高中数学 椭圆

1、 实用文档 文案大全 知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若，则动点的轨迹为线段； 若，则动点的轨迹无图形. 讲练结合一.椭圆的定义 1若ABC?的两个顶点?4,0,4,0AB?，ABC?的周长为18，则顶点C的轨迹方程是 知识点二：椭圆的标准方程 1当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； 2当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； 注意： 1只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； 2在椭圆的两种标准方程中，都有和； 3椭圆的焦点

2、总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，。 讲练结合二利用标准方程确定参数 1椭圆2214xym?的焦距为2，则m= 。 2椭圆5522?kyx的一个焦点是)2,0(，那么?k 。 陈氏优学 教学课题 椭圆 实用文档 文案大全 知识点三：椭圆的简单几何性质 椭圆的的简单几何性质 （1）对称性 对于椭圆标准方程，把x换成x，或把y换成y，或把x、y同时换成x、y，方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 （2）范围 椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±

3、b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|a，|y|b。 （3）顶点 椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 椭圆（ab0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1（a，0）， A2（a，0），B1（0，b），B2（0，b）。 线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长 和短半轴长。 （4）离心率 椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作。 因为ac0，所以e的取值范围是0e1。e越接近1，则c就越接近a，从而越小，因 此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时

4、椭圆就越接近于圆。当且仅当 a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2。 实用文档 文案大全 椭圆的图像中线段的几何特征（如下图）： （1），； （2），； （3）,，； 知识点四：椭圆与（ab0）的区别和联系 标准方程 图形 性质 焦点 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 顶点 ， ， 轴 长轴长=，短轴长= 离心率 实用文档 文案大全 准线方程 焦半径 ， ， 注意：椭圆，（ab0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有ab0和，a2=b2+c2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同。 题型一 椭圆焦点三角形面积公式

5、的应用 定理 在椭圆12222?byax（ab0）中，焦点分别为1F、2F，点P是椭圆上任意一点，?21PFF，则2tan221?bSPFF?. 证明：记2211|,|rPFrPF?，由椭圆的第一定义得 .4)(,2222121arrarr? 在21PFF中，由余弦定理得：.)2(cos22212221crrrr? 配方得：.4cos22)(22121221crrrrrr? 即.4)cos1(242212crra? .cos12cos1)(222221?bcarr 由任意三角形的面积公式得： 2tan2cos22cos2sin2cos1sinsin2122222121?bbbrrSPFF. .

6、2tan221?bSPFF? 典题妙解 例1 若P是椭圆16410022?yx上的一点，1F、2F是其焦点，且?6021PFF，求 P y F1 O F2 x P 实用文档 文案大全 21PFF的面积. 解法一：在椭圆16410022?yx中，,6,8,10?cba而.60?记.|,|2211rPFrPF? ?点P在椭圆上， ?由椭圆的第一定义得：.20221?arr 在21PFF中，由余弦定理得：.)2(cos22212221crrrr? 配方，得：.1443)(21221?rrrr .144340021?rr从而.325621?rr .336423325621sin212121?rrSPF

7、F 解法二：在椭圆16410022?yx中，642?b，而.60?.336430tan642tan221?bSPFF 解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立现！ 例2 已知P是椭圆192522?yx上的点，1F、2F分别是椭圆的左、右焦点，若21|2121?PFPFPFPF，则21PFF的面积为（ ） A. 33 B. 32 C. 3 D. 33 解：设?21PFF，则21|cos2121?PFPFPFPF?，.60?.3330tan92tan221?bSPFF 故选答案A. 练习 6已知椭圆的中心在原点，1F、2F为左右焦点，P为椭圆上一点，且21|2121?PFPFPF

8、PF，21PFF 的面积是3，准线方程为334?x，求椭圆的标准方程. 参考答案 实用文档 文案大全 6解：设?21PFF，?120,21|cos2121?PFPFPFPF. 3360tan2tan22221?bbbSPFF?，?1?b. 又?3342?ca，即33333411222?cccccbc. ?3?c或33?c. 当3?c时，222?cba，这时椭圆的标准方程为1422?yx； 当33?c时，33222?cba，这时椭圆的标准方程为13422?yx； 但是，此时点P为椭圆短轴的端点时，?为最大，?60?，不合题意. 故所求的椭圆的标准方程为1422?yx. 题型二 中点弦问题 点差法

