随机过程知识点

1、学习必备精品学问点第一章：预备学问§1.1概率空间随机试验 ，样本空间 记为 ；定义 1.1设 是一个集合， f 是 的某些子集组成的集合族；假如（ 1）f；（ 2） 如af ， 就 aaf ；（ 3）如 anf， n1，2，就anf；n 1就称 f 为代数 borel 域；, f 称为 可测空间， f 中的元素称为大事；由定义易知：4f；（5如 a, b（6）如 aif ,就af， ibf；n1，2， 就nai ，ai， aif.i 1i 1i 1定义 1.2设, f 是可测空间，p · 是定义在 f 上的实值函数；假如1任意 a（2）pf ,0p a1；1；（3）对两两

2、互不相容大事a1 , a2 ,当ij时， aia j, 有paii 1p aii 1就称 p 是, f上的概率， （，f，p ）称为 概率空间 ， pa 为大事 a 的概率 ；定义 1.3设（，f，p ）是概率空间，gf ，假如对任意a1, a2 , ang ，n1,2,有：npaii 1np ai ,i 1就称 g 为独立大事族 ；§1.2随机变量及其分布随机变量x ， 分布函数f x ， n 维随机变量或 n 维随机向量， 联合分布函数，x t , tt 是独立 的；§ 1.3 随机变量的数字特点定义 1.7设随机变量x 的分布函数为f x ，如| x | df x，就

3、称e x xdf x为 x 的数学期望 或 均值 ；上式右边的积分称为lebesgue-stieltjes积分；方差，b xyexexxyyey b xydx为 x、y 的协方差 ，而dy为 x、y 的相关系数；如xy0, 就称 x、y 不相关；2（ schwarz 不等式） 如 ex, ey 2, 就2exyex 2 ey 2 .§1.4特点函数、母函数和拉氏变换定义 1. 10设随机变量的分布函数为f（ x），称g t 为 x 的特点函数e ejtx e jtx dfx ,t学习必备精品学问点随机变量的特点函数具有以下性质：1 g 01,gt1, g t gt 1 2 g t在,

4、上一样连续； （ 3） g k 0i k e x k 4 如x1 , x 2 , x n是相互独立的随机变量，就xx 1x 2x n 的特点函数g t g1 t g2 t gn t ，其中g i t 是随机变量x i 的特点函数，i1,2, n .定义 1 . 11 设x x 1 , x 2 , x n 是 n 维随机变量，t = t1,t 2 , tn nr,就称g t g t ,t ,t e eitx eexpit x ,12nkkk 1为 x 的特点函数 ；定义 1.12设 x 是非负整数值随机变量，分布列p kp x就称xk , k1,2,为 x 的母函数 ；p sdefxe s kk

5、pk s0§ 1.5n维正态分布定义 1.13如 n 维随机变量x x 1, x 2 , x n 的联合概率密度为f xf x , x , x 1exp1 x1a b xta 12n2n / 2n / 2b2式中， aa1 , a2 ,an 是常向量，bbij nn 是正定矩阵，就称x 为 n 维正态随机变量或听从n 维正态分布，记作x n a, b ；可以证明，如x n a, b ，就 x 的特点函数为g t gt1, t2 , tn expiat1 ibt 2为了应用的便利，下面，我们不加证明地给出常用的几个结论；性质 1如 x n a, b 就 e x k ak , b x k

6、 x lbkl , l1,2, n ；性质2设 x n a, b ， yxa ，如a ba 正定，就y n aa, a ba ；即正态随机变量的线性变换仍为正态随机变量；性质 3设 x x1 , x 2 , x 3 , x 4 是四维正态随机变量，e x k 0,k1,2,3,4 ，就e x 1 x 2 x 3 x 4 e x 1 x 2 e x 3 x 4 e x 1 x 3 e x 2 x 4 e x 1x 4 e x 2 x 3 §1.6条件期望给定 y=y 时， x 的条件期望定义为e x |yyxdf x | yxf x | ydx由此可见除了概率是关于大事y=y 的条件概

7、率以外，现在的定义与无条件的情形完全一样；ex|y=y 是 y 的函数， y 是 y 的一个可能值；如在已知 y 的条件下，全面地考虑 x 的均值，需要以 y 代替 y ， ex|y 是随机变量 y 的函数，也是随机变量，称为 x 在 y 下的条件期望；条件期望在概率论、数理统计和随机过程中是一个特别重要的概念，下面我们介绍一个极其有用的性质；性质如随机变量x 与 y 的期望存在，就e x e e x|y e x |yy dfy y-1假如 y 是离散型随机变量，就上式为学习必备精品学问点e x e x |yyy pyy假如 y 是连续型，具有概率密度fx ，就（ 1）式为ex e x |yy

