积分变换最新课件

1、积分变换PPT课件 (2)1积分变换积分变换PPT课件 (2)2引言 在数学中，为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，常常采取变换手段 两个数相乘 对数变换 坐标变换 有割痕的半平面-映射积分变换PPT课件 (2)3 积分变换是指通过积分运算，把一个函数变成另一个函数的变换。.),()()( ),()( badttktfFtktf的积分，然后计算含参变量的二元函数乘上一个确定具体的说，就是把函数称为积分变换的核。其中),(tk积分变换PPT课件 (2)4 积分变换在一定条件下是一一对应的，其中一个最主要的应用就是解微分方程。 基本思想：从原方程中求解非常困难，但通过积分变换后的函数比较容易求解

2、，这样再通过积分逆变换求出原方程的解。最常用的积分变换是：Fourier变换;Laplace变换.的像原函数。为的像函数，为)()()()(FtftfF积分变换PPT课件 (2)5第一章 Fourier变换 1.0 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数利用三角函数的周期性来展开周期函数函数和级数并不完全是一个东西，例如幂级数就有收敛域的问题。故必须讨论它们在什么条件下完全一致。积分变换PPT课件 (2)6 最常用的一种周期函数是三角函数。人们发现, 所有的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的线性组合来逼近.- Fourier级数方波4个正弦波的逼近100个正弦波的逼近积分变换PPT

3、课件 (2)7回忆：回忆：上满足：，即函数在条件（简称狄氏条件）上满足在为周期的函数以2/, 2/Dirichlet2/, 2/)( TTTTtfTT一类间断点；）连续或只有有限个第1）只有有限个极值点，2积分变换PPT课件 (2)8222222( )cos1,2,3,2 ( )sin12 3TTnTTTnTaftn tdtnTTbftn tdtnT其中；， ， ，01 /2,/2( )( ) ( )(cossin),2TTTnnnTTftftaftan tbn t则在上，的连续点处，可以展成如下级数形式 ( )(0)(0( )2TTTTftftftft在的间断点处， ）以形式代替.积分变换P

4、PT课件 (2)9复指数形式的复指数形式的Fourier级数级数 利用Euler公式 代入三角形式的Fourier级数，得Fourier级数的复指数形式 或者写为j-jj-jcos,sin22jn tn tn tn teeeen tn tj- j01j22( )(),1( ) (0,1,2,), (0,1,2,).nnnttTnnnTtTnTnftcc ececft edtnTnn其中jj2-21( )( )nnTtTTTnftfedeT 积分变换PPT课件 (2)101.1 Fourier积分积分 对任何一个非周期函数f (t)都可以看成是由某个周期函数fT(t)当T时转化而来的. 作周期为

5、T的函数fT(t), 使其在T/2,T/2之内等于f (t), 在T/2,T/2之外按周期T延拓到整个数轴上, 则T越大, fT(t)与f (t)相等的范围也越大, 这就说明当T时, 周期函数fT(t)便可转化为f (t), 即有lim( )( )TTftft 积分变换PPT课件 (2)112-2lim( )( )Fourier1( )( )nnTTTjjtTTTnftf tftfedeT 由以及级数的复指数形式22jj1( )lim()d,TnnTtTTnnftfeeTn 可 知当取 一 切 整 数 时所 对 应 的 点 便 均 匀 分布 在 整 个 数 轴 上 :T2O 1 2 3 n-1

6、nT2积分变换PPT课件 (2)12)(,02)(21连续变量为此时视，无关与令nnnTTnT2222jjjj0jj1( )lim( )lim( )d1 lim( )d21 ( )d()2( )FourierTnnTTnnTntTTTTntTnntf tftfeeTfeefeedTf t 这就是函数的积分公式.积分变换PPT课件 (2)13更严格的说，有如下Fourier积分定理积分定理：Fourier积分定理积分定理上满足如下条件：在若函数),()(tf.| )(| ),()(2)(1Mdttftftf上绝对可积，即在区间）狄氏条件；在任意有限区间内满足）则有jj1( )( )d2tf tf

7、eed的第一类间断点处有而在)(tfjj(0)(01( )d.22tf tf tfeed ）积分变换PPT课件 (2)14jjj()1( )( )dd21( )dd21( )cos()d2( )sin()( )sin(),1( )( )cos()dd2ttf tfeefeftjftddftdf tft因是 的奇函数。 也可以转化为三角形式 Fourierf t 的积分公式积分变换PPT课件 (2)15又考虑到积分0( )cos(),1( )( )cos()dd21( )( )cos()dd.ftdf tftf tft是的偶函数从可得 Fourierf t 的积分公式的三角形式。积分变换PPT课

8、件 (2)16奇、偶函数的傅里叶积分+0+02( )( )cos,( )( )cos.ccf tFtdFfd 傅里叶余弦积分+0+02( )( )sin,( )( )sin.ssf tFtdFfd 傅里叶正弦积分偶函数奇函数积分变换PPT课件 (2)17( ),( )f tFourierFourierf tFourier特别，如果仅在(0,+ )上有定义且满足积分存在定理的条件我们可以采用类似于级数中的奇延拓或者偶延拓的方法，得到相应的正弦积分展开式或余弦积分展开式。积分变换PPT课件 (2)18例1. 矩形脉冲函数为1| | 1( )0| | 1tf tt11otf (t)1积分变换PPT课件 (2)19其Fourier积分表达式 方法一：根据Fourier积分公式的复数形式jj1j11j001( )( )dd21(cosjsin)dd21cosdd1sin(cosjsin)d2sincosd,(1)tttf tfeeeetttt 当当 时，时， 应以应以 代替代替1t ( )f t( 1 0)( 1 0)122ff 积分变换PPT课件 (2)20 方法二：根据Fourier积分公式的三角形式来计算； 由于f(t)是偶函数，还可以根据Fourier余弦积分公式获得结果。积分变换PPT课件 (2)21 由结果可得00( ),1,2sinco