9、 中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆12222?byax中，以00(,)Pxy为中点的弦所在直线方程？ 例3. 过椭圆内一点，引一条弦，使弦被点平分，求这条xyMM22164121?() 弦所在的直线方程。 分析：本例的实质是求出直线的斜率，在所给已知条件下求直线的斜率方法较多，故本例解法较多，可作进一步的研究。 解：法一 设所求直线方程为，代入椭圆方程并整理，得ykx?12() ()()()4124211602222kxkkxk?，又设直线与椭圆的交点为 AxyBxyxxxxkkk()()()11221212228241，、，则、是方程的两个根，于是，? 又为

10、的中点，解之得，故所求直线方MABxxkkkk122224241212?() 程为xy?240 实用文档 文案大全 法二 设直线与椭圆的交点为，、，为的中点，AxyBxyMAB()()()112221 ，又、两点在椭圆上，则，xxyyABxyxy121212122222424164? ?164012221222，两式相减得()()xxyy yyxxxxyy12121212412?() 即，故所求直线为kxyAB?12240 点差法 1.过点(1，0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为22的椭圆C相交于A、B两点，直线y=21x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对

11、称，试求直线l与椭圆C的方程. 命题意图：本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，基础性强，属级题目. 知识依托：待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问题，对称问题. 错解分析：不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误.恰当地利用好对称问题是解决好本题的关键. 技巧与方法：本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将A、B两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线AB斜率的等式.解法二，用韦达定理. 解法一：由e=22?ac,得21222?aba,从而a2=2b2,c=b. 设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上. 则

12、x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得，(x12x22)+2(y12实用文档 文案大全 y22)=0,.)(221212121yyxxxxyy? 设AB中点为(x0,y0),则kAB=002yx,又(x0,y0)在直线y=21x上，y0=21x0,于是002yx= 1,kAB=1,设l的方程为y=x+1. 右焦点(b,0)关于l的对称点设为(x,y), ?byxbxybxy11 1221解得则 由点(1,1b)在椭圆上，得1+2(1b)2=2b2,b2=89,1692?a. 所求椭圆C的方程为2291698yx? =1,l的方程为y=x+1. 解法二：由e=21,222

13、22?abaac得,从而a2=2b2,c=b. 设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2,l的方程为y=k(x1), 将l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x24k2x+2k22b2=0,则x1+x2=22214kk?,y1+y2=k(x11)+k(x21)=k(x1+x2)2k=2212kk?. 直线l：y=21x过AB的中点(2,22121yyxx?),则2222122121kkkk?,解得k=0，或k=1. 若k=0,则l的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线l的对称点就是F点本身，不能在椭圆C上，所以k=0舍去，从而k=1，直线l的方程为y=(x1),即y=x+1,以下同解法一. 题型

14、三 弦长公式与焦半径公式 1、一般弦长公式 弦长公式：若直线ykxb?与圆锥曲线相交于两点A、B，且12,xx分别为A、B的横坐标，则AB实用文档 文案大全 2121kxx?，（若12,yy分别为A、B的纵坐标，则AB21211yyk?），若弦AB所在直线方程设为xkyb?，则AB2121kyy?。 2、焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。 1. 第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数 ecaeM?()01的动点的轨迹叫做椭圆，定点为椭圆的一个焦点，定直线为 椭圆的准线，常数e是椭圆的离

15、心率。 注意：对对应于右焦点，的准线称为右准线，xaybabFc22222100?()() 方程是，对应于左焦点，的准线为左准线xacFcxac?2120() e的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。 2. 焦半径及焦半径公式： 椭圆上一个点到焦点的距离叫做椭圆上这个点的焦半径。 对于椭圆，设，为椭圆上一点，由第二定义：xaybabPxy22210?()() 左焦半径·左左rxaccarexcaacaex02020? 右焦半径右右racxcaraex200? 已知点P在椭圆yaxbab222210?()上，FF12、为椭圆的两个焦点，求|PFPF12·的

