满量程代替）的一种误差，绝对误差与满量程之比乘以100%所得的数值，以百分数表示（%FS），其中FS是FullScale的缩写，参见式

、

。一般来说，相对误差和引用误差比绝对误差更能反映测量的可信程度。从这点上讲，精度是表征测量误差范围大小和测量可信度的一个量。第十四章14.1测量误差概述1.1.1什么是传感器概述2.测量结果精确度精确度（Exactness）是一个比较模糊的概念，通常用来描述测量结果的准确性和精密度的综合表现，反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度，它强调测量结果既准确又精密，其定量特征可用测量的不准确度（或极限误差）来表示。精确度高的测量结果既接近真实值，又具有很高的重复性。如右图所示，射击的弹着点比较集中，且全部靠近十环，说明射击精确度高。但是需要注意的是，JJF1001—2011中已不再对精确度进行定义，所以建议今后不再使用该术语。既精度又准确第十四章14.1测量误差概述1.1.1什么是传感器概述2.测量结果分辨率分辨率（Resolution）是指测量系统能够检测到的最小变化量。它是衡量测量工具或仪器灵敏度的一个重要指标，反映了仪器在测量过程中能够区分的最小单位或最小差异。分辨率越高，意味着仪器能够检测到更细微的变化。通常我们把分辨率理解为精度，精度高的测量工具能够检测到更小的变化，但精度高并不一定意味着准确度或精密度高。例如，一个数字温度计能够显示到小数点后两位（如23.45℃），它的精度就是0.01℃，但并不意味着这个温度计的准确度高。第十四章14.1测量误差概述1.1.1什么是传感器概述3.测量误差来源测量误差是指被测量的测量值与实际值（或真值）之间的差。测量误差的主要来源可归纳为测量装置误差、测量环境误差、测量方法误差、测量人员误差等。第十四章14.1测量误差概述1.1.1什么是传感器概述4.测量误差的分类误差的分类分类系统误差（SystematicError）随机误差（RandomError）粗大误差（GrossError）定义在同一条件下多次测量时，绝对值和符号保持不变或在条件改变时按一定规律变化的误差称为系统误差在同一条件下多次测量时，绝对值和符号以不可预定方式变化的误差称为随机误差超出在规定条件下预期的误差称为粗大误差，或称为寄生误差特点可预测性：系统误差通常具有固定的方向（正或负）和大小；重复性：在相同的测量条件下，系统误差会重复出现不可预测性：随机误差的方向和大小是随机的；统计规律性：虽然单次测量的随机误差不可预测，但多次测量的随机误差服从统计规律明显偏离：测量结果通常与其他测量结果相差较大；偶然性：这种误差通常是由于偶然事件或操作失误引起的第十四章14.1测量误差概述1.1.1什么是传感器概述4.测量误差的分类误差的分类分类系统误差（SystematicError）随机误差（RandomError）粗大误差（GrossError）常见来源仪器误差：如仪器的零点偏移、刻度不准确等；方法误差：如测量方法不完善或理论假设不准确；环境误差：如温度、湿度、气压等环境因素对测量的影响；人员误差：如操作人员的习惯性偏差仪器的噪声：如电子仪器的热噪声、背景噪声等；环境的微小变化：如温度的微小波动、电磁干扰等；测量人员的读数误差：如对刻度的估计误差操作失误：如读数错误、仪器使用不当等；意外干扰：如仪器故障、外部干扰等；数据记录错误：如记录时的笔误或计算错误减小方法校准仪器，修正已知的系统误差；改进测量方法，减少方法误差；控制实验环境，减少环境因素的影响增加测量次数，取平均值以减少随机误差的影响；采用统计方法（如标准偏差）评估随机误差的大小严格遵守测量操作规程，避免人为失误；对测量数据进行合理性检查，剔除明显异常的数据；采用多次测量和数据验证的方法，确保数据的可靠性第十四章14.1测量误差概述1.1.1什么是传感器概述5.测量误差的表示方法测量误差通常用绝对误差、相对误差和引用误差来表示。绝对误差绝对误差（AbsoluteError）是测量值与真值之间的差值的绝对值，是评估测量结果准确性的基本指标绝对误差是一个非负数，它表示测量值与真实值之间的距离。绝对误差越小，测量结果越接近真实值，测量的准确度越高。