8、 f y dy定义 2.1设（其次章随机过程的概念与基本类型§ 2.1随机过程的基本概念， f， p ）是概率空间 ,t 是给定的参数集,如对每个t t，有一个随机变量 xt,e 与之对应，就称随机变量族 x t,e, tt 是（，f，p ）的 随机过程 ,简记为随机过程 x t , tt ；t 称为参数集，通常表示时间；通常将随机过程 x t, e, tt 说明为一个物理系统；xt表示在时刻t 所处的状态；xt的全部可能状态所构成的集合称为状态空间或相空间，记为 i；从数学的观点来说，随机过程 x t ,e, tt 是定义在t×上的二元函数； 对固定的t，xt ,e是定义

9、在t 上的一般函数，称为随机过程本函数的全体称为样本函数的空间； x t ,e, tt 的一个 样本函数 或轨道 ，样§2.2随机过程的函数特点x t =xt,tt 的有限维分布函数族；有限维特点函数族：其中： gt 1 , tn 1 ,2,n : t1, t2 , tnnt ,n1gt1 , t n 1 ,2 ,n e exp ik 1k xtk 定义 2.3设x t = xt, tt 的均值函数mx tdefe x t ， tt ；二阶矩过程，协方差函数：dx tbx t, t defe x t mt 2 , ttx相关函数：rx s,te x sx t定义 2.4设xt,t t

10、 ，yt,t t 是两个二阶矩过程，互协方差函数，相互关函数；§2.3复随机过程定义2.5设 xt , tt ， yt , tt 是取实数值的两个随机过程，如对任意ttz tx tiyt ，其中i1 ，就称 zt ,tt 为复随机过程 定理2.2复随机过程 xt , tt 的协方差函数b s,t具有性质（ 1）对称性：（ 2）非负定性b s, tbt , s ；§2.4几种重要的随机过程一、正交增量过程定义 2.6设t , t是零均值的二阶矩过程，如对任意的t1t2t3t4, 有公学习必备精品学问点式t2就称t 正交增量过程；t1t4t30 ，二、独立增量过程s, trs,

11、t2mins, t定义 2.7设t , t是随机过程， 如对任意的正整数n 和 t1t2tn,随机变量t 2t1 ,t 3t2 ,t nt n 1是相互独立的，就称t , t是独立增量过程，又称可加过程；定义 2.8设t , t是平稳独立增量过程，如对任意 st, 随机变量ts 的分布仅依靠于ts ，就称t ,t是平稳独立增量过程；三、马尔可夫过程定 义2.9设x t , tt为 随机 过程， 如对 任意正 整 数n及t1t 2 ,tn , px t1 x1 , x tn 1xn 10 ，且其条件分布p x tn xn | x t1x1 , x tn 1xn 1= p x t n xn | x

12、tn 1xn 1， 2.6就称xt , tt 为马尔可夫过程；四、正态过程和维纳过程定义 2.10设x t , tt是 随 机过程， 如对任意 正 整数n和t1 , t2 ,tt , xt1 , xt2 , xtn是 n 维正态随机变量，就称x t , tt是正态过程或高斯过程；定义 2.11设w t,t为随机过程，假如（ 1） w 0 0 ；（ 2）它是独立、平稳增量过程；（ 3）对s,t，增量 w t w s n 0,2 | ts | ,20 ，就称w t,t为维纳过程，也称布朗运动过程；定理 2.3设w t,t是参数为2 的维纳过程，就（1） 任意 t, , w t n 0,2 | t

13、| ；（2） 对任意as, t,e w sw a w tw a 2 min sa, ta ,特殊：五、平稳过程rw s, t2 mins,t；定 义2.12设x t ,tt是 随 机 过 程 ， 如 果 对 任 意 常 数和 正 整 数n, 当t1 ,t n, t1, tn时，t1 ,t2 ,tn与t1,t2,t n有相同的联合分布，就称x t , tt为严平稳过程，也称 狭义平稳过程 ；定义 2.13设x t , tt是随机过程，假如（ 1）x t , tt 是二阶矩过程；（ 2）对于任意t, mtt常数；（ 3）对任意的s,t, rs, trts，就称x t ,tt 为广义平稳过程，简称学