16、取值范围 实用文档 文案大全 6. 解：设P()xy00，椭圆的准线方程为yac?±2，不妨设F1、F2分别为下焦点、上焦点 则|PFyaccaPFacyca102220?， ，|PFcayaPFacay1020? ·|()()PFPFacayacay1200?acay22202 ?aya0， 当y00?时，|PFPFa122·最大，最大值为 当yaPFPFacb012222?±时，·最小，最小值为| 因此，|PFPF12·的取值范围是ba22， 例2. 椭圆的焦点为、，点为其上的动点，当为钝角xyFFPFPF221212941? 时

17、，点P横坐标的取值范围是_。（2000年全国高考题） 分析：可先求F1PF290°时，P点的横坐标。 解：法一 在椭圆中，依焦半径公式知，abcPFx?3253531| |PFxFPFPFPFFF2121222122353?，由余弦定理知为钝角 ()()()353353259535352222?xxxx，应填 法二 设，则当°时，点的轨迹方程为，PxyFPFPxy()1222905? 由此可得点的横坐标±，点在轴上时，；点在轴上PxPxFPFPy?35012 时，为钝角，由此可得点横坐标的取值范围是FPFPx123535? 实用文档 文案大全 题型四 参数方程 3

18、. 椭圆参数方程 问题：如图以原点为圆心，分别以a、b（a>b>0）为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作ANOx，垂足为N，过点B作BNAN，垂足为M，求当半径OA绕O旋转时点M的轨迹的参数方程。 解：设点的坐标是，是以为始边，为终边的正角，取为Mxy()?Ox? 参数。 那么xONOAyNMOBxayb?|cos|sincossin()?1 这就是椭圆参数方程：为参数时，称为“离心角”? 说明：<1> 对上述方程（1）消参即 xaybxayb?cossin?22221普通方程 <2>由以上消参过程可知将椭圆的普通方程进行三角变形即得参数

19、方程。 直线与椭圆位置关系： xaybykxb22221? 求椭圆上动点P（x，y）到直线距离的最大值和最小值，（法一，参数方程法；法二，数形结合，求平行线间距离，作l'l且l'与椭圆相切） 例4. 已知椭圆，在椭圆上求一点，使到直线：xyPPlxy228840? 实用文档 文案大全 的距离最小并求出距离的最小值（或最大值）？ 解：法一 设，由参数方程得P(cossin)()22? 则d?|cossin|sin()|2242342? 其中，当时，tanmin?2221222d 此时，cossinsincos?22313 即点坐标为，PP()?8313 法二 因与椭圆相离，故把直

20、线平移至，使与椭圆相切，则与的距离，llllll''' 即为所求的最小值，切点为所求点最大('')l? 设：，则由消得lxymxymxyx'?008822 9280449802222ymymmm?，令×?() 解之得±，为最大，由图得mm?333() 此时，由平行线间距离得Pl()min?831322 2222000210310123xyabeABabABxPABCxyxFAFBF?椭圆（）的离心率，、是椭圆上关于坐标不对称的两点，线段的中垂线与轴交于点（，）。（）设中点为（，），求的值。（）若是椭圆的右焦点，且，求椭圆的方程

21、。 实用文档 文案大全 159523233322923322332499951959500195943232122122202121212122120000000000202212121020221212122121222222222222122122222222220021210210212211?yxbcacaaxxxxxaexaexaexaBFexaAFxcaBFacxcaAFBFAFxxxyxyxyxyaxbxxyyyyyaxbxxyyyyaxxxxbbayaxbbayaxbbyaxBAababaaceyxxxyyyyyxxxyxByxA所求椭圆方程为）（又）（）（）（）（）（上在椭圆