第十四章14.1测量误差概述1.1.1什么是传感器概述5.测量误差的表示方法相对误差相对误差（RelativeError）是绝对误差与真实值的比值，通常用百分比表示。它反映了测量值与真实值之间的比例差异，是评估测量准确度的重要指标。相对误差越小，表示测量结果越接近真实值，测量的准确度越高。相对误差的计算公式为第十四章14.1测量误差概述1.1.1什么是传感器概述5.测量误差的表示方法例14-1测量某一质量，误差为；测量另一质量，误差为，问哪一个质量的测量效果较好？解：测量的相对误差为第十四章14.1测量误差概述1.1.1什么是传感器概述5.测量误差的表示方法例14-1解：测量的相对误差为所以，的测量效果较好。第十四章14.1测量误差概述1.1.1什么是传感器概述5.测量误差的表示方法引用（满度）误差为了衡量指示仪表的准确度，引入引用（满度）误差（ReferenceError）。为了划分指示仪表的准确度级别，选择仪表的测量上限，即满度值作为基准，由满度相对误差评价仪表的准确度。引用（满度）误差是测量的绝对误差与仪表满量程值之比，以百分数表示式中，是仪表的满度值。第十四章14.1测量误差概述1.1.1什么是传感器概述5.测量误差的表示方法为了更全面地评估仪器的测量精度，引入最大引用误差的概念。最大引用误差是指在规定条件下，当被测量平稳增加或减少时，在仪表全量程内所测得各示值的绝对误差的最大者与满量程值的比值。它通常用于确定仪表的精度等级式中，是仪表的最大满度误差；是仪表示值中的最大绝对误差的绝对值；是国家标准规定的准确度的等级指数。上式是判别指示仪表是否超差，以及应属于那个准确度级别的主要依据。第十四章14.1测量误差概述1.1.1什么是传感器概述5.测量误差的表示方法从使用仪表的角度出发，只有仪表示值恰好为仪表上限时，测量结果的准确度才等于该仪表准确度等级的百分数。在其他示值时，测量结果的专区额度均低于仪表准确度等级的百分数，因为当示值为时，可能产生的最大相对误差为第十四章14.1测量误差概述1.1.1什么是传感器概述5.测量误差的表示方法上式表明，用仪表测量示值为的被测量时，比值越大，测量结果的相对误差越大。在测量时，应尽可能使示值接近仪表的满刻度值或邻近2/3量程以上，考虑到仪表的安全性，常使示值满足。第十四章14.2测量误差的处理1.1.1什么是传感器14.2.1系统误差的处理概述从产生误差根源上消除误差是最根本的方法，需要对测量过程中可能产生系统误差的环节进行仔细分析，并在测量前就将误差从产生根源上加以消除。从产生误差根源上消除系统误差将仪器、量具送计量部门检验，预先将测量器具的系统误差检定出来或计算出来，做出误差表或误差曲线，然后取与误差数值大小相同而符号相反的值作为修正值，将实际测得值加上相应的修正值，即可得到不包含该系统误差的测量结果。用修正方法消除系统误差第十四章14.2测量误差的处理1.1.1什么是传感器14.2.1系统误差的处理概述在测量过程中，应根据具体的测量条件和系统误差的性质，对可能产生系统误差的各个环节采取相应的措施，选择适当的测量方法，使测量值中的系统误差在测量过程中相互抵消或补偿，从而实现减少或消除系统误差的目的。改进测量方法补偿法是一种通过引入与系统误差大小相等、方向相反的修正量来消除系统误差的方法。适用于多种系统误差的消除，尤其是那些可以通过改变测量条件来引入修正量的情况，例如线性系统误差（引入对称条件）和恒定系统误差（引入已知的标准量进行修正）。补偿法第十四章14.2测量误差的处理1.1.1什么是传感器14.2.2随机误差的处理1.正态分布随机误差带有随机性的特征，在测量当中呈现不可预定的变化，但在一定条件服从统计规律，可用统计规律描述。对随机误差做概率统计处理的前提条件是完全排除系统误差。在实际工作中，当重复测量次数足够多时，随机误差服从或接近正态分布（或称高斯分布）规律。正态分布的特征可以用正态分布曲线形象地表示出来，如右图所示。随机误差的正态分布曲线第十四章14.2测量误差的处理1.1.1什么是传感器14.2.2随机误差的处理1.正态分布根据误差理论可证明其数学表达式为式中，是正态分布的概率密度函数，是随机误差，是标准差（均方根误差）。