固体物理学课件：ch3-s4

1、§ 3-4三维晶格的振动3d crystal vibrations本节主要内容：1色散关系2波矢q的取值和范围1.三维晶格振动的色散关系(1)模型设三维无限大的晶体，每个原胞中有个原子，各原子的质 量分别为/n1,w2,w3,- -,/nn;原胞中这个原子平衡时的相对 位矢分别为,1/2,尸3,/“。晶体的原胞数目n = nn2n.第，个原胞的位置前=0 +0+0原胞中各原子的位置寸)，3,43,r+认表示平衡时顶点位矢为无的原胞内第a个原子的位矢；(1表示顶点位矢 为亩的原胞内第r个原子 离开平衡位置在a方向的 位移。(2)运动方程和解各原子偏离格点的位移第k个原子运动方程：(3-

2、63)(a=3,k=n洪有3个方程在简谐近似下，(3-63)式的右端是位移的线性代数式。原子位移方程的解:将方程解代回3n个运动方程，可得到3。个线性齐 次方程：3踞高j知 (3-65)3n个线性齐次方程mko)2aka =£%，*筋al” a, az ； a2x> a2>, a.；anx, any, anz;a = 19 2,3; ” = 1, 2, 3; k' = 1, 2,，ok(3.65)式是*的一个3n次方程式，从而得到3n个解%?(j = l,2,3,3)长波极限0 0 ,有三个解，0）产q ,而且 对于这三个解，&，瓦，瓦，无 趋于一致。也就

3、是说在 长波极限，整个原胞一起移动。这三个解实际上与弹性波 相合。另外311 3支长波极限的格波，称为光学波，描 述一个原胞中各原子间的相对运动。结论：晶体中一个原胞中有11个原子组成，有3支声 学波和3n3支光学波。2.波矢姻取值和范三维晶格中的波矢波矢 q =玉方+ x2b2 +勺知孔知易是3个系数晶b2,知是波矢空间的3个基矢,即倒格了基矢采用波恩一卡曼边界条件at，伽-&（£）玷，仞-（响+巡）玷 =xe/k）眄-阳妇脚-（脆+七（.）“妇=a撰=akxe伽-（喝+ r （）送3妇 zeexp（诃 n0） = 1n 3 1 q = 2 兀 h 1 导中 j 一一 知为

4、整数 受由：s n 2a 2 q = 2 7t /? 2i n 3 a 3 q = 2 ti h 37.-7=也-2 兀n i即： q 2 q =假设2兀（如、炳、么为整数） 云.& = 土2兀n 3n%x旗=2/rhix= n、n2a2x2b2 = 27rh2h2n3a3x3b3 = 2 勿佑佑瓦或写为:0 =玷1 + x2b2 + x3b3波矢0具有倒格矢的量纲，（bm、b3为倒格基矢）三维格波的波矢不是连续的而是分立的，其中号、篇、s 为波矢的基矢，波矢的点阵亦具有周期性。 每个波矢代表点占有的体积为：12 .l|xx玄）=w=w=建.n' w nj n / 人 k正格子

5、原胞体积晶体体积m （二维图时1 v分布密度为：厄吏=荷柘丁-v即波矢空间中单位体积的波矢数目。又称波矢密度。原子振动波函数为 a , =v w不同原胞之间相位联系，表现在位相因子广购问 波矢改变一个倒格矢q =aaaaagn = 0 + n2b2 + n3b3网/).g = 2双/四+ l2n2 +皿)g-i商)(g+刃 e-ir(l)q说明原子的振动状态是一样得。为了得到不同的格 波，也只需要考虑一定的q值范围。如图3-9。将<7的取值限制在一个倒格子原胞范围内，此区间称为简 约布里渊区(即：第一布里渊区)，b , b-<q< 2' 2=4mq、fq, =e2 n

6、"、mn|1 </? . <12122'2n = nmn3个取值v q * /v q 波矢可取的数目：。一3支声学波q y1(3.3)支光学波三维晶体有n个原胞，每个原胞有个原子，晶格振动频率数目：nx3+nx(3一3) = 3n结论：对于三维晶体晶格振动的波矢数目=晶体的原胞数n, 格波振动模式的数目=晶体的自由度数 心, 晶体中格波的支数二原胞内原子的自由度数 其中：n晶体中原胞数；n原胞内原子数；m维数例：金刚石结构有几支格波?几支声学波?几支光学波?设晶 体有n个原胞，晶格振动模式数为多少？箕.根据口晶格振动的波矢数目二晶体的原胞数n, 格波振动模式数目二晶体的自由度数 晶体中格波的支数=原胞内原子的自由度数因为金刚石结构为复式格子，每个原胞有2个原子。m = 3,n = 2,格波支数=nm=3x2=6,有6支格波，3支声学波，3支