14、习必备精品学问点为平稳过程 ；如 t 为离散集，就称平稳过程x t ,tt为平稳序列 ；定义 3.1计数过程第三章泊松过程§ .1泊松过程的定义和例子定义 3.2称计数过程1x0= 0 ； x t, t0 为具有参数 0 的泊松过程，如它满意以下条件(2) xt 是独立增量过程；(3) 在任一长度为t 的区间中，大事a 发生的次数听从参数t 0 的泊松分布，即对任意 s,t0，有p x st x snet t) nn., n0,1,2,3.1e x t留意，从条件3 知泊松过程是平稳增量过程且e x tt ；由于，表t示单位时间内大事a 发生的平均个数，故称为此过程的 速率 或强度

15、；定义 3.3称计数过程1x0= 0 ； x t , t0 为具有参数 0 的泊松过程， 如它满意以下条件(2) xt 是独立、平稳增量过程；(3) xt满意以下两式：p x thp x thx t1x t2h oho h,3.2定理 3.1定义 3.2 与定义 3.3 是等价的；3.2泊松过程的基本性质一、数字特点设 x t, t0 是泊松过程，mx te x ttx2 td x ttrx s,t e x s x t st1bx s,t rx s,tmx smx ts一般泊松过程的有bx s, tmin s,t ；有特点函数定义，可得泊松过程的特点函数为g x u 二、时间间隔与等待时间的分

16、布e eiux t expt eiu1wn 为第 n 次大事 a 显现的时刻或第n 次大事 a 的等待时间，它们都是随机变量；tn 是第 n 个时间间隔，定理 3.2设 x t ,t0 是具有参数的泊松分布， tn n1) 是对应的时间间隔序列，就随机变量tn n1,2, 是独立同分布的均值为1/的指数分布；定理3.3设 wn ,n1 是与泊松过程 x t, t0 对应的一个等待时间序列，就wn听从参数为n 与的分布，其概率密度为tn1et ,t0nfw t n1.0,t0三、到达时间的条件分布学习必备精品学问点定理 3.4设 x t , t0 是泊松过程，已知在0,t 内大事 a 发生 n

17、次，就这 n 次到达时间 w1w2的分布；wn 与相应于n 个 0,t 上匀称分布的独立随机变量的次序统计量有相同§ 3.3非齐次泊松过程定义 3.4称计数过程 x t , t满意以下条件：0 为具有跳动强度函数t 的非齐次泊松过程，如它1x 00 ； 2x t 是独立增量过程；p x th3x t1t hohp x thx t2o h非齐次泊松过程的均值函数为：txmtsds0t定理3.5设 x t , t有0 是具有均值函数mx t sds 的非齐次泊松过程，就0p x ts或x t n mx tsn.mx t nexpmx tsmx t , n0p x t mt nxnn .e

18、xpmx t 上式说明p x tsx t n 不仅是 t 的函数，也是s 的函数；3.4复合泊松过程定义3.5设 n t , t0 是强度为的泊松过程， yk , k1,2,.是一列独立同分布随机变量，且与 n t , tn t 0 独立，令xt yk t0,k 1就称 x t, t0 为复合泊松过程；n t 定理 3.6设xt yk t0, 是复合泊松过程，就（ 1）； x t , tk 10 是独立增量过程；1（ 2）xt 的特点函数征函数；是大事的到达率；gx t uexpt g y u 1，其中g y u 是随机变量y1 的特（ 3）如e y 2 , 就 e x ttey1, d x

19、t tey 2 .1第 4 章马尔可夫链§4.1马尔可夫链的概念及转移概率一、马尔可夫键的定义定义1设有随机过程条件概率满意 x n , nt ，如对于任意的整数nt 和任意的i 0 ,i 1,i n 1i ，p x n 1in 1 x0i0 ,x1i1 , x ninp x n 1in 1 xnin就称 x n ,nt 为马尔可夫链，简称马氏链 ；二、转移概率定义 2 称条件概率学习必备精品学问点pijnp x n 1j | x ni 为马尔可夫链 x n , nt 在时刻 n 的一步转移概率，其中i , ji ，简称为转移概率；定义3如对任意的i, ji ，马尔可夫链 x n ,