测量值的随机误差出现在(,)区间内的可能性为，即右图中阴影线所包含的面积。随机误差的正态分布曲线第十四章14.2测量误差的处理1.1.1什么是传感器14.2.2随机误差的处理2.随机误差的评价指标①使用算数平均值代替真值对某一量进行一系列的等精度测量，由于存在随机误差，其测量值皆不相同，应以全部测得值的算数平均值作为最后测量结果算术平均值与被测量的真值最接近。由概率论的大数定律可知，若测量次数无限增加，根据正态分布的抵偿性，随机误差的算术平均值趋向于零，所以测量数据的算术平均值必然趋近于真值。第十四章14.2测量误差的处理1.1.1什么是传感器14.2.2随机误差的处理2.随机误差的评价指标一般情况下，被测量的真值为未知，不可能按式

求得随机误差，这时可用算术平均值代替被测量的真值进行计算，则有式中，是第个测量值，i=1,2,…,n；是的残余误差（简称残差）。第十四章14.2测量误差的处理1.1.1什么是传感器14.2.2随机误差的处理2.随机误差的评价指标②使用标准差衡量测量列中单次测量值的不可靠性按照概率理论，误差出现在区间(，)的事件是必然事件，所以，即曲线与横轴所包围的面积恒等于1。当时，可得由上式可见，若很小，则必有很大。第十四章14.2测量误差的处理1.1.1什么是传感器14.2.2随机误差的处理2.随机误差的评价指标如右图所示，标准差与正态分布曲线的形状和分散度有关。越小，曲线越陡峭，测量值的离散性小，测量的精密度高；相反，如果越大，曲线越平缓，测量值的离散性大，测量的精密度低。所以，单次测量的标准差是表征同一被测量的次测量值分散性的参数，可作为测量列中单词测量不可靠性的评定标准。标准差与曲线形状的关系第十四章14.2测量误差的处理1.1.1什么是传感器14.2.2随机误差的处理2.随机误差的评价指标在等精度测量列中，假设总共进行次测量，第次测量的测量值为，真值为，则单次测量的标准差为在实际应用中真值无法知道，当测量次数足够多时，测量值的算数平均值接近于真值，可以用算数平均值代替真值，则有式中，是第个测量值，i=1,2,…,n；是的残余误差（简称残差）第十四章14.2测量误差的处理1.1.1什么是传感器14.2.2随机误差的处理2.随机误差的评价指标用残差来近似代替随机误差求标准差的估计值，则称为标准误差的估计值，即著名的贝塞尔公式，根据此式可由残余误差求得单次测量列标准差的估计值。第十四章14.2测量误差的处理1.1.1什么是传感器14.2.2随机误差的处理2.随机误差的评价指标③测量列算术平均值的标准差在多次测量列中，通常以算术平均值作为测量结果。通常使用算数平均值的标准差作为算数平均值不可靠性的评定标准式中，是算数平均值的标准差(均方根误差)；是测量列中单次测量的标准差；是测量次数。由上式可知，在次等精度测量中，算数平均值的标准差为单次测量的，当测量次数越大时，算数平均值越接近被测量的真值，测量精度也越高。第十四章14.2测量误差的处理1.1.1什么是传感器14.2.3粗大误差的处理1.拉依达准则通常用来判别粗大误差的准则有拉依达准则、罗曼诺夫斯基准则、格罗布斯准则、狄克松准则、肖维准则。拉依达准则（PautaCriterion），又称准则，是一种基于正态分布的统计方法，用于判断和剔除数据中的异常值。通常把作为极限误差（为标准差）。定义假设一组检测数据只包含随机误差，通过计算数据的标准偏差和算术平均值确定一个区间，认为凡超过该区间的误差不属于随机误差，而是粗大误差，对应的测量值应被剔除。第十四章14.2测量误差的处理1.1.1什么是传感器14.2.3粗大误差的处理1.拉依达准则拉依达准则广泛应用于实验数据处理、质量控制和数据分析中，用于剔除由于测量误差或偶然因素导致的异常值。使用该准则需满足的条件：数据应服从正态分布或近似正态分布；测量次数需足够大（通常要求样本量n≥10），因为样本量较小时，准则的可靠性会降低。如果一组测量数据中某个测量值的残余误差的绝对值时，则可认为该值含有粗大误差，应舍弃。在Excel中，可以通过计算平均值和标准差，然后标记超出范围的数据来实现拉依达准则。在Python或MATLAB中，也可以通过编写程序实现该方法。第十四章14.2测量误差的处理1.1.1什么是传感器14.2.3粗大误差的处理2.罗曼诺夫斯基准则罗曼诺夫斯基准则（RomanowskyCriterion）又称检验准则，是一种用于判断测量数据中是否存在粗大误差的统计方法。其基本原理是首先剔除一个可疑的测量值，然后按分布检验被剔除的测量值是否含有粗大误差。罗曼诺夫斯基准则适用于测量次数较少的情况，因为它基于

