高中基本不等式经典例题教案设计

1、实用文档 文案大全 全方位教学辅导教案 姓 名 性 别 女 年 级 高二 总课时： 第 次课 教 学 内 容 均值不等式应用（技巧） 教 学 目 标 1、熟悉均值不等式的应用题型 2、掌握各种求最值的方法 重 点 难 点 重点是掌握最值应用的方法 难点是不等式条件的应用 教 学 过 程 课前检查与交流 作业完成情况： 交流与沟通 针 对 性 授 课 一均值不等式 1.（1）若Rba?,，则abba222? (2)若Rba?,，则222baab?（当且仅当ba?时取“=”） 2. (1)若*,Rba?，则abba?2 (2)若*,Rba?，则abba2?（当且仅当ba?时取“=”） (3)若*,

2、Rba?，则22?baab (当且仅当ba?时取“=”） 3.若0x?，则12xx? (当且仅当1x?时取“=”）;若0x?，则12xx? (当且仅当1x?时取“=”） 若0x?，则11122-2xxxxxx?即或 (当且仅当ba?时取“=”） 3.若0?ab，则2?abba (当且仅当ba?时取“=”） 若0ab?，则22-2abababbababa?即或 (当且仅当ba?时取“=”） 4.若Rba?,，则2)2(222baba?（当且仅当ba?时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最

3、大” （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 学科： 数学 任课教师： 授课时间： 2012 年11 月 3 日 星期 实用文档 文案大全 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y3x 212x 2 （2）yx1x 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：(2)12,33yxxx?。 变式：已知54x?，求函数14245yxx?的最大值 。 技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)yxx?的最大值。 解析：由知，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注

4、意到2(82)8xx?为定值，故只需将(82)yxx?凑上一个系数即可。 评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。 变式：1、设230?x，求函数)23(4xxy?的最大值。并求此时x的值 实用文档 文案大全 2已知01x?，求函数(1)yxx?的最大值.； 3203x?，求函数(23)yxx?的最大值. 技巧三： 分离 例3. 求2710(1)1xxyxx?的值域。 技巧四：换元 解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x1，化简原式在分离求最值。 22(1)7(1+10544=5ttttytttt?） 当,即t=时,4259

5、ytt?（当t=2即x1时取“”号）。 评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为()(0,0)()AymgxBABgx?，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。 变式 (1) 231,(0)xxyxx? 实用文档 文案大全 技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()afxxx?的单调性。 例：求函数2254xyx?的值域。 解：令24(2)xtt?，则2254xyx?22114(2)4xtttx? 因10,1ttt?，但1tt?解得1t?不在区间?2,?，故等号不成立，考虑单调性。 因

6、为1ytt?在区间?1,?单调递增，所以在其子区间?2,?为单调递增函数，故52y?。 所以，所求函数的值域为5,2?。 条件求最值 1.若实数满足2?ba，则ba33?的最小值是 . 变式：若44loglog2xy?，求11xy?的最小值.并求x,y的值 技巧六：整体代换： 2：已知0,0xy?，且191xy?，求xy?的最小值。 。 变式： （1）若?Ryx,且12?yx，求yx11?的最小值 (2)已知?Ryxba,且1?ybxa，求yx?的最 实用文档 文案大全 技巧七、已知x，y为正实数，且x 2y 22 1，求x1y 2 的最大值. 技巧八：已知a，b为正实数，2baba30，求函

7、数y1ab 的最小值. 分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。 点评：本题考查不等式abba?2）（?Rba,的应用、不等式的解法及运算能力；如何由已知不等式230abab?）（?Rba,出发求得ab的范围，关键是寻找到abba与?之间的关系，由此想到不等式abba?2）（?Rba,，这样将已知条件转换为含ab的不等式，进而解得ab的范围. 变式：

8、1.已知a>0，b>0，ab(ab)1，求ab的最小值。 2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。 实用文档 文案大全 应 应用二：利用均值不等式证明不等式 技巧九、取平方 5、已知x，y为正实数，3x2y10，求函数W3x 2y 的最值. 解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，ab2 a 2b 22 ，本题很简单 3x 2y 2 （3x ）2（2y ）2 2 3x2y 25 解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。 W0，W23x2y23x ·2y 1023x ·2y 10(3

9、x )2·(2y )2 10(3x2y)20 W20 25 变式: 求函数152152()22yxxx?的最大值。 评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。 总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。 例6：已知a、b、cR?，且1abc?。求证：1111118abc? 变式： 1已知cba,为两两不相等的实数，求证：cabcabcba?222 2、正数a，b，c满足abc1，求证：(1a)(1b)(1c)8abc 应用三：均值不等式与恒成立问题 例：已知0,0xy?且191

10、xy?，求使不等式xym?恒成立的实数m的取值范解：令,0,0,xykxy?191xy?，991.xyxykxky?1091yxkkxky?10312kk? 。16k? ，?,16m? 实用文档 文案大全 课 堂 检 测 1：添加项 【例1】已知23?x，求322?xxy的最小值. 2:配系数 【例2】已知230?x，求)23(xxy?的最大值. 3:分拆项 【例3】已知2?x，求2632?xxxy的最小值. 4:巧用”1”代换 【例4】已知正数yx,满足12?yx,求yx21?的最小值. . 【例5】已知正数zyx,满足1?zyx，求zyx941?的最小值. 实用文档 文案大全 5:换元 【

11、例6】已知cba?,求cbcabacaw?的最小值. 【例7】已知1?x,求8512?xxxy的最大值. 7:直接运用化为其它 【例9】已知正数ba,满足3?baab,求ab的取值范围. 课 后 作 业 1、（1）、已知0x?，0y?，满足21xy?，求11xy?的最值； （2）、若0x?，0y?，且281xy?，求xy的最值； （3）、若-4x1,求22222?xxx的最大值. 2、函数f(x)=242?xx(x0)的最大值是 ；此时的x值为 _ 实用文档 文案大全 3、（2010 山东理）若对任意0x，231xaxx?恒成立，则a的取值范围是 4、若点(2,1)A?在直线10mxny?上，

12、其中0mn?,则nm21?的最小值为 . 5、（1）、已知x+3y-2=0，则3x+27y+1的最小值为 . （2）、若x,y(0,+)且2x+8y-xy=0，求x+y的最小值 . 6、已知两个正数,ab满足4ab?，求使28mab?恒成立的m的范围. 7函数y=loga(x+3)1(a>0,a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn>0，求nm11?的最小值为。 8(2010年合肥模拟)已知x1·x2··x2009·x20101，且x1，x2，x2009，x2010都是正数，则()1x1()1x2()1x2010的最小值是_ 9已知直线l过点P(2,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，则三角形OAB面积的最小值为_ 实用文档 文案大全 10(2008年江苏卷改编)若x、y、zR，x2