20、 nt 的转移概率pij n 与 n 无关， 就称马尔可夫链是齐次的，并记定义 4称条件概率pijn 为pij ；pn ijp x m nj | x mi i, ji , m0, n1为马尔可夫链 x n , nt 的 n 步转移概率 ，定理1设 x n , nt 为马尔可夫链，就对任意整数n0,0ln 和 i, ji ， n 步转移概率pn 具有以下性质：ij(1) p n p l p nl ;ijij(2) p n k ik1 iikkjkn 1 ipik1pk1 k21pknj ;n 3p4p n n 1pp;p n .定义 5设 x n , nt 为马尔可夫链，称p jp x 0j 和

21、pj n p x nj, ji 为 x n , nt 的初始概率 和肯定概率 ，并分别称 p j , ji 和 p j n, ji 为 x n , nt 的初始分布和肯定分布，简记为 p j 和 p j n ；定理2设 x n ,n以下性质：t 为马尔可夫链，就对任意ji 和 n1 ，肯定概率p j n 具有(1) pj nn ppiiji i(2) p j npi ni i1 pij(3) p t n pt 0 p n (4) p t n p t n1 p1 2n定理 3设 x n , nt 为马尔可夫链，就对任意i1,i 2 , ini 和 n1 ，有p x 1i1, x 2i2 , x

22、nin pi pii1i ipi ipi 1in一、状态分类§ 4.2马尔可夫链的状态分类假设 x n ,n0 是齐次马尔可夫链，其状态空间i0,1,2, ，转移概率是pij ,i ,ji , 初始分布为 p j , i,ji ；ii定 义4.6如 集 合 n : n1, p n0非 空 ， 就 称 该 集 合 的 最 大 公 约 数dd i g.c .d n : n ii0 为状态 i 的周期；如 d1 就称 i 为周期的，如d1就称 i 为pii非周期的；（如对每一个不行被d 整除的 n ，有就称 d 为状态 i 的周期；）p n =0 ，且 d 是具有此性质的最大正整数，引理

23、4.1如 i 的周期为d，就存在正整数m，对一切 nm ，有p nd 0 ；ii定义对 i , js, 记 0 1 f ij0, fijp x1j | x 0i学习必备精品学问点f n p xj , xj , k1,2, n1| xi , n2（4.15 ）ijnk0ff n ijijn tij称 f n 是系统在0 时从 i 动身经过 n 步转移后首次到达状态j 的概率， 而f0 就是在时从iji 动身，系统在有限步转移内不行能到达状态j 的概率；我们将称首中概率） ；n fij和fij 统称为首达概率 （又引理（ 1）f0nijf iji , j , n（ 2）首达概率可以用一步转移概率来

24、表示：f npppijii 1i1i2in 1 ji1j i2jin 1j定义 4.7如fii=1，就 称状态 i 为常返的； 如fii<1，就 称状态 i 为特别返的 ；定义 4.8如i，就称常返态i 为正常返的；如i，就称常返态i 为零常返的，非周期的正常返态称为遍历状态；从状态是否常返，如常返的话是否正常返，如正常返的话是否非周期等三层次上将状态区分为以下的类型：特别返态 fii状态1零常返态ii =常返态fii1) 有周期d1正常返态ii <非周期d=1-遍历态fijn 与p n 有如下关系：ij定理 4.4对任意状态i , j ，及 1n，有nnp n f k p n k

25、 f n k p k .（ 4.16）ijijjjijjj引理 4.2k 1g.c.d n : n n iik 00g.c.d n : n1, fn ii0.p1,二、常返态的性质及其性质定理 4.5状态 i 常返的充要条件为如 i 特别返，就n 0p iin 0p ii11.fii（ 4.18 ）定理 4.7设 i 常返且有周期d，就limn nd dpii.i（ 4.26 ）d其中i 为 i 的平均返回时间；当i时，0 .ip推论设 i 常返，就1i 零常返limn n ii0 ；（ 2） i 遍历limnn 1pii0 ；i定理 4.8可达关系与互通关系都具有传递性，即学习必备精品学问点

26、假如 ij ， jk ，就 ik ；假如 ik ， jk ，就 ik ；定理 4.9如 ij ,就（ 1）i 与 j 同为常返或特别返，如为常返，就它们同为正常返或零常返；（ 2）i 与 j 有相同的周期；§4.3状态空间的分解定义 4.9状态空间 i 的子集 c 称为（随机）闭集，如对任意 ic 及kc 都有 pik0 ；闭集 c 称为不行约的，如 c 的状态互通；马氏链 x n称为不行约 的，如其状态空间不行约；引理 4.4c是闭集的充要条件为对任意ic 及 kc 都有npik=0，n1；称状态 i 为吸取的，如pii=1；明显状态 i 吸取等价于单点集 i为闭集；定理 4.10