分布的特性，适合小样本数据的分析。然而，该准则的计算过程相对复杂，且在样本量较小时可能不够可靠。第十四章14.2测量误差的处理1.1.1什么是传感器14.2.3粗大误差的处理2.罗曼诺夫斯基准则设对于某量作多次等精度独立测量，得,,…,。若认为测量值为可疑数据，将其剔除后计算平均值（计算时不包括)为并求得测量列的标准差（计算时不包括）为第十四章14.2测量误差的处理1.1.1什么是传感器14.2.3粗大误差的处理2.罗曼诺夫斯基准则根据测量次数n和选取的显著度α,即可查表得t分布的检验系数K(n,α)。若则认为测量值含有粗大误差，剔除是正确的，否则认为不含粗大误差，应予保留。第十四章14.3数据处理方法1.1.1什么是传感器14.3.1最小二乘法概述数据处理的目的在于寻求被测量的最佳值，提高测量精度以及寻求两个或多个变量之间的内在关系。数据处理的方法可分为最小二乘法和回归分析。最小二乘法给出参数估计值具有优良的性质，而且处理方法简便易行，具有广泛的适用性；回归分析能够利用数学表达式来表现变量之间的关系，较为客观地反映事物的内在规律，形式紧凑，便于从理论上作进一步分析研究。第十四章14.3数据处理方法1.1.1什么是传感器14.3.1最小二乘法概述最小二乘法（LeastSquaresMethod）是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和来寻找数据的最佳函数匹配。这种方法在统计学、回归分析、数值分析等领域中有着广泛的应用。最小二乘法可以用来拟合数据，找到最适合数据的模型参数。最小二乘法是为了解决从一组测量值中寻求最可信赖值的问题。设直接测量量为了确定个待求量,,…

,的估计量，，…，，分别直接测量个直接量,,…,()的测量数据,,…,。第十四章14.3数据处理方法1.1.1什么是传感器14.3.1最小二乘法概述设有如下函数关系若直接量的估计量，,…,,分别为,,…,，则可得如下关系第十四章14.3数据处理方法1.1.1什么是传感器14.3.1最小二乘法概述测量数据,,…,的残余误差方程为所以最小二乘法原理要求的条件转化为上式表明，在等精度测量中，测量结果的最可信赖值应在残差平方和为最小的条件下求出。第十四章14.3数据处理方法1.1.1什么是传感器14.3.1最小二乘法概述如果考虑线性测量的情形，即，用矩阵表示式的残余误差方程为即第十四章14.3数据处理方法1.1.1什么是传感器14.3.1最小二乘法概述等精度测量时，残差平方和最小这一条件的矩阵形式为即或利用微分学原理，令其对未知数求导的结果等于0可以满足机制要求，即第十四章14.3数据处理方法1.1.1什么是传感器14.3.1最小二乘法概述经整理得到从而得到这就是用最小二乘法估计得到的最佳矩阵解。值得指出的是，以上最小二乘法的矩阵运算求解可以借助于数学工具(如MATLAB)以提高效率，上式的MATLAB求解语句为：。第十四章14.3数据处理方法1.1.1什么是传感器14.3.2回归分析概述回归分析就是应用数理统计的方法，对实验数据进行分析和处理，从而得出反映变量间相互关系的经验公式，也称回归方程。这种基于已知条件确定变量间关系的过程就是建模。下面以一元线性回归进行分析。一元回归是处理两个变量之间的关系，即两个变量x和y之间的关系。假如两个变量之间的关系是线性的就称为一元线性回归。这就是工程上和科研中常遇到的直线拟合问题。第十四章14.3数据处理方法1.1.1什么是传感器14.3.2回归分析概述x和y为线性关系，其一元线性回归模型可以表示为式中，,,…,表示其他随机因素对因变量,,…,影响的总和，通常是一组相互独立且服从正态分布的随机变量;称为回归常数;称为回归系数。变量x是随机变量，也可以是一般变量，不特别指出时，都按一般变量处