22、、又由，则），（）、，（）令（ 1椭圆221925xy?的焦点为1F、2F，AB是椭圆过焦点1F的弦，则2ABF?的周长是 。 2设1F，2F为椭圆400251622?yx的焦点，P为椭圆上的任一点，则21FPF?的周长是多少？21FPF?的面积的最大值是多少？ 实用文档 文案大全 3设点P是椭圆2212516xy?上的一点，12,FF是焦点，若12FPF?是直角，则12FPF?的面积为 。 变式：已知椭圆14416922?yx，焦点为1F、2F，P是椭圆上一点 若?6021PFF， 求21FPF?的面积 五离心率的有关问题 1.椭圆1422?myx的离心率为21，则?m 2.从椭圆短轴的一个

23、端点看长轴两端点的视角为0120，则此椭圆的离心率e为 3椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，则椭圆的离心率为 4.设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率。 5.在ABC中，3,2|,300?ABCSABA若以AB，为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e? 讲练结合六.最值问题 1.椭圆2214xy?两焦点为F1、F2，点P在椭圆上，则|PF1|·|PF2|的最大值为_，最小值为_ 实用文档 文案大全 2、椭圆2212516xy?两焦点为F1、F2，A(3，1)点P在椭圆上，则|PF1|+|PA|的

24、最大值为_，最小值为 _ 3、已知椭圆2214xy?，A(1，0)，P为椭圆上任意一点，求|PA|的最大值 最小值 。 4.设F是椭圆322x242y=1的右焦点,定点A(2,3)在椭圆内,在椭圆上求一点P使|PA|+2|PF|最小,求P点坐标 最小值 . 知识点四：椭圆与（ab0）的区别和联系 标准方程 图形 性质 焦点 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 顶点 ， ， 轴 长轴长=，短轴长= 离心率 实用文档 文案大全 准线方程 焦半径 ， ， 注意：椭圆，（ab0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有ab0和，a2=b2+c2；不同点为两种椭圆的位置不同

25、，它们的焦点坐标也不相同。 1如何确定椭圆的标准方程？ 任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。 确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件a、b，一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。 2椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义 椭圆标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：ab0，ac0，且a2=b2+c2。 可借助下图帮助记忆： a、b、c恰构成一

26、个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。 3如何由椭圆标准方程判断焦点位置 椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。 4方程Ax2+By2=C（A、B、C均不为零）表示椭圆的条件 方程Ax2+By2=C可化为，即， 所以只有A、B、C同号，且AB时，方程表示椭圆。 实用文档 文案大全 当时，椭圆的焦点在x轴上； 当时，椭圆的焦点在y轴上。 5求椭圆标准方程的常用方法： 待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方 程中的参数、的值。其主要步骤是“先定型，再

27、定量”； 定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。 6共焦点的椭圆标准方程形式上的差异 共焦点，则c相同。 与椭圆（ab0）共焦点的椭圆方程可设为（kb2）。此类问题常用待定系数法求解。 7判断曲线关于x轴、y轴、原点对称的依据： 若把曲线方程中的x换成x，方程不变，则曲线关于y轴对称； 若把曲线方程中的y换成y，方程不变，则曲线关于x轴对称； 若把曲线方程中的x、y同时换成x、y，方程不变，则曲线关于原点对称。 8如何解决与焦点三角形PF1F2（P为椭圆上的点）有关的计算问题？ 与焦点三角形有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面

28、积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、，有关角()结合起来，建立、之间的关系. 9如何研究椭圆的扁圆程度与离心率的关系？ 长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率，因为c2=a2b2，ac0，用a、b表示为，当越小时，椭圆越扁，e越大；当越大，椭圆趋近圆，e越小，并且0e1。 实用文档 文案大全 课后作业 1已知F1(-8，0)，F2(8，0)，动点P满足|PF1|+|PF2|=16，则点P的轨迹为( ) A 圆 B 椭圆 C线段 D 直线 2、椭圆221169xy?左右焦点为F1、F2，CD为过F1的弦，则?CDF1的周长为_ 3已知方程22111xykk?表示椭圆，则k的取值范围是( ) A -1<k<1 B k>0 C k0 D k>1或k<-1 4、求满足以下条件的椭圆的标准方程 (1)长轴长为10，短轴长为6 (2)长轴是短轴的2倍，且过点(2，1) (3) 经过点(5，