27、任一马氏链的状态空间i ，可唯独地分解成有限个或可列个互不相交的子集d ,c1 ,c2 ,之和，使得 每一 cn 是常返态组成的不行约闭集； cn 中的状态同类，或全是正常返，或全是零常返；它们有相同的周期且f jk1 ,i , kcn ； d 由全体特别返状态组成；自cn 中的状态不能到达d中的状态；定义 4.10称矩阵（aij）为随机矩阵，如其元素非负且每i 有aijj1；明显 k 步转移矩阵p k （p k ）为随机矩阵；ij引理 4.5设 c 为闭集，又 g（p k ） ,i ,j c,是 c 上所得的（即与c 相ij应的） k 步转移子矩阵，就g仍是随机矩阵；定理 4.11周期为 d

28、 的不行约马氏链，其状态空间c 可唯独地分解为d个互不相交地子集之和，即d 1cgr ,grgs,r, s（4.31 ）r 0且使得自gr 中任一状态动身，经一步转移必进入gr 1 中（其中 g dg0 ）；定理 4.12设下有xn , n0 是周期为 d 的不行约马氏链， 就在定理 4.11 的结论(1) 如只 在 时 刻 0, d ,2 d ,上 考 虑 x n， 即 得 一 新 马 氏 链 ， 其 转 移 阵p d p d ，对此新链，每一g r 是不行约闭集，且g r 中的状态是非周期的；ijp2如原马氏链 x n 常返， x nd 也常返；§4.4ij一、 p n 的渐近性

29、质 n ij的渐近性质与平稳分布定理 4.13如 j 特别返或零常返， 就 limnn ij0， ii（4.33 ）p推论 1有限状态的马氏链，不行能全是特别返状态，也不行能含有零常返状态，从而不行约的有限马氏链必为正常返的；推论 2如马氏链有一个零常返状态，就必有无限多个零常返状态；定理 4.14如 j 正常返，周期为d，就对任意 i 及0rd1有limp nd r fr d（4.37 ）nijijj学习必备精品学问点i , j推论设不行约、正常返、周期d 的马氏链，其状态空间为c，就对一切c ,有d 1limpn0nd ijd , 如i与j同属于子集j0, 否就，gs ,（4.38 ）其中

30、 cu gs 为定理 4.11 中所给出；s 0特殊，如 d=1，就对一切i , j 有 limn n 1pij.j4.39定理 4.15对任意状态i, j, 有0, 如j 是特别返或零常返limn1pn k 1 k ijf ijj,如j是正常返推论如 x n 不行约，常返，就对任意i, j , 有limn1nn k 1k 1pijjj 时，懂得1 0j定义 4.11称概率分布 jij , ji 为马尔可夫链的平稳分布，如它满意i p ij ,i（4.41 ）i1,j0.j i值得留意的是，对平稳分布p n jiiji ij , ji ，有4.42定理 4.16不行约非周期马尔可夫链是正常返的

31、充要条件是存在平稳分布，且此平稳分布就是极限分布1, ji ；u j推论 1有限状态的不行约非周期马尔可夫链必存在平稳分布；推论 2如不行约马尔可夫链的全部状态是特别返或零常返的，就不存在平稳分布 .推论 3如j , ji 是马尔可夫链的平稳分布，就p n1jju j第五章连续时间的马尔可夫链§5.1 连续时间的马尔可夫链定 义5.1设 随 机 过 程 x t,t 0, 状 态 空 间 i ni , n0 , 如 对 于 任 意0t1t2nt 及1i1 ,i 2 ,i n 1i 有p x tn 1 i n 1 |x t1 i1, x t2 i2 , x tn i n=px tn 1

32、i n 1 |x tn in 5.1就称 xt,t0 为连续时间的马尔可夫链；记5.1式条件概率的一般形式为学习必备精品学问点pijs, tp x st j | x si5.2定义 5.2如5.2式的转移概率与s 无关，就称连续时间马尔可夫链具有平稳的或齐次的转移概率，此时转移概率简记为pijs, tpij t5.3其转移概率矩阵简记为pt pij t , i ,ji , t0) ；以下的争论均假定我们所考虑的连续时间马尔柯夫链都具有齐次转移概率；为便利起见，简称为齐次马尔可夫过程；定理 5.1.1齐次马尔可夫过程的转移概率具有以下性质：(1) pijt 0;2j ipijt 1;3 pij

33、tspik t pkj sk i其中（3）式为马尔可夫过程的chapman-kolmogoro（v 简称 c-k）方程；（1），（2）由概率定义及pijt 的定义易知，下面只证明（3）；定义 5.1.3对于任一 t 0, 记p j tp x t j , p jp j 0p x 0j , ji分别称 p j t ,ji 和 p j ,j i 为齐次马尔可夫过程的肯定概率分布和初始概率分布；性质 5.1.1齐次马尔可夫过程的肯定概率及有限维概率分布具有以下性质：1p j t0;2j ip j t 1;3 p j t pi pij t;4 p j tpi t pij ;i ii i5 p x t1

34、i1, x t 2 i2 , x tn i n11 2pi piii it1 pi it2t1piin 1 nt nt n 1§5.2 柯尔莫哥洛夫微分方程引 理5.2.1设 齐 次 马 尔 可 夫 过 程 满意 正 就 性条 件 ， 就 对 于 任 意 固 定的i , ji , pijt 是 t 的一样连续函数；定理 5.3设pijt 是齐次马尔可夫过程的转移概率，就以下极限存在1(1) limt0pii t tviqii(2) limpij tqij, ijt0t我们称q ij为齐次马尔可夫过程从状态i 到状态 j 的转移速率 或跳动强度 ；推论对有限齐次马尔可夫过程，有qiiq

35、ijj i（5.2.1 ）定理 5.4 柯尔莫哥洛夫向后方程 假设qikk iqii，就对一切i, j 及 t0，有pijt qikk ipkj t qiipij t（ 5.2.4 ）定理 5.2.3（柯尔莫哥洛夫向前方程）在适当的正就条件下pij t pik t qkjkjpij tq jj5.2.6学习必备精品学问点定理 5.2.4齐次马尔可夫链过程在t 时刻处于状态 j i 的肯定概率如下方程：p j t 满意pt jp j t q jjpk t qkjk j定理 5.2.5设马尔可夫过程是不行约的，就有以下性质：(1) 如它是正常返的， 就极限 limtpijt 存在且等于j0, ji

36、 , 这里j 是方程组j qjjk jj1jik qkj的唯独非负解，此时称 j , ji 是该过程的平稳分布，并且有limtp j t j(2) 如它是零常返的或特别返的，就limtpijt limtp j t 0, i, ji§ 5.3生灭过程pij定义设齐次马尔可夫过程 t ，假如x t , t0 的状态空间为i0,1,2,，转移概率为pi ,i1 hi ho h i0pi ,i1 hi h0h i0,00pii h1ii ho hpij hoh |ij|2就称 x t, t0 为生灭过程；其中，i 称为诞生率，i 称为死亡率；1如ii,ii,为正常数 ，就称 x t, t0

37、为线性生灭过程；2如i0 ，就称 x t , t0 为纯生过程；3如i0 ，就称 x t , t0 为纯灭过程；第六章 平稳随机过程§ 6.1平稳过程的概念与例子一、平稳过程的定义1. 平稳过程定义§ 6.2联合平稳过程及相关函数的性质一、联合平稳过程定义设x t , tt 和 y t, tt 是两个平稳过程，如它们的相互关函数e x t y t稳随机过程； 及 ey t x t 仅与有关，而与t 无关，就称x t 和 y t 是联合平定理 6.1设 x t, tt 为平稳过程，就其相关函数具以下性质:1rx 00;2rx rx ;3rx rx 0;(4) rx 是非负定的

38、，即对任意实数t1,t2 , tn及复数a1, a2 , an ，有学习必备精品学问点ni , jrx ti ,t j ai a j01(5) 如x t 是周期为t 的周期函数，即x t x tt ，就rx rx t ；(6) 如就x t 是不含周期重量的非周期过程，当时， x t 与x t 相互独立，limrx mx m x2(1) rxy rx 0ry 0,2rxy rx 0ry 0;(2) rxy ryx §6.3随机分析一、收敛性概念1 、到处收敛对于概率空间, p 上的随机序列 x 1 e, x 2 e, x n e,x n ，每个试验结果e都对应一序列；（6.2 ）故随机序列 x n实际上代表一族6.